QCM et exercices rédactionnels (école IFMK, Limoges)

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Énoncé

Exercice 1
Détermination de la viscosité d'une huile moteur (5 points)
Dans les moteurs à combustion, on minimise les frottements entre les pièces mécaniques en utilisant des huiles afin d'obtenir un frottement visqueux. Plus une huile est épaisse, plus sa viscosité est élevée.
On souhaite déterminer expérimentalement la viscosité d'une huile moteur. Pour cela, on filme la chute verticale d'une bille dans cette huile moteur avec une caméra numérique.
On désignera par m la masse de la bille, par R son rayon et par V son volume.
On appelle ρhuile la masse volumique de l'huile.
1. Pour étudier le mouvement de la bille, on se place dans le référentiel du laboratoire.
On prendra l'axe vertical z'z dirigé vers le bas. On suppose que la force de frottement s'exprime sous la forme \vec{f}\,=\,-\,k{\cdot}\vec{v}\vec{v} est le vecteur vitesse du centre d'inertie de la bille.
Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées à la bille, puis les représenter sur un schéma.
2. En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement de la bille.
3. \frac{dv}{dt} peut se mettre sous la forme : \frac{dv}{dt}\,=\,A\,-\,Bv. Exprimer les constantes A et B en fonction des données du problème.
4. Dans le système international, A = 1,00 et B = 10,0. Préciser leurs unités.
5. Quelle est la valeur de la vitesse limite v1 ?
6. Connaissant les valeurs de A et B, la méthode d'Euler permet d'estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la bille en fonction du temps écoulé. On obtient les premières valeurs suivantes :
a. Quel est le pas d'itération de la méthode d'Euler proposée ?
t (s)
0
0,010
0,020
0,030
0,040
v (m . s−1)
0
?
?
0,027
0,034

b. Calculer les valeurs v1 et v2 de la vitesse aux dates t1 = 0,010 et t2 = 0,020.
c. Comment améliorer la résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler ?
7. Pour des vitesses faibles, la formule de Stokes donne la relation entre la force de frottement \vec{f} agissant sur la bille et son rayon R, sa vitesse de déplacement v et la viscosité η de l'huile.
\vec{f}\,=\,-\,6\pi{\eta}R\vec{v} avec η en Pa . s, R en m et v en m . s−1.
a. En vous aidant de l'expression de B donnée à la question 3 et de l'hypothèse \vec{f}\,=\,-\,k{\cdot}\vec{v}, exprimer la viscosité η en fonction de B, m et R.
b. Calculer la viscosité η de l'huile étudiée. On prendra π = 3, m = 1,8 g et R = 2 mm.
À l'aide des valeurs de viscosité données ci-dessous, identifier l'huile de moteur étudiée.
Exercice 2
Étude du mouvement d'un skieur (3 points)
Dans tout le problème, on assimilera le skieur à un point matériel et on considérera que toute la trajectoire est située dans un plan vertical.
Un skieur aborde, avec une vitesse quasi nulle, la piste AB consituée par un quart de cercle de centre O et de rayon r. La piste est verglacée, les frottements sont négligeables.
Il perd le contact avec la piste en M tel que (OA, OM) = β.
1. Établir la vitesse vM du skieur en M en fonction de β, r et g.
2. Déterminer numériquement cos β (ce qui donne β = 48°).
3. Calculer alors la vitesse vM.
Données : r = 3,6 m ; g =  10 m . s−1 ; \sqrt{\frac{2}{3}}\,=\,0,8 ; \sqrt{\frac{3}{2}}\,=\,1,2.
Exercice 3
Datation au carbone 14 (3 points)
Données :
Carbone 12 : {}_{\,6}^{12}C. Carbone 13 : {}_{\,6}^{13}C. Azote 14 : {}_{\,7}^{14}N.
On prendra ln2 = 0,6 et ln3 = 1,0.
1. Le bombardement des noyaux d'atomes d'azote de l'atmosphère par les neutrons aboutit à la réaction nucléaire dont l'équation est la suivante :
{}_{\,7}^{14}N\,+\,{}_{0}^{1}n\rightarrow{}_{Z}^{A}Y_{1}\,+\,{}_{1}^{1}H (1)
a. Énoncer les deux lois de conservation qui permettent d'écrire l'équation (1).
b. L'application des lois de conservation précédentes permet de déterminer la nature du noyau {}_{A}^{A}Y_{1}. Quel élément est associé à Y1 ? Justifier.
2. La désintégration du noyau de carbone 14 conduit à l'émission d'un électron de symbole {}_{-1}^{\,0}e et d'un noyau {}_{Z}^{A}Y_{2}.
Écrire l'équation de la réaction nucléaire correspondante. De quel type de radioactivité s'agit-il ? Donner le nom de l'élément Y2.
3. Le temps de demi-vie du carbone 14, noté t1/2, est de l'ordre de 6 000 ans.
a. Donner la définition du terme « temps de demi-vie ».
b. Exprimer la constante radioactive λ en fonction de t_\frac{1}{2}. Quelle est l'unité SI de λ ?
4. À la fin du xxe siècle, les vestiges d'une fresque peinte furent découverts à Louxor, anciennement Thèbes, capitale de l'Égypte.
Une datation au carbone 14 est réalisée sur un échantillon de cette fresque.
L'activité mesurée pour cet échantillon est de 10,0 désintégrations par minute et par gramme de carbone.
Or, l'activité pour 1 gramme de carbone participant au cycle du dioxyde de carbone de l'atmosphère est estimée à 15,0 désintégrations par minute.
Déterminer l'année approximative de réalisation de la fresque.
Exercice 4
Établissement du courant dans un dipôle RL (5 points)
Une bobine d'inductance L et de résistance r est mise en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 40 Ω. Un interrupteur S permet de connecter l'ensemble à un générateur de tension de E = 12,0 V. Les points A et B sont respectivement reliés aux entrées CH1 et CH2 d'un oscilloscope à mémoire, le point C étant relié à la masse.
À la fermeture de l'interrupteur S, on a enregistré les tensions aux entrées CH1 et CH2 ; puis on a fait tracer la tangente (en pointillés) à la courbe exponentielle, à l'instant t = 0 ; les courbes sont représentées ci-après.
1. Quelle tension est visualisée sur CH1 ? Quelle est sa valeur ?
2. Quelle tension est visualisée sur CH2 ? Comment peut-on en déduire l'intensité du courant traversant le circuit ?
3. a) Quelle est la valeur de l'intensité du courant lorsque le régime permanent est établi ?
b) Quelle est la valeur de la dérivée de l'intensité du courant par rapport au temps à la date t = 0 ?
4. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit l'intensité du courant traversant le circuit.
5. Utiliser l'équation précédente :
a) Lorsque le régime permanent est établi, pour trouver la résistance r de la bobine.
b. À t = 0, pour trouver son inductance L.
6. La solution de l'équation différentielle est de la forme : i\,=\,A(1¬\,-\,e^{-t/{\tau}}). Établir les expressions de A et τ.
7. Utiliser la courbe pour trouver la valeur de la constante de temps du circuit. Justifier rapidement. Comparer le résultat à celui obtenu à partir de l'expression de la question précédente.
Exercice 5
Radioactivité et scintigraphie (4 points)
La scintigraphie est une technique d'investigation médicale qui permet l'observation de la glande thyroïde. Un patient ingère pour cette observation une masse m = 1,31 ng de l'isotope {}_{\,53}^{131}I de l'iode, qui est radioactif de type β.
1. Écrire l'équation de la réaction de désintégration, en la justifiant.
2. Déterminer le nombre d'atomes radioactifs contenus dans la dose ingérée.
3. On note N0 le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t = 0. On note N le nombre de noyaux radioactifs à l'instant t.
a) Établir la relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie t1/2, en précisant la signification de la demi-vie.
b) Définir l'activité A d'un échantillon radioactif et établir la relation entre l'activité et N.
c) Calculer l'activité initiale de la dose ingérée.
d) Calculer le temps au bout duquel l'activité résiduelle est égale à 1,5 % de l'activité initiale.
Données :
Masse molaire de l'iode 131 M \approx 131g . mol−1.
Constante d'Avogadro NA \approx 6 . 1023 mol−1
Demi-vie de l'iode 131 t1/2 = 8,1 jours \approx 7 . 105 s
\frac{(ln2)}{7}\,\approx\,0,1 ; ln 0,015 = −4,2 ; \frac{4,2}{ln2}\,\approx\,6
Extrait de la classification périodique :
51Sb   52Te   53I   54Xe   55Cs   56Ba

Corrigé

Exercice 1
1. Inventaire des forces :
  • poids \vec{P} ;
  • poussée d'Archimède \vec{F_{A}} ;
  •  force de frottement \vec{f}.
2. Appliquons la deuxième loi de Newton au solide.
\Sigma{\vec{F}}\,=\,m\times{\vec{a}}
\vec{P}\,+\,\vec{f}\,+\,\vec{F_{A}}\,=\,m\times{\vec{a}}
m.g\,-\,k.v\,-\,\rho_{huille}.V.g\,=\,m.\frac{dv}{dt}
g(m\,-\,\rho_{huile}.V)\,-\,k.v\,=\,m.\frac{dv}{dt}
3. Divisons par m l'équation obtenue à la question 2.
\frac{dv}{dt}\,=\,g\left(1\,-\,\frac{\rho_{huile}.V}{m}\right)\,-\,\frac{k}{m}.v\,=\,A\,-\,Bv
4. D'après l'expression précédente :
A − Bv doit s'exprimer en m.s−2.
A s'exprime en m . s−2.
Bv s'exprime en m . s−2, donc B s'exprime en \frac{m.s^{-2}}{m.s^{-1}}\,=\,s^{-1}
5. La vitesse limite est atteinte quand \frac{dv}{dt} est nulle.
A − B.v = 0
v = \frac{A}{B}\,=\,\frac{1,00}{10,0}\,=\,0,10 m\,.\,s^{-1}.
6. a) Le pas est de Δt = 10 ms, comme l'indique la première ligne du tableau.
b) Nous savons que \frac{dv}{dt}\,=\,1,00\,-\,10,0v.
Cela donne sur une durée courte : \frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}\,=\,1,00\,-\,10,0v.
Soit v1v0 = (1,00 − 10,0v0) × Δt
D'où v1 = (1,00 − 10,0v0) × Δt + v0
v1 = (1,00 − 10,0 × 0) × 0,010 + 0 = 0,010 m.s−1
De même, v2 = (1,00 − 10,0v1) × Δt + v1
v2 = (1,00 − 10,0 × 0,010) × 0,010 + 0,010 = 0,019 m.s−1.
c) On améliore la méthode en prenant un pas plus petit.
7. a) En comparant les expressions établies B\,=\,\frac{k}{m} ; \vec{f}\,=\,-\,k\vec{v} et \vec{f}\,=\,-\,6{\pi}.{\eta}.R.\vec{v}, nous obtenons :
m.B\,=\,6{\pi}{\eta}.R et donc \eta\,=\,\frac{m.B}{6\pi{R}}.
b) \eta\,=\,\frac{1,8\times{10}^{-3}\times{10,0}}{6\times{3}\times{2}\times{10}^{-3}}\,=\,0,50\,Pa.s
Cela correspond à l'huile SAE 50.
Exercice 2
1. Les forces qui s'exercent sur le skieur sont son poids P et la réaction du sol R.
Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au skieur
\Delta{E_{c}}\,=\,\Sigma{W_{A\,\rightarrow\,M}}(\vec{F})
La vitesse initiale étant nulle, on obtient :
E_{c}(M)\,=\,W_{A\rightarrow{M}}(\vec{P})\,+\,W_{A\rightarrow{M}}(\vec{R})
La réaction du sol étant toujours orthogonale au vecteur vitesse, son travail est nul.
Cela conduit à :
\frac{1}{2}m.v_{M}^{2}\,=\,m.g(z_{A}\,-\,z_{M})
Soit :
v\,=\,\sqrt{2g.r(1\,-\,\cos{\beta})}.
2. On applique la deuxième loi de Newton dans un repère de Frenet.
\Sigma{\vec{F}}_{ext}\,=\,m.\vec{a}
Sur l'axe normal :
\vec{P}_{N}\,+\,\vec{R}\,=\,m.\vec{a}_{N}
On utilise le lien entre l'accélération normale et la vitesse a_{N}\,=\,\frac{v^{2}}{r}.
m.g.\cos{\beta}\,-\,R\,=\,m.\frac{v^{2}}{r}
Soit :
m.g.\cos{\beta}\,-\,m.\frac{v^{2}}{r}\,=\,R
On recherche l'angle pour lequel le skieur perd le contact avec le sol (R = 0) avec une vitesse vM
m.g.\cos{\beta}\,-\,m.\frac{v^{2}_{M}}{r}\,=\,0
En remplaçant la vitesse par son expression, on obtient :
m.g.\cos{\beta}\,-\,m.\frac{2g.r(1\,-\,\cos{\beta})}{r}\,=\,0
D'où :
\cos{\beta}\,=\,\frac{2}{3}\,(\beta\,=\,48°)
3. v_{M}\,=\,\sqrt{r.g.\cos{\beta}}\,=\,\sqrt{3,6\times{10}\times{\frac{2}{3}}}\,=\,4,8\,m.s^{-1} (en utilisant les données fournies).
Exercice 3
1. a) On utilise la conservation des charges et la conservation des nucléons. Il s'agit des lois de Soddy.
b) Les conditions à remplir sont :
14 + 1 = A + 1 \Leftrightarrow A = 14
7 + 0 = Z + 1 \Leftrightarrow Z = 6
On identifie le carbone 14.
2. {}_{\,6}^{14}C\rightarrow{}_{Z}^{A}Y_{2}\,+\,{}_{-1}^{\,0}e radioactivité β
D'après les lois de conservation :
A = 14
Z = 6 + 1 = 7
On identifie l'azote 14.
3. a) C'est le temps nécessaire pour diviser par deux le nombre de noyaux radioactifs.
b) La loi de décroissance est N\,=\,N_{0}e^{-\,\lambda{t}}.
À la date t{}_{1/2}, cette loi donne : \frac{N_{0}}{2}\,=\,N_{0}e^{-\,\lambda\,{t_{1/2}}}.
On obtient : \lambda\,=\,\frac{\ln_{2}}{t_{1/2}} qui s'exprime en s−1.
4. Nous avons A(t) = 10,0 et A(0) = 15,0.
L'activité à une date t dépend de l'activité initiale selon la loi A(t)\,=\,A(0).e^{-\,\lambda{t}}.
Il en découle que
t\,=\,-\,\frac{{\ln}\left(\frac{A(t)}{A(0)}\right)}{\lambda}\,=\,-\,\frac{{\ln}\left(\frac{10,0}{15,0}\right)}{\frac{\ln2}{6 000}}\,=\,\ln\left(\frac{3}{2}\right){\times}\frac{6 000}{\ln2}\,=\,4000\,ans.
Exercice 4
1. On visualise UAC la tension aux bornes du générateur.
UAC = 12 V.
2. On visualise la tension UBC aux bornes du conducteur ohmique.
On a donc UBC = R.i. (1)
3. a) La courbe tend vers UBC = 10V.
Donc, en régime permanent, i\frac{10}{40}\,=\,0,25A
b) D'après la loi d'Ohm :
U_{BC}\,=\,R.i., d'où \frac{dU_{BC}}{dt}\,=\,R.\frac{di}{dt}
On obtient :
\frac{di}{dt}\,=\,\frac{1}{R}.\frac{dU_{BC}}{dt}\,=\,\frac{1}{40}\times{\frac{1}{40}}{\times}\frac{12}{3,0\times{10}^{3}}\,=\,100\,A.s^{-1}
(Nous avons utilisé le point de coordonné 3 ms et 12 V de la tangente à la courbe à l'origine.)
4. La loi d'addictivité des tensions donne :
E\,=\,U_{AC}\,=\,U_{AB}\,+\,U_{BC}\,=\,ri\,+\,L\frac{di}{dt}\,+\,Ri
E\,=\,(R+r).i\,+\,L\,\frac{di}{dt}
5. a) En régime permanent : \frac{di}{dt}\,=\,0.
donc E = (R + r)i
r\,=\,\frac{E}{i}\,-\,R
r\,=\,\frac{12,0}{0,25}\,-\,40\,=\,8\,\Omega
b) À t = 0, le courant n'est pas encore installé donc i = 0 et E\,=\,{L}\frac{di}{dt}.
Soit L\,=\,\frac{E}{\frac{di}{dt}}\,=\,\frac{12,0}{100}\,=\,120\,mH
6. On donne i\,=\,A\left(1\,-\,e^{-\frac{t}{\tau}}\right), soit : \frac{di}{dt}\,=\,\frac{A}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}.
En remplaçant dans E\,=\,(R\,+\,r).i\,+\,L\frac{di}{dt} , on obtient :
E\,=\,(R\,+\,r).A\left(1\,-\,e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\,+\,L.\frac{A}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}
E\,=\,(R\,+\,r).A\,+\,A.e^{-\frac{t}{\tau}}\left(\frac{L}{\tau}\,-\,R\,-\,r\right)
Quel que soit t, E\,=\,(R\,+\,r).A\, soit A\,=\,\frac{E}{R+r},
si \frac{L}{\tau}\,-\,R\,-\,r\,=\,0\,, soit\,{\tau}\,=\,\frac{L}{R+r}.
7. L'expression précédente donne :
\tau\,=\,\frac{0,120}{40\,+\,8}\,=\,2,5\,ms
On retrouve 2,5 ms par la méthode graphique (intersection entre la tangente à l'origine et l'asymptote horizontale).
Exercice 5
1. Cette réaction s'accompagne de l'émission d'un électron :
{}_{\,53}^{131}I\rightarrow{}_{Z}^{A}Y\,+\,{}_{-1}^{\,0}e
On utilise la conservation des charges et des nucléons :
A = 131
Z = 53 + 1 = 54
On identifie du xénon 131.
2. N_{0}\,=\,\frac{m}{M}\times{N}_{A}\,=\,\frac{1,31\times{10}^{-9}}{131}\times{6}\times{10}^{23}\,=\,6\times{10}^{12}\,noyaux
3. a) C'est le temps nécessaire pour diviser par deux le nombre de noyaux radioactifs.
La loi de décroissance est N\,=\,N_{0}e^{-\,\lambda{t}}
À la date t1/2, cette loi donne : \frac{N_{0}}{2}\,=\,N_{0}e^{-\,\lambda {t_{1/2}}}.
On obtient : \lambda\,=\,\frac{\ln{2}}{t_{1/2}} qui s'exprime en s−1.
b) L'activité est égale au nombre de noyaux radioactifs qui se désintègrent chaque seconde.
A(t)\,=\,-\,\frac{dN}{dt}\,=\,\lambda.N_{0}.e^{-\,\lambda{t}}
c) A(0)\,=\,\frac{\ln{2}}{t_{1/2}}.N_{0}.e^{0}\,=\,\frac{\ln{2}}{7\times{10}^{5}}\times{6}\times{10}^{12}\,=\,6\times{10}^{6}\,Bq
d) Nous avons \frac{A(t)}{A(0)}\,=\,0,015\,et\,\frac{A(t)}{A(0)}\,=\,e^{-\,\lambda.t}.
D'où e^{-\,\lambda{t}}\,=\,0,015.
Soit t\,=\,-\,\frac{\ln{0,015}}{\lambda}\,=\,-\,\frac{\ln0,015\times{t}_{1/2}}{\ln{2}}\,=\,\frac{4,2\times{7}\times{10}^{5}}{\ln{2}}.
t\,=\,4,2\times{10}^{6}\,s
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