Enseignement Les épreuves du CRPE Bac + 5
Sujet 2024 de mathématiques, groupement académique 2
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Sujet

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L'épreuve est notée sur 20. Une note globale égale ou inférieure à 5 est éliminatoire. Durée de l'épreuve : 3 h ; coefficient 1
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants permettant de vérifier les connaissances du candidat.
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Corrigé

Corrigé

Exercice 1
Partie A
1. 
a. Effectuons les divisions euclidiennes de 72 puis de 108 par 14, puisque le directeur veut constituer 14 équipes :
On ne posera les divisions que si on ne peut pas les effectuer mentalement.
72 = 14 × 5 + 2
108 = 14 × 7 + 10
Dans ce cas, il y aura dans chaque équipe, 5 élèves de CE2 et 7 élèves de CM1.
Sur la division euclidienne on peut consulter le site euler-ressources.ac-versailles.fr
b. 2 élèves de CE2 et 10 élèves de CM1, soit en tout 12 élèves ne participeront pas au concours.
2. 
a. Il ne peut pas constituer 8 équipes s'il veut que tous les élèves participent, puisque 108 n'est pas un multiple de 8. En effet :
108 = 8 × 13 + 4
b.  72 = 8 × 9 = 23 ×  32
108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 22 × 33
c. Dans la décomposition en facteurs premiers des diviseurs communs de 72 et de 108, n'interviennent que les facteurs premiers 2 et 3 (communs à la décomposition de 72 et 108) avec un exposant commun au plus égal à 2, donc égal à 0, 1 ou 2.
Rappel : 20 = 30 = 1 ; 21 = 2 ; 31 = 3 ; 22 = 4 ; 32 = 9 
On peut rechercher à l'aide d'un arbre les 3 × 3 = 9 diviseurs communs :
Dans l'ordre croissant les diviseurs communs à 72 et 108 sont donc :
1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 12 – 18 – 36
d.  Le résultat correspond au plus grand diviseur commun (PGCD) à 72 et 108. Le nombre maximal d'équipes que le directeur peut constituer est donc de 36 : chaque équipe sera constituée de 2 élèves de CE2 et 3 élèves de CM1.
Remarque : On aurait pu ne pas passer par la décomposition en facteurs premiers ! Le calcul mental permet facilement de trouver tous les diviseurs de 72 et 108. En effet :
72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9
108 = 1 × 108 = 2 × 54 = 3 × 36 = 4 × 27 = 6 × 18 = 9 × 12
On repère (en gras) les diviseurs communs à 72 et 108.
Partie B
1. 
À l'école Joliot-Curie, il y a 22 élèves de CE2 sur un total de 22 + 19 = 41 élèves, soit une proportion de \frac{\mathbf{22}}{\mathbf{41}}\, \approx 54 %
2. 
\frac{24\, +\, 19\, +\, 34\, +\, 31}{4}\, =\, \frac{108}{4}\, =\, 27 ; il y a en moyenne 27 élèves en classe de CM1 sur l'ensemble des 4 écoles.
3. 
Il y a 108 élèves de CM1 et 72 élèves de CE2, soit 180 élèves en tout. La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit de CM1 est donc de \frac{108}{180}= 0,6 = 60 %
4. 
Il y a 20 élèves de CE2 scolarisés à l'école Aimé-Césaire sur 72 élèves de CE2. La probabilité qu'un élève de CE2 soit scolarisé à l'école Aimé-Césaire est donc de \frac{20}{72}\, =\, \frac{10}{36}\, =\, \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{18}}.
Exercice 2
Partie A
1. 
Les longueurs sur le plan étant proportionnelles aux longueurs réelles, il faut diviser par 5 les longueurs réelles en mètres pour obtenir les longueurs sur le plan en cm.
Programme de construction (non demandé)
1) On construit un segment [PA] de longueur 5,6 cm.
2) On construit le point R de la demi-droite [PA) tel que PR = 7,6 cm (puisque A est un point de [PA], PR = PA + AR).
3) On trace la droite d1 perpendiculaire à (PA) passant par A et la droite d2 perpendiculaire à (PA) passant par R.
4) On trace le cercle C de centre P et de rayon 7 cm.
5) Le cercle C coupe d1 en un point qu'on nomme S.
6) La demi-droite [PS) coupe d2 en un point qu'on nomme C.
2. 
On sait que le triangle APS est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :
PS2 = PA2 + AS2
On en déduit :
AS2 = PS2 − PA2 = 352 − 282 = 1 225 − 784 = 441 m2
Puis \mathit{AS}\, =\, \sqrt{441}\mathbf{\, =\, 21\, m}
Propriété de Pythagore (permettant de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît la longueur de ses deux autres côtés).
Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
3. 
Les droites (AS) et (RC) étant toutes les deux perpendiculaires à la même droite (RP) sont parallèles entre elles. De plus les points P, A et R sont alignés ainsi que les points P, S et C, on peut donc appliquer le théorème de Thalès :
\frac{\mathit{PA}}{\mathit{PR}}\, =\, \frac{\mathit{PS}}{\mathit{PC}}\, =\, \frac{\mathit{AS}}{\mathit{RC}}.
D'où : \frac{28}{38}\, =\, \frac{21}{\mathit{RC}}.
Puis : \mathit{RC}\, =\, \frac{21\, \times \, 38}{28}\, \, = 28,5 m
On pourra réviser la propriété (ou théorème) de Thalès et sa réciproque sur le blog : blogpeda.ac-bordeaux.fr/aromaths.
4. 
Le quadrilatère RASC ayant deux angles droits consécutifs est un trapèze rectangle de bases [RC] et [AS] et de hauteur [AR], par conséquent son aire est égale à :
\frac{\mathit{RC}\, +\, \mathit{AS}}{2}\, \times \, \mathit{AR}\, =\, \frac{28,5\, +\, 21}{2}\, \times \, 10\, =\, \mathbf{247,5}\, \mathbf{\mathit{m}^{2}}
Remarque : si on ne connaît pas la formule donnant l'aire d'un trapèze, on peut procéder ainsi :
Aire du trapèze RASC = aire du triangle PRC − aire du triangle PAS
=\, \frac{1}{2}\, \times \, \mathit{PR}\, \times \, \mathit{RC}\, -\, \frac{1}{2}\, \times \, \mathit{PA}\, \times \, \mathit{AS}
=\, \frac{1}{2}\, \times \, 38\, \times \, 28,5\, -\, \frac{1}{2}\, \times \, 28\, \times \, 2
= 541,5 − 294
= 247,5 m2
Partie B
1. 
Puisque la commune prévoit deux couches de résine, la peinture devra pouvoir recouvrir 2 × 247,5 m2 = 495 m2. Or, en division euclidienne, 495 = 56 × 8 + 47 ; on devra donc acheter 9 pots de résine.
2. 
a. Le fournisseur A propose un tarif proportionnel au nombre n de pots de résine utilisés, donc f(n) = 215,75 × n = 215,75n.
b. Le fournisseur B ajoute au prix de chaque pot utilisé le prix global de la pose, donc g(n) = 138,5 × n + 600 = 138,5n + 600.
3. 
a. f étant une fonction linéaire, sa représentation graphique est la droite C1 passant par l'origine ; g étant une fonction affine (non linéaire), sa représentation graphique est la droite C2 passant par le point de coordonnées (0 ; 600).
Comme la commune doit acheter 9 pots, elle choisira le fournisseur B, puisque la représentation graphique nous montre que pour 9 pots, le prix est inférieur (C2 étant sous C1) et environ égal à 1 850 €.
b. Le coût exact est de 9 × 138,50 + 600 = 1 846,50 €.
Partie C
1. 
On a pu saisir dans la cellule C2 la formule suivante :
= 104,65*A2 + 995,75
Vous devez savoir utiliser les fonctions habituelles d'un tableur (voir par exemple les exercices sur https://clg-monnet-briis.ac-versailles.fr/Utiliser-un-tableur ou sur https://euler-ressources.ac-versailles.fr/wims, ce qui vous permettra aussi de cerner la notion de variable, comme précisé dans le document « Utiliser le calcul littéral » sur eduscol.education.fr « L'utilisation du tableur peut faciliter la compréhension de la notion de variable dans la mesure où, dans l'édition d'une formule, ce sont les adresses des cellules (et non leur contenu) qui sont prises en compte. La modification du contenu d'une cellule désignée dans une formule modifie le contenu de la cellule où est implantée la formule, ce qui permet d'appréhender les notions de variable et de fonction. »
2. 
D'après le tableau donné, à partir de 12 pots, le fournisseur C est plus intéressant que le fournisseur B.
3. 
Soit n un nombre entier de pots pour lequel le fournisseur C est plus intéressant que le fournisseur B ; on a donc :
138,5n + 600 > 104,65n + 995,75
138,5n − 104,65n > 995,75 − 600
33,85n > 395,75
\mathit{n}\, > \, \frac{395,75}{33,85}
0r, \frac{395,75}{33,85} est proche de 11,7 ; on en déduit que le plus petit nombre entier de pots pour lequel le fournisseur C est plus intéressant que le fournisseur B est 12.
Pour la résolution des inéquations, on pourra se référer au site euler-ressources.ac-versailles.fr.
Exercice 3
1. 
On choisit 5 comme nombre de départ.
On l'élève au carré : 52 = 25.
On ajoute le triple du nombre de départ : 25 + 3 × 5 = 40.
On soustrait 4 au résultat : 40 − 4 = 36.
2. 
On choisit \frac{5}{3} comme nombre de départ.
On l'élève au carré : \left ( \frac{5}{3} \right )^{2}\, =\, \frac{25}{9}.
On ajoute le triple du nombre de départ : \frac{25}{9}\, +\, 3\, \times \, \frac{5}{3}\, =\, \frac{25}{9}\, +\, 5\, =\, \frac{25}{9}\, +\, \frac{45}{9}\, =\, \frac{70}{9}.
On soustrait 4 au résultat : \frac{70}{9}\, -\, 4\, =\, \frac{70}{9}\, -\, \frac{36}{9}\, =\, \frac{\mathbf{34}}{\mathbf{9}}.
3. 
Il est nécessaire avant de se présenter au CRPE de s'entraîner à la programmation, si possible avec Scratch (en ligne scratch.mit.edu/download/scratch2) dont vous remarquez dans l'adresse qu'il a été développé par le MIT (pour les enfants).
On pourra consulter le document ressource « Algorithme et programmation » des programmes du cycle 4.
La ligne 4 a été complétée ainsi :
La ligne 6 a été complétée ainsi :
Explications :
 Le programme s'exécute quand on clique sur le drapeau vert.
L'utilisateur entre un nombre de départ qui sera inséré dans « réponse ».
Calcul du carré du nombre de départ inséré dans « résultat ».
Calcul de la somme du résultat précédent (carré du nombre de départ) et du triple du nombre de départ, cette somme étant insérée dans « résultat »
Calcul de la différence du résultat précédent et de 4 insérée dans « résultat ».
Affichage du résultat précédent.

4. 
On choisit x comme nombre de départ du programme.
a. x2 + 3x − 4
b. Développons (x − 1)(x + 4) = x2 + 4x − x − 4 = x2 + 3x − 4.
c. Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul ; on résout donc l'équation (x − 1)(x + 4) = 0 si et seulement si x − 1 = 0 ou x + 4 = 0, c'est-à-dire si et seulement si x = 1 ou x = − 4.
Il faut choisir comme nombre de départ 1 ou − 4 pour obtenir 0 comme résultat.
Pour les équations, on pourra se référer au site euler-ressources.ac-versailles.fr.
Et pour les équations-produits, voir le site manuel.sesamath.net.
Exercice 4
1. 
a.  Le rayon du saladier est de 42 ÷ 2 = 21 cm.
Volume pâte =\, \frac{1}{2}\, \times \, \frac{4}{3}\, \times \, \pi \, \times \, 21^{3}\, =\, \mathbf{6\, \, 174 \mathit{\pi }\, cm^{3}}\, \approx \, \mathbf{19\, 396\, cm^{3}}.
Seules les unités de capacités (L, dL, cL, etc.) sont enseignées à l'école primaire, mais il convient de connaître une de leurs correspondances avec les unités de volume, 1 dm3 = 1 L ou 1 m3 = 1 000 L pour en déduire le tableau ci-dessous :
m3
 dm3
 cm3
   
    
 kL
 hL
 daL
 L
 dL
 cL
 mL



1




1
 0
 0
 0



Attention : 1\, \mathrm{cm}^{3}\, =\, 1\, \mathrm{mL}\, (1\, \mathrm{cm}^{3}\, \neq \, 1\, \mathrm{cL}).
Le symbole du litre est L en majuscule… depuis 1979.
b. 19\, 396\, \mathrm{cm}^{3}\, =\, 19,396\, \mathrm{dm}^{3}\, =\, 19,396\, \mathrm{L}\, \mathbf{\, \approx \, 19,4\, L}
2. 
La pâte occupe un volume dans chaque cylindre de :
\mathit{\pi } \, \times \, 3^{2}\, \times \, \frac{3}{4}\, \times \, 5\, =\, 33,74\, \mathit{\pi } \, \mathrm{cm}^{3}.
Or, \frac{6\, 174\, \mathit{\pi } }{33,75\, \mathit{\pi } }\, =\, \frac{6\, 174}{33,75}\, \approx \, 182,9.
Il remplira donc 182 moules en utilisant toute la pâte.
3. 
a. Soit h la hauteur en cm des moules en forme de pavé droit qu'il remplit pour faire 210 gâteaux. On a donc : 210 × 4 × 6 × h = 6 174π soit 5 040 h = 6 174π.
On en déduit \mathit{h}\, =\, \frac{6\, 174\, \mathit{\pi } }{5\, 040}\, \approx \, 3,8\, \mathit{cm}\, \approx \, 38\, \mathit{mm}.
Il doit remplir les pavés de pâte à une hauteur de 38 mm.
b. La hauteur augmente de 15 % après cuisson donc est multipliée par 1 + 15/100 = 1,15. La hauteur de chaque gâteau après cuisson est d'environ 38 mm × 1,15, soit environ 44 mm.
Remarque : on peut aussi calculer 15 % de 38 mm, c'est-à-dire 15 % × 38 = 0,15 × 38 = 5,7 mm, puis effectuer la somme 38\, +\, 5,7\, \approx \, 44\, \mathrm{mm}.
Exercice 5
Partie A
On rappelle qu'en mathématiques une affirmation est soit vraie, soit fausse (elle n'est jamais parfois vraie !).
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut exhiber un contre-exemple (puisque ce n'est pas vrai sur cet exemple, l'affirmation est fausse).
En revanche, un ou de très nombreux exemples ne permettent pas de dire qu'une affirmation est vraie : il faut le démontrer dans le cas général.
1. 
1,63\, =\, \frac{163}{100}. Le nombre 1,63 peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire d'un quotient de deux entiers, donc il est par définition rationnel. On pouvait aussi argumenter que 1,63 étant décimal (partie décimale finie), il est rationnel comme tout décimal. L'affirmation 1 est donc vraie.
On retrouvera les définitions des différents types de nombres sur le document ressource du programme de cycle 3 « Fractions et nombres décimaux au cycle 3 », à partir de la page 3
2. 
Le nombre − 5 est bien strictement inférieur à − 4 mais étant supérieur à − 6 n'appartient pas à l'intervalle ]- \infty \, ;\, -6]. Ce contre-exemple prouve que l'affirmation 2 est fausse.
 
Sur les intervalles, on pourra se référer au site manuel.sesamath.net.
3. 
Le croquis représente un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits. Par conséquent c'est un carré par définition. L'affirmation 3 est vraie.
Sur les différents quadrilatères, on pourra se référer à partir de la page 3 du document Espace et géométrie au cycle 3 - Les polygones.
Partie B
Justifications (non demandées)
1. 
7\mathit{x}\, -\, 9\, =\, 0\, \Leftrightarrow \, 7\mathit{x}\, =\, 9\, \Leftrightarrow \, \mathit{x}\, =\, \frac{9}{7}
Attention : le quotient 9 par 7 a une partie décimale infinie (la division de 9 par 7 ne se termine jamais), donc n'est pas égal à 1,29 qui n'en est que l'arrondi au centième.
2. 
5\, - \, 4\mathit{x}\, \geq \, 0\, \Leftrightarrow \, -4\mathit{x}\, \geq \, -5\, \Leftrightarrow \mathit{x}\, \leq \, \frac{-5}{-4}\, \Leftrightarrow \, \mathit{x}\, \leq \, 1,25
Attention : pour passer de -4\mathit{x}\, \geq \, -5 à \mathit{x}\, \leq \, \frac{-5}{-4}, on a divisé les deux membres de l'inégalité par le nombre −4. Or, quand on divise ou multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.
3. 
Soit x le nombre de crayons de Zoé : Zoé a 7 crayons de plus que Léa, donc Léa en a 7 de moins, soit x − 7 ; comme elles en ont 31 à elles deux :
\mathit{x}\, +\, \mathit{x}\, -\, 7\, =\, 31\, \Leftrightarrow \mathbf{2\mathit{x}\, -\, 7\, =\, 31}\, \Leftrightarrow \, 2\mathit{x}\, =\, 38\, \Leftrightarrow \, \mathit{x}\, =\, \frac{38}{2}\, \Leftrightarrow \, \mathit{x}\, =\, 19
Zoé a donc 19 crayons, Léa en a : 19 −  7 = 12 ; à elles deux, elles en ont bien 19 + 12 = 31.
4. 
Je suis un nombre \to x.
On me retranche \mathit{5}\, \to \, \mathit{x}\, -\, 5.
On multiplie le résultat par \mathit{2}\, \to \, (\mathit{x}\, -\, 5)\, \times \, 2.
Le résultat est strictement supérieur à mon quadruple → (\mathit{x}\, -\, 5)\, \times \, 2 \, > \, 4\, \mathit{x}\, \Leftrightarrow \, \mathit{x}\, -\, 5> 2\mathit{x} (en divisant par 2 les deux membres de l'inégalité).
Sujet corrigé réalisé par Hélène Radzynski, professeure agrégée de mathématiques, ancienne formatrice de professeurs des écoles en mathématiques.