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Les équations

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Représentation d'une équation décrivant des phénomènes météorologiques imprévisibles (mouvements de l'atmosphère, l'écoulement de l'eau, etc.).
Équation a + x = b
a  +  x  =  b est une équation d'inconnue x.
La résoudre, c'est trouver le nombre que l'on peut écrire à la place de x de façon que l'égalité soit vraie ; ce nombre s'appelle la solution de l'équation.
Pour résoudre ce type d'équation, on utilise la règle suivante : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une équation : on obtient alors une nouvelle équation qui a la même solution.
Exemple
On veut résoudre l'équation : 5,4 +  x  = 2.
On soustrait 5,4 aux deux membres de l'équation :
5,4 +  x   −  5,4  = 2  −  5,4
Puisque 5,4  −  5,4 = 0, on obtient : x  = 2  −  5,4
Et finalement : x  =  −3,4.
L'équation 5,4 +  x  = 2 a pour solution le nombre −3,4.
Équation ax = b
ax  =  b est une équation d'inconnue x.
La résoudre, c'est trouver le nombre que l'on peut écrire à la place de x de façon que l'égalité soit vraie ; ce nombre s'appelle la solution de l'équation.
Pour résoudre ce type d'équation, on utilise la règle suivante : on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une équation : on obtient alors une nouvelle équation qui a la même solution.
Exemple
On veut résoudre l'équation : 3x  = 7.
On divise les deux membres de l'équation par 3 : \frac{3x}{3}=\frac{7}{3}.
Puisque \frac{3x}{3}=\frac{3}{3}x=1x=x, l'équation ci-dessus s'écrit : x=\frac{7}{3}.
L'équation 3x  = 7 a donc pour solution le nombre \frac{7}{3}.
Vérifions l'égalité : 3\times\frac{7}{3}=\frac{3\times 7}{3}=7  ; on a bien : 3\times\frac{7}{3}=7.
Équation d'une droite
Dans un repère du plan, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation de la forme : y  =  ax  +  b (a étant le coefficient directeur de la droite et b son ordonnée à l'origine).

Cette équation indique la relation existant entre les coordonnées x et y de n'importe quel point de la droite.
Exemple
Prenons l'exemple de la droite D d'équation : y  =  −3x  + 1.
On peut dire que A(1 ;  −2) est sur D car −2 = (−3) × 1 + 1.
Équation du premier degré à une inconnue
2x  + 5 =  x   −  1 est une équation à une inconnue,   x. La résoudre, c'est trouver la valeur numérique que l'on peut donner à x de façon que l'égalité soit vraie.
Cette équation est du premier degré car l'exposant de l'inconnue x est 1.
Règle
Pour résoudre ce type d'équation, on utilise les règles suivantes :
  • l'égalité est conservée quand on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité ;
  • l'égalité est conservée quand on multiplie ou divise par un même nombre non nul les deux membres d'une égalité.
Exemple
Résolvons l'équation 2x  + 5 =  x   −  1.
On ajoute à chaque membre de l'égalité − x et −5.
Après élimination des termes opposés, on obtient : 2x   −   x  =  −5  −  1.
D'où x  =  −6.
Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
Équation produit
Une équation à une inconnue x est appelée équation produit si elle est de la forme A   ×   B  = 0, où A et B sont des facteurs du premier degré en x, c'est-à-dire de la forme ax +  b (a et b étant des nombres donnés).
Règle
Pour résoudre une équation produit, on utilise la propriété suivante : si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ces facteurs est nul.
On en déduit que A   ×   B  = 0 équivaut à A  = 0 ou B  = 0.
La résolution de A   ×   B  = 0 équivaut donc à la résolution de deux équations du premier degré en x  : A  = 0 ou B  = 0.
Exemple
Résolvons l'équation (5x + 1) (2x   −  4) = 0.

Elle équivaut à :
5x  + 1 = 0 ou 2x   −  4 = 0
5x  =  − 1 ou 2x  = 4
x=-\frac{1}{5} ou x  = 2
L'équation a donc deux solutions : -\frac{1}{5} et 2.
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