Enseignement Les épreuves du CRPE
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Sujet

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Le sujet est composé de cinq exercices indépendants : ci-dessous est traité l'exercice 5.
Exercice 5
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s'appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
  • la croix M est située à 30 m du mur d'enceinte de l'école (MR = 30 m) ;
  • la croix L est située à 40 m du mur d'enceinte de l'école (LS = 40 m) ;
  • les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).
Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L'enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l'épreuve soit équitable, l'enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c'est-à-dire des croix L et M.
1. Construire à l'échelle le plan de la cour avec les points M, L, R et S en choisissant comme échelle 1 cm pour 5 m.
2. 
a. Sur la figure, construire le point T, milieu du segment [ML]. Tracer la droite perpendiculaire à (ML) et passant par T. On note C le point d'intersection de cette droite avec le mur.
b. Justifier que le point C est le point de contact cherché.
c. Mesurer la longueur RC sur le plan et en déduire une estimation de la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
3. 
On note x la distance, exprimée en mètre, entre les points R et C dans la cour de récréation.
a. Déterminer les longueurs MC et CL en fonction de x.
b. En déduire la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
Corrigé

Corrigé

Exercice 5
1. Sur le plan de la cour, 1 cm représente 5 m en réalité
RM = 30 m = 6 × 5 m : les points R et M seront distants de 6 cm sur le plan ;
RS = 50 m = 10 × 5 m : les points R et S seront distants de 10 cm sur le plan ;
SL = 40 m = 8 × 5 m : les points S et L seront distants de 8 cm sur le plan.
2. 
a. 
b. Le point de contact étant à égale distance des positions initiales des deux élèves, c'est-à-dire des croix L et M est le point d'intersection de la médiatrice du segment [ML] et du mur, c'est-à-dire le point de la perpendiculaire au segment  [ML] passant par son milieu T et du mur représenté par le segment [RS].
c. La distance entre R et C est environ de 6,4 cm sur le plan soit en réalité de 6,4 × 5 = 32 m.
3. 
a. 
Comme C est un point du segment [RS], RC = x \\ SC = RS - RC = 50 - x
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle RMC rectangle en R :
MC2 = RM2 + RC2 = 900 + x2 d'où MC = \sqrt {900 + x^{2}}
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle SCL rectangle en S :
CL2 = SC2 + SL2 = (50 − x)2 + 1600 d'où CL = \sqrt {(50 - x)^2 + 1600}
b. C étant à égale distance de M et de L, MC = CL d'où MC2 = CL2 d'où :
900 + x2 = (50 − x)2 + 1600
900 + x2 = 2500 − 100x + x2 + 1600
100x = 2500 + 1600 − 900
100x = 3200
x = 32
La distance entre les points R et C est de 32 m