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Enseignement Les épreuves du CRPE

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Sujet

Première partie (13 points)

On appelle format d'un rectangle le quotient de sa longueur par sa largeur.
Ainsi, par exemple,

un rectangle de dimensions 4 cm et 6 cm a pour format $\frac{6}{4}$ = 1,5 ;
une feuille de papier A4 (21 × 29,7) a pour format $\frac{29,7}{21}\approx$ 1,41.

Le but de ce problème est d'étudier différents formats de rectangles.

Les parties A. et B. sont indépendantes.

A. Étude d'un premier cas particulier

Dans cette partie, tous les rectangles étudiés ont un côté (longueur ou largeur) mesurant 10 cm.

Déterminer le format F d'un tel rectangle lorsque le deuxième côté mesure :

a) 2,5 cm ;

b) 40 cm.

2. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

Mesure (en cm) du deuxième côté	2	4	10	18	32	60
Format du rectangle

Le format est-il proportionnel à la mesure du deuxième côté ? Justifier la réponse.

La courbe ci-après représente le format d'un rectangle dont un des côtés mesure 10 cm en fonction de la mesure du deuxième côté, lorsque celle-ci varie entre 1 cm et 40 cm.

Figure 1

a) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la mesure du deuxième côté de tous les rectangles de format égal à 3.

b) Retrouver par le calcul les résultats précédents.

c) Déterminer graphiquement les valeurs possibles pour la mesure du deuxième côté des rectangles dont le format est inférieur ou égal à 2,5.

d) Retrouver par le calcul les résultats précédents.

B. Format commercial d'un rectangle

On considère un rectangle ABCD de longueur AB et de largeur AD. On note L sa longueur, l sa largeur et F son format. On a donc F = $\frac{L}{l}$ .
On note I et J les milieux respectifs des côtés [AB] et [CD].
On découpe le rectangle suivant la droite (IJ).

Figure 2

On dit que ABCD a un format commercial si les deux rectangles superposables AIJD et IBCJ obtenus ont aussi pour format F.
Montrer que dans ce cas L² = 2 × l². En déduire que F = $\sqrt{2}$ .

On dit qu'un rectangle de papier est de format A0 si ce rectangle a un format commercial (donc si son format est $\sqrt{2}$ ) et si son aire est égale à 1 m².
On note L₀ et l₀ la longueur et la largeur d'un rectangle de format A0, exprimées en mètre.
Montrer que l₀² = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et que L₀² = $\sqrt{2}$ .

Dans la suite de cette partie, on admet qu'un rectangle de format A0 a pour dimensions 0,841 m et 1,189 m.
En utilisant les notations de la Figure 2, et en supposant que le rectangle ABCD est de format A0, on appelle A1 le format du rectangle AIJD.
En réitérant ce procédé de découpage, on obtient successivement des rectangles de formats A2, A3, A4, etc.

La feuille de tableur ci-après calcule les dimensions des rectangles de format A0, A1, A2, A3, A4, etc. (les valeurs sont arrondies au millième).

Déterminer les dimensions d'un rectangle de format A5. Arrondir au millimètre.

Deuxième partie (13 points)

Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

Une puce se déplace sur un axe gradué.
Elle part du point d'abscisse 0 et, à chaque seconde, saute de façon aléatoire et équiprobable soit d'une unité vers la droite soit d'une unité vers la gauche.

Au bout de 3 secondes, quelle est la probabilité que la puce soit :

a) au point d'abscisse 0 ?

b) au point d'abscisse 1 ?

c) au point d'abscisse 2 ?

d) au point d'abscisse 3 ?

Justifier les réponses.

Durant une semaine, un établissement de restauration rapide offre, pour chaque achat de quatre menus, une carte à gratter. Une carte contient 4 cases dont on a caché les motifs : des étoiles sur deux d'entre elles et des cœurs sur les deux autres.
La règle du jeu stipule :

On gratte exactement deux cases.
Si les deux cases grattées présentent les mêmes symboles, on gagne une boisson.

Calculer la probabilité de gagner une boisson avec une carte, en grattant deux cases au hasard.

Exercice 2

On considère le quadrilatère ABCE représenté par la figure ci-dessous.
On sait que :

les droites (AB) et (CE) sont parallèles ;
le triangle EBC est rectangle en B ;
le triangle EAB est isocèle en A ;
le côté [AB] mesure 4,5 cm et l'angle $\widehat{\mathrm{EAB}}$ mesure 130°.

1. Justifier que la droite (EB) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathrm{AEC}}$ .

2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BCE}}$ .

3. Soit K le milieu du segment [EC]. Justifier que le triangle EBK est isocèle en K.

4. Prouver que ABKE est un losange.

5. Quelle est la longueur du segment [EC] ?

Exercice 3

Pour un projet scientifique, une classe de cours moyen décide de construire dans la cour de l'école une maquette du système solaire, en respectant les échelles. On rappelle que le rayon moyen de la Terre est égal à 6 400 km et celui du Soleil est égal à 700 000 km.
Dans la maquette, le Soleil sera représenté par une boule de 18 cm de rayon.

1. Dans la maquette, quel sera le diamètre de la Terre, arrondi au millimètre ?

2. Sachant que, dans la maquette, la distance du Soleil à la Terre devrait mesurer 38,47 m, retrouver la distance réelle Terre-Soleil (en kilomètre).

Exercice 4

On considère l'algorithme suivant :

Étape 1 : choisir un nombre entier naturel N dont le chiffre des unités est 5 ;
Étape 2 : déterminer d, le nombre des dizaines de N ;
Étape 3 : effectuer le produit d × (d + 1) ;
Étape 4 : écrire le nombre entier qui se termine par 25 et dont le nombre des centaines est le produit obtenu à l'étape 3.

1. Appliquer cet algorithme aux trois nombres entiers : 15 ; 5 ; 145.

2. Un élève affirme que cet algorithme permet de calculer le carré d'un nombre entier naturel dont le chiffre des unités est 5. Prouver qu'il a raison (on pourra développer (10d + 5)²).

Troisième partie (14 points)

Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.

Cette partie étudie différentes situations d'apprentissage autour des notions d'aire et de périmètre. Un extrait des « Repères pour organiser la progressivité des apprentissages », BOEN hors-série n° 3 du 19 juin 2008 et un extrait des « Recommandations pour la mise en œuvre des programmes », BOEN n° 25 du 19 juin 2014 sont fournis en fin d'énoncé.

Situation 1

À l'issue d'une séquence abordant la notion de périmètre dans une classe de CM1, un enseignant prévoit d'utiliser le QCM suivant pour évaluer une partie des acquis de ses élèves.


(d'après DEEP, Évaluation PACEM Mathématiques, 2011, cahier de l'élève, CM1)

1. Proposer une explication des choix du concepteur pour les quatre valeurs (7 cm ; 12 cm ; 14 cm ; 24 cm) de la question 1. du QCM.

2. Proposer trois valeurs pour compléter la question 3. du QCM, et argumenter ces choix.

Situation 2

Dans une classe de CM2, un enseignant prévoit d'utiliser le Problème 1 ci-dessous.

Problème 1
Construire un rectangle dont l'aire vaut 120 cm².

1. Citer deux savoirs relatifs au domaine « Grandeurs et mesures » que l'élève devra mobiliser pour résoudre ce problème.

2. Citer deux prérequis relevant d'autres domaines mathématiques que « Grandeurs et mesures » qui seront nécessaires à un élève pour résoudre ce problème.

Situation 3

Un professeur propose les problèmes 2 et 3 ci-après à une classe de CM2.
Justifier le choix d'avoir utilisé un quadrillage dans ces deux problèmes.

**Problème 2**

**Problème 3**
(d'après Maths tout terrain, CM2, Bordas, p. 153)

Situation 4

La situation ci-après (organisation de séance et production d'élèves) est inspirée de l'ouvrage Apprentissages numériques et résolution de problèmes, CM1, Ermel, 2009, Hatier.

Organisation de séance

Matériel

Rectangle A (10 cm × 9 cm)	demi-périmètre : 19	aire : 90
Rectangle B (10 cm × 14 cm)	demi-périmètre : 24	aire : 140
Rectangle C (20 cm × 4 cm)	demi-périmètre : 24	aire : 80

Étape 1 : Recherche par groupes de deux
Le maître demande aux élèves de préparer leur matériel usuel de géométrie. Il distribue aussi la feuille contenant les figures et donne la tâche, sans commentaire :
Question : « Quelle est la figure la plus petite ? Quelle est la figure la plus grande ? »

Étape 2 : Recherche par groupes de deux
Le maître fait découper les trois rectangles suivant leur contour, et donne alors une nouvelle tâche.
Question : « Audrey a le rectangle A. Bastien a le rectangle B. Caroline a le rectangle C. Quel enfant a le plus de papier ? Quel enfant a le moins de papier ? »


(Les rectangles ne sont pas représentés en vraie grandeur.)

1. Citer trois critères possibles de classement pour répondre à la question de l'étape 1.

2. On donne ci-après trois productions d'élèves en réponse à l'étape 2. Pour chacun, dire quel sens les élèves semblent avoir donné aux termes « le plus de… » et « le moins de… ».

Groupe d'élèves 1

Groupe d'élèves 2

Groupe d'élèves 3

Proposer trois rectangles de périmètres tous différents et d'aires toutes différentes permettant un classement des aires qui soit différent de celui des périmètres.

« Repères pour organiser la progressivité des apprentissages », BOEN hors-série n° 3 du 19 juin 2008

	Géométrie
Cours élémentaire deuxième année	Dans le plan – Reconnaître, décrire, nommer et reproduire, tracer des figures géométriques : carré, rectangle, losange, triangle rectangle. – Vérifier la nature d'une figure plane en utilisant la règle graduée et l'équerre. – Construire un cercle avec un compas. – Utiliser en situation le vocabulaire : côté, sommet, angle, milieu. – Reconnaître qu'une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à l'aide du papier calque. – Tracer, sur papier quadrillé, la figure symétrique d'une figure donnée par rapport à une droite donnée. Dans l'espace – Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. – Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. Problèmes de reproduction, de construction – Reproduire des figures (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d'un modèle. – Construire un carré ou un rectangle de dimensions données.
Cours moyen première année	Dans le plan – Reconnaître que des droites sont parallèles. – Utiliser en situation le vocabulaire géométrique : points alignés, droite, droites perpendiculaires, droites parallèles, segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre d'un cercle, rayon, diamètre. – Vérifier la nature d'une figure plane simple en utilisant la règle graduée, l'équerre, le compas. – Décrire une figure en vue de l'identifier parmi d'autres figures ou de la faire reproduire. Dans l'espace – Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. – Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. Problèmes de reproduction, de construction – Compléter une figure par symétrie axiale. – Tracer une figure simple à partir d'un programme de construction ou en suivant des consignes.
Cours moyen deuxième année	Dans le plan – Utiliser les instruments pour vérifier le parallélisme de deux droites (règle et équerre) et pour tracer des droites parallèles. – Vérifier la nature d'une figure en ayant recours aux instruments. – Construire une hauteur d'un triangle. – Reproduire un triangle à l'aide d'instruments. Dans l'espace – Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. – Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. Problèmes de reproduction, de construction – Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé ou pointé), à partir d'un programme de construction ou d'un dessin à main levée (avec des indications relatives aux propriétés et aux dimensions).

	Grandeurs et mesure
Cours élémentaire deuxième année	– Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : - Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ; - Masse : le kilogramme, le gramme ; - Capacité : le litre, le centilitre ; - Monnaie : l'euro et le centime ; - Temps : l'heure, la minute, la seconde, le mois, l'année. – Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers. – Vérifier qu'un angle est droit en utilisant l'équerre ou un gabarit. – Calculer le périmètre d'un polygone. – Lire l'heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Problèmes – Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus.
Cours moyen première année	– Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations. – Reporter des longueurs à l'aide du compas. – Formules du périmètre du carré et du rectangle. Aires – Mesurer ou estimer l'aire d'une surface grâce à un pavage effectif à l'aide d'une surface de référence ou grâce à l'utilisation d'un réseau quadrillé. – Classer et ranger des surfaces selon leur aire. Angles – Comparer les angles d'une figure en utilisant un gabarit. – Estimer et vérifier en utilisant l'équerre, qu'un angle est droit, aigu ou obtus. Problèmes – Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.
Cours moyen deuxième année	– Calculer une durée à partir de la donnée de l'instant initial et de l'instant final. – Formule de la longueur d'un cercle. – Formule du volume du pavé droit (initiation à l'utilisation d'unités métriques de volume). Aires – Calculer l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle en utilisant la formule appropriée. – Connaître et utiliser les unités d'aire usuelles (cm², m² et km²). Angles – Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. Problèmes – Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. – Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.

« Recommandations pour la mise en œuvre des programmes », BOEN n° 25 du 19 juin 2014

« Grandeurs et mesures L'ensemble des formules de périmètre, d'aire et de volume est étudié au collège. À l'école élémentaire, il est surtout important :

de consolider la notion de périmètre des polygones par le calcul pas à pas (en ajoutant au fur et à mesure chacune des longueurs), en faisant pour le carré et le rectangle le lien avec les formules ;
d'approcher la notion d'aire à partir de manipulations (pavages…) ; les formules d'aire du carré et du rectangle pourront aisément se déduire d'une activité de pavage par des carrés ; le calcul d'une aire se limite au CM2 à celle d'un carré ou d'un rectangle ;
d'approcher la notion de volume par des manipulations.

La comparaison des angles d'une figure en utilisant un gabarit est amorcée au CM1 et approfondie au CM2. La reproduction d'un angle donné est faite au collège. »

Corrigé

Remarques

Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.

Première partie

Remarque

Dans ce qui suit, nous adoptons les mêmes abus de langage que le sujet : « longueur » plutôt que « mesure de la longueur », etc.

A. Étude d'un premier cas particulier

Remarque

Il est important de bien noter que, dans toute la partie A., les rectangles étudiés ont un côté mesurant 10 cm.

Détermination du format

a) Lorsque le deuxième côté mesure 2,5 cm, le format du rectangle est 4 car $\frac{10}{2,5}$ = 4.

b) Lorsque le deuxième côté mesure 40 cm, le format du rectangle est 4 car $\frac{40}{10}$ = 4.

Complétons le tableau de valeurs.

Mesure (en cm) du deuxième côté	2	4	10	18	32	60
Format du rectangle	5	2,5	1	1,8	3,2	6

Remarque

On peut proposer plusieurs arguments pour justifier le fait que le format ne soit pas proportionnel à la mesure du deuxième côté, tous reposent sur la mise en défaut d'une propriété de la proportionnalité entre deux suites numériques.

Si le format était proportionnel à la mesure du deuxième côté, alors le format correspondant à un deuxième côté mesurant 4 cm devrait être le double de celui correspondant à un deuxième côté mesurant 2 cm car 4 est le double de 2. Or 2,5 n'est pas le double de 5, donc le format n'est pas proportionnel à la mesure du deuxième côté.

Remarque

La propriété de linéarité multiplicative est mise en défaut.
Nous sommes ici face à une situation dite « de proportionnalité inverse » entre mesure du deuxième côté et format : lorsque l'un est multiplié par x, l'autre est divisé par x.

Lectures graphiques et vérification par le calcul

a) Mesure du deuxième côté des rectangles de format 3
Les rectangles de format 3 ont un deuxième côté qui mesure, soit environ 3,2 cm, soit environ 30 cm.

Remarque

La lecture se fait en lisant l'abscisse des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 3 (voir figure ci-dessous).

b) Obtention du résultat par le calcul
Soit x la mesure du deuxième côté du rectangle.
Si x est la longueur du rectangle, on a : $\frac{x}{10}$ = 3 d'où x = 30.
Si x est la largeur du rectangle, on a : $\frac{10}{x}$ = 3 d'où x = $\frac{10}{3}$ = $3,\bar{3}$ .

c) Valeurs possibles pour la mesure du deuxième côté des rectangles de format inférieur ou égal à 2,5
Les rectangles de format inférieur ou égal à 2,5 ont un deuxième côté dont la mesure est comprise entre environ 4 cm et environ 25 cm.

Remarque

La lecture se fait en lisant l'abscisse des points de la courbe dont l'ordonnée vaut 2,5, puis en considérant toutes les abscisses comprises entre ces deux valeurs puisqu'alors la courbe est en dessous de la droite d'équation y = 2,5 (voir figure ci-dessous).

d) Obtention du résultat par le calcul
Soit x la mesure du deuxième côté du rectangle.
Si x est la longueur du rectangle, on a : $\frac{x}{10}$ inférieur ou égal

2,5 d'où x inférieur ou égal

25. Mais, pour que x désigne la longueur du rectangle, il faut aussi : 10 inférieur ou égal

x d'où finalement : 10 inférieur ou égal

25 (1).
Si x est la largeur du rectangle, on a : $\frac{10}{x}$ inférieur ou égal

2,5 d'où : x inférieur ou égal

4. Mais, pour que x désigne la largeur du rectangle, il faut aussi : x inférieur ou égal

10 d'où finalement : 4 inférieur ou égal

10 (2).
Les inégalités (1) ou (2) sont vérifiées lorsque : 4 x 25.

B. Format commercial d'un rectangle

Détermination du format commercial
Soit L la longueur du rectangle ABCD et l sa largeur. Les rectangles ADJI et IJCB ont pour longueur l et pour largeur $\frac{L}{2}$ .
Ils sont au format F si et seulement si $\frac{l}{\frac{L}{2}}$ = F soit : 2 $\frac{l}{L}$ = F (1).
Or on sait que : F = $\frac{L}{l}$ . L'égalité (1) s'écrit donc : 2 $\frac{l}{L}$ = $\frac{L}{l}$ , d'où : 2l² = L² c'est-à-dire $\left(\frac{L}{l}\right)^{2}$ = 2.
On en déduit que F² = 2 c'est-à-dire que F = $\mathbf{\sqrt{2}}$ .

Longueur et largeur d'un rectangle au format A0
Soit L₀ la largeur d'un rectangle au format A0 et l₀ sa largeur.
« L'aire du rectangle est 1 m² » se traduit par : l₀ × L₀ = 1 (1), et « le rectangle est au format commercial A0 » se traduit par : $\frac{L_{0}}{l_{0}}=\sqrt{2}$ soit : L₀ = $\sqrt{2}$ l₀ (2). En remplaçant dans l'égalité (1), il vient : $\sqrt{2}$ l₀² = 1 d'où : l₀² = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . De l'égalité (2), il résulte que : L₀² = 2l₀² soit L₀² = 2 × $\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = $\mathbf{\sqrt{2}}$ .

Dimensions d'un rectangle au format A5
Les dimensions de la feuille A3 sont 0,420 m et 0,297 m.
Les dimensions de la feuille A4 sont 0,297 m et 0,420 ÷ 2 = 0,210 m et celles de la feuille A5 sont 0,210 m et 0,297 ÷ 2 = 0,1485 m.
Les dimensions de la feuille A5 arrondies au millimètre sont donc 0,210 m et 0,149 m.

Remarque

« Au millimètre » indique le degré de précision, pas (forcément) l'unité dans laquelle doit s'exprimer le résultat. Le candidat peut néanmoins répondre « 210 mm et 149 mm ».
Par convention, 148,5 mm est arrondi à 149 mm.
Une autre procédure consiste à observer (éventuellement schéma à l'appui) qu'une feuille au format A3 peut être partagée en exactement quatre feuilles au format A5, dont les dimensions sont la moitié des dimensions de la feuille au format A3.

Deuxième partie

Exercice 1

Étude des déplacements de la puce
La procédure la plus simple consiste sûrement à faire un arbre de choix représentant les possibilités de déplacement de la puce lors de ses trois sauts.

La puce se déplaçant de façon aléatoire et équiprobable, la probabilité de chaque événement est égale à $\frac{nombre\ d'issues\ favorables}{nombre\ total\ d'issues}$ .

a) La probabilité que la puce soit au point d'abscisse 0 est 0.

b) La probabilité que la puce soit au point d'abscisse 1 est $\mathbf{\frac{3}{8}}$ .

c) La probabilité que la puce soit au point d'abscisse 2 est 0.

d) La probabilité que la puce soit au point d'abscisse 3 est $\mathbf{\frac{1}{8}}$ .

Calcul de la probabilité de gagner une boisson
Une fois la première case grattée, il reste trois cases, dont une seule comporte le même symbole que celui déjà découvert. La probabilité d'obtenir le symbole identique à celui déjà obtenu est donc de $\frac{1}{3}$ .
La probabilité de gagner une boisson est donc $\mathbf{\frac{1}{3}}$ .

Exercice 2

Montrons que (EB) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathbf{AEC}}$ .
Les angles $\widehat{\mathrm{ABE}}$ et $\widehat{\mathrm{BEC}}$ sont alternes-internes. Comme les droites (AB) et (EC) sont parallèles, les angles $\widehat{\mathrm{ABE}}$ et $\widehat{\mathrm{BEC}}$ sont égaux.
Par ailleurs, le triangle ABE étant isocèle en A, ses angles à la base sont égaux, autrement dit : $\widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{AEB}}$ .
On a donc : $\widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{BEC}}$ . Les angles $\widehat{\mathrm{AEB}}$ et $\widehat{\mathrm{BEC}}$ sont égaux, donc (EB) est la bissectrice de l'angle $\widehat{\mathbf{AEC}}$ .

Calculons $\widehat{\mathbf{BCE}}$ .
La somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Si l'on considère le triangle EBC, on a donc : $\widehat{\mathrm{BEC}}+\widehat{\mathrm{BCE}}+\widehat{\mathrm{EBC}}$ = 180°, d'où : $\widehat{\mathrm{BEC}}+\widehat{\mathrm{BCE}}$ = 90° (1) car $\widehat{\mathrm{EBC}}$ = 90°.
Si l'on considère le triangle ABE, la propriété s'écrit : $\widehat{\mathrm{BEA}}+\widehat{\mathrm{EAB}}+\widehat{\mathrm{ABE}}$ = 180° or $\widehat{\mathrm{EAB}}$ = 130° et $\widehat{\mathrm{BEA}}=\widehat{\mathrm{ABE}}$ , on a donc : 2 × $\widehat{\mathrm{BEA}}$ + 130 = 180, d'où : $\widehat{\mathrm{BEA}}$ = 25°.
Nous avons vu plus haut que : $\widehat{\mathrm{BEA}}=\widehat{\mathrm{BEC}}$ ; en remplaçant dans l'égalité (1) on obtient : 25 + $\widehat{\mathrm{BCE}}$ = 90, d'où : $\widehat{\mathbf{BCE}}$ = 65°.

Montrons que EBK est isocèle en K.
Soit K le milieu du segment [EC]. Comme le triangle EBC est rectangle en B, il est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [EC] ; B est donc sur le cercle de centre K et de rayon EK.
Par conséquent, KB = KE, d'où l'on déduit que le triangle KBE est isocèle en K.

Remarque

On se sert ici de la définition du triangle isocèle, à savoir « triangle dont deux côtés sont de même longueur ».

Prouvons que ABKE est un losange.
Nous savons déjà que AE = AB (hypothèse de l'exercice) et que EK = KB (question 3.).
Par ailleurs, d'après la question 1., $\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{BEK}}$ , or $\widehat{\mathrm{AEB}}=\widehat{\mathrm{ABE}}$ car AEB est isocèle en A, et $\widehat{\mathrm{EBK}}=\widehat{\mathrm{BEK}}$ car EBK est isocèle en K.
Les triangles AEB et EBK ont donc deux angles égaux et un côté de même longueur (car commun), ils sont donc superposables (isométriques). On en déduit que les deux autres côtés sont aussi de même longueur, à savoir : AE = EK et KB = AB d'où finalement : AE = EK = KB = BA.
Les quatre côtés du quadrilatère AEKB sont de même longueur, donc c'est un losange.

Calculons EC.
Comme K est le milieu de [EC], on a : EC = 2 × EK = 2 × AB d'après la question précédente.
Conclusion : EC = 9 cm.

Exercice 3

Calculons le diamètre de la Terre dans la maquette.
Le respect des échelles, ainsi que l'indique l'énoncé, implique que les dimensions sur la maquette sont proportionnelles aux dimensions réelles. Le rapport de réduction est $\frac{18}{7\times10^{10}}$ car une boule de 18 cm de rayon représente le Soleil, de rayon 700 000 km, et 700 000 km = 7 × 10¹⁰ cm.

Remarque

Il est nécessaire que les longueurs soient exprimées dans une même unité lorsque l'on veut calculer un rapport d'agrandissement ou de réduction.

La Terre a un diamètre réel égal à 2 × 6 400 = 12 800 km, soit 128 × 10⁷ cm.
Dans la maquette, son diamètre sera donc : 128 × 10⁷ × $\frac{18}{7\times10^{10}}\approx$ 0,3 cm.
L'arrondi au mm du diamètre de la Terre sur la maquette est 3 mm.

Calculons la distance réelle Terre-Soleil.
Pour trouver une dimension réelle à partir de la dimension correspondante sur la maquette, il suffit d'appliquer le coefficient inverse de celui calculé précédemment.
La distance Terre-Soleil est donc, en kilomètres : 0,03847 × $\frac{7\times10^{10}}{18}\approx$ 1,5 × 10⁸ km.

Exercice 4

Appliquons l'algorithme à 15, 5 et 145.
Pour 15 :

le nombre de dizaines est 1 ;
1 × (1 + 1) = 2 ;
on obtient 225.

Pour 5 :

le nombre de dizaines est 0 ;
0 × (0 + 1) = 0 ;
on obtient 25.

Pour 145 :

le nombre de dizaines est 14 ;
14 × (14 + 1) = 210 ;
on obtient 21 025.

Prouvons que l'algorithme permet de calculer le carré d'un nombre entier dont le chiffre des unités est 5.
Soit N un nombre entier dont le chiffre des unités est 5. Soit d le nombre de dizaines de N.
On a alors : N = 10d + 5. En appliquant l'algorithme, on obtient le nombre N' = 100d(d + 1) + 25.
Or N² = (10d + 5)² = 100d² + 100d + 25 = 100(d² + d) + 25 = 100d(d + 1) + 25.
On a donc : N² = N'.
L'algorithme permet bien de calculer le carré d'un nombre entier dont le chiffre des unités est 5.

Troisième partie

Situation 1

Explication des choix du concepteur
Le concepteur propose la valeur correcte du périmètre (14 cm), ainsi que trois valeurs erronées correspondant à des erreurs fréquentes de mémorisation de la formule ou de conception :

7 correspond au demi-périmètre et aussi à la somme des données chiffrées présentes sur le dessin : cette valeur peut être obtenue à la suite d'une mauvaise mémorisation de la formule et/ou d'une conception erronée de la notion de périmètre ;
12 correspond au produit des deux nombres fournis et à l'aire du rectangle : cette valeur peut être obtenue par des élèves confondant les notions d'aire et de périmètre ;
24 correspond au double du produit des deux nombres fournis : cette valeur peut être obtenue en utilisant la formule « déformée » du périmètre d'un rectangle.

Proposition de valeurs pour la question 3. du QCM
Parmi les solutions proposées, la valeur exacte, soit 20 cm, s'impose.
Une erreur possible de la part des élèves est d'utiliser la règle erronée d'additivité des périmètres (tentation d'autant plus forte que la règle s'applique sur les aires) ; on proposera donc la valeur 26 cm, qui correspond à la somme du périmètre du carré et de celui du rectangle.
On peut ensuite proposer 21 cm, 21 étant la mesure, en cm², de l'aire de l'assemblage, ce qui permet de repérer les élèves confondant aire et périmètre.

Remarque

On pouvait également penser à 23 cm, qui serait la réponse d'un élève ayant additionné les deux périmètres, puis tenté de « corriger » l'erreur en retranchant (hélas une seule fois) la longueur du segment à l'intérieur de la figure.

Situation 2

Deux savoirs relatifs au domaine « Grandeurs et mesures » devant être mobilisés pour résoudre le problème 1
Pour résoudre ce problème, l'élève devra savoir que l'aire d'un rectangle est obtenue en multipliant sa longueur par sa largeur, ainsi que savoir ce que signifie l'unité « centimètre carré ».

Remarque

Il est assez difficile de se contraindre à n'énoncer que des savoirs et non des savoir-faire (compétences), ainsi que de se limiter au domaine « Grandeurs et mesures ».

Deux prérequis relevant d'autres domaines nécessaires à la résolution

Remarque

En l'absence de précision, savoirs et compétences sont cette fois acceptés.

On peut mentionner les prérequis suivants :

connaître les caractéristiques d'un rectangle (du moins, celles utiles à sa construction) ;
savoir tracer un rectangle (nous ne disposons pas d'informations sur le support) ;
savoir trouver une décomposition multiplicative à deux facteurs d'un nombre donné (ici : 120).

Situation 3

Justification du choix du quadrillage
L'utilisation du quadrillage permet à l'élève de déterminer facilement le périmètre en dénombrant les segments unités et l'aire en dénombrant les carreaux.
L'obtention de résultats numériques étant facilitée, l'enseignant peut centrer son propos (et les élèves, leur réflexion) sur le lien entre périmètre et aire, à savoir que des figures peuvent avoir même périmètre, mais pas même aire, ou même périmètre et même aire, mais pas même forme.
Par ailleurs, dans le cas du problème 2, l'utilisation de papier blanc aurait pu générer des erreurs de comparaisons, suite à des imprécisions dans le mesurage.

Situation 4

Trois critères de classement à l'étape 1
On peut comparer les rectangles en considérant leur aire, leur périmètre, leur longueur, voire leur encombrement (longueur la plus grande entre deux points de la figure ; dans le cas du rectangle : longueur de la diagonale).

Remarque

Trois critères seulement étaient demandés ; ne jamais en donner plus un jour de concours, toute erreur, même à l'issue de réponses valides, étant pénalisante.
La question posée par le maître engage plus à ranger qu'à classer les figures.

Interprétation des élèves des termes « le plus de… » et « le moins de… »
Pour le groupe 1, comparer la quantité de papier revient à comparer les largeurs des rectangles. (Les rectangles étant tous disposés de telle sorte que la largeur soit parallèle au bord inférieur de la feuille, on peut se demander si ces élèves considèrent la quantité de papier selon cette direction…)
Pour le groupe 2, la quantité de papier est liée au périmètre : une figure utilise plus de papier si son périmètre est plus grand.
Pour le groupe 3, la quantité de papier est liée à l'aire. Ce groupe compare (correctement) les aires par découpage et recouvrement.

Proposition de dimensions de trois rectangles, de périmètres et d'aires différents, permettant un classement selon l'aire différent de celui selon le périmètre

Rectangle A (10 cm × 9 cm)	demi-périmètre : 19	aire : 90
Rectangle B (5 cm × 28 cm)	demi-périmètre : 33	aire : 140
Rectangle C (40 cm × 2 cm)	demi-périmètre : 42	aire : 80

Du point de vue de l'aire : C < A < B.
Du point de vue du périmètre : A < B < C.

Remarque

Une fois de plus, il s'agit de rangement et non de classement.