Sujet 2025 de mathématiques, groupement académique&nbsp;2 (nouveau)

Enseignement Les épreuves du CRPE Bac + 5

Sujet 2025 de mathématiques, groupement académique 2 (nouveau)

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Sujet

L'épreuve est notée sur 20. Une note globale égale ou inférieure à 5 est éliminatoire. Durée de l'épreuve : 3 h ; coefficient 1

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants permettant de vérifier les connaissances du candidat.

→ Téléchargez l'énoncé sur le site Devenir enseignant

Corrigé

Exercice 1

Affirmation 1 : FAUX

$\frac{35}{7}\, =\, 5$
5 est un entier naturel. Or l'ensemble des entiers naturels est inclus dans l'ensemble des nombres décimaux, donc 5 est un nombre décimal. Donc $\frac{35}{7}$ est un décimal.

Affirmation 2 : VRAI
$22,9\, =\, \frac{229}{10}$
Donc 22,9 est bien un nombre rationnel.
On pouvait aussi affirmer que tout nombre décimal est un nombre rationnel (le contraire étant faux ; exemple : $\frac{1}{3}$ ).

Affirmation 3 : VRAI
Soit n un nombre entier.
L'entier consécutif à n est l'entier n + 1.
Les suivants sont n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 et n + 6.
La somme de ces sept entiers est égale à
S = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6)
S = 7n + 21
S = 7 × n + 7 × 3
On factorise la somme car on repère le facteur commun 7.
S = 7 × (n + 3)
Ainsi, la somme est bien un multiple de 7 car la somme S est égale au produit de 7 et d'un entier positif (n + 3).

Affirmation 4 : VRAI
Déterminons les diviseurs de 496.
Par la calculatrice, en effectuant des divisions successives, on a :
496 = 2 × 2 × 2 × 2 × 31
Donc les diviseurs de 496 sont :
1, 2, 2 × 2, 2 × 2 × 2, 2 × 2 × 2 × 2, 31, 2 × 31, 2 × 2 × 31 et 2 × 2 × 2 × 31.
C'est-à-dire :
1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 et 248.
Calculons la somme de ces diviseurs :
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
496 est donc un nombre parfait.
Ce résultat est apparemment connu depuis l'Antiquité.

Affirmation 5 : FAUX
Les réels de l'intervalle ]0 ;1[ sont des réels ne vérifiant pas cette affirmation.
En effet, la fonction racine carrée est supérieure à la fonction identité sur [0 ;1].

Par exemple : pour $\mathit{x}\, =\, 0,25\, =\, \frac{1}{4}$
On a $\, \sqrt{x}\, =\, \sqrt{\frac{1}{4}}\, =\, \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}\, =\, \frac{1}{2}\, =\, 0,5$ .
On a 0,25 < 0,5.

Affirmation 6 : FAUX

Cela est faux en général. C'est vrai pour les carrés.
Si l'on plie une feuille A4 le long de l'une de ses diagonales, les deux parties ne se superposent pas.

Exercice 2

1.

Considérons une grandeur (ici le volume en L) mesurée à deux reprises : au départ et à l'arrivée.
On note ces valeurs V_d et V_a.
Alors le pourcentage d'évolution entre V_d et V_a est le nombre égal à :
$\frac{\mathit{V}_{\mathit{a}}\, -\, \mathit{V}_{\mathit{d}}}{\mathit{V}_{\mathit{d}}}\, \times \, 100$
On calcule ainsi :
$\frac{1\, -\, 8}{8}\, \times \, 100\, =\, -87,5$
Ainsi, le volume a diminué de 87,5 %.
(On sait qu'il s'agit d'une diminution car −87,5 < 0 car V_d > V_a.)

2.

On peut construire le tableau de proportionnalité suivant :

Nombre de vaches	1	248
Volume de lait (en L)	30	V_lait

Ainsi, on a : $\mathit{V}_{\mathit{lait}}\, =\, \frac{30\, \times \, 248}{1}\, =\, 7\, 440\, \mathit{L}$ . Claire va donc récolter en moyenne 7 440 L de lait au total chaque jour.
On a ensuite le tableau de proportionnalité suivant :

Volume de lait	8	7 440
Volume de crème fraîche	1	V_crème

$\mathit{V}_{\mathit{cr\grave{e}me}}\, =\, \frac{1\, \times \, 7440}{8}\, =\, 930\, \mathit{L}$
Claire pourra ainsi fabriquer 930 L de crème fraîche par jour (si elle a le temps de récolter le lait le matin et fabriquer la crème l'après-midi).
Enfin, on peut construire le tableau de proportionnalité suivant :

Masse de beurre (en kg)	1	m
Volume de crème fraîche (en L)	3	930

On a donc :
$\mathit{m}\, =\, \frac{1\, \times \, 930}{3}\, =\, 310\, \mathit{kg}$
Ainsi, Claire peut espérer fabriquer 310 kg de beurre chaque jour.

3.

a. Le volume V d'un parallélépipède rectangle (pavé droit) est égal au produit l × L × h avec l la longueur, L la largeur et h la hauteur.
On vérifie que les grandeurs sont bien toutes exprimées dans la même unité.
V = 10 × 6,5 × 3,5 = 227,5 cm³
Ainsi, le volume d'une plaquette de beurre est égal à 227,5 cm³.

b. Pour comparer les deux masses volumiques, elles doivent être exprimées dans la même unité.
250 g est égal à 0,25 kg. En effet $\frac{250}{1000}\, =\, 0,25$ . On peut aussi le constater dans un tableau de conversion :

kg	hg	dag	g	dg	cg	mg
	2	5	0

On utilise maintenant le tableau de conversion suivant :

dm³ (= litres)			cm³			mm³
		0	2	2	7	5

On sait que 1 dm³ = 1 L.
On a 227,5 cm³ = 0,2275 dm³ = 0,2275 L
La masse volumique du beurre est donc égale à :
$\mathit{\mathbf{\rho}} _{\mathit{\mathbf{beurre}}}\, =\, \frac{\mathbf{0,25}}{\mathbf{0,2275}}\, \mathbf{\approx} \, \mathbf{1,099}\, \mathrm{\mathbf{kg}}/\mathrm{\mathbf{L}}$
On a ainsi : ρ_beurre > ρ_lait.

4.

Le rectangle de la base du pavé droit a pour dimensions 10 cm par 6,5 cm.
Un patron possible est le suivant :

On a une longueur du patron égale à 3,5 + 10 = 3,5 = 17 cm.
On a une largeur du patron égale à 3,5 + 6,5 + 3,5 + 6,5 = 20 cm.
Ce patron requiert une feuille de dimension minimale de 17 cm × 20 cm. La feuille proposée a une dimension de 23 cm × 20 cm, cela est donc possible (car 23 > 17).

b. Les dimensions de la plaquette sont l = 10 cm par L = 6,5 cm par h = 3,5 cm.
D'après notre patron, l'aire de la surface latérale de la plaquette est égale à la somme des aires de six rectangles.
Deux rectangles ont pour dimensions : 10 par 6,5.
L'aire de l'un de ces rectangles est égale à 10 × 6,5 = 65 cm².
Deux rectangles ont pour dimensions : 10 par 3,5.
L'aire de l'un de ces rectangles est égale à 10 × 3,5 = 35 cm².
Deux rectangles ont pour dimensions : 3,5 par 6,5.
L'aire de l'un de ces rectangles est égale à 3,5 × 6,5 = 22,75 cm².
Ainsi, A = 2 × 65 + 2 × 35 + 2 × 22,75 = 245,5 cm².

c. Calculons le rapport :
$\frac{\mathit{Aire\, de\, la\, plaquette}}{\mathit{Aire\, de\, la\, feuille}}\, =\, \frac{245,5}{23\, \times \, 20}\, \approx \, 0,53$
Claire a tort, l'aire de la plaquette représente environ 53 % de l'aire de la feuille (53 < 60).

5.

a. La formule qui peut être saisie en B9 est « =SOMME(B3 :B8) » (si le logiciel est paramétré en français) ou « =B3 + B4 + B5 + B6 + B7 + B8 ».

b. La formule qui peut être saisie en C3 est « =B3*2,5 ».
Attention : selon le logiciel, la version, la langue sélectionnée, le séparateur décimal peut être le point ou la virgule.

Exercice 3

Modélisons l'expérience aléatoire par un arbre de probabilité.
Notons T₁ l'événement « JB touche la planche lors du 1^er saut ».
Notons D₁ l'événement « JB dépasse la planche lors du 1^er saut ».
Notons R₁ l'événement « JB réussit le 1^er saut ».
Notons T₂ l'événement « JB touche la planche lors du 2^d saut ».
Notons D₂ l'événement « JB dépasse la planche lors du 2^d saut ».
Notons R₂ l'événement « JB réussit le 2^d saut ».

1.

On cherche donc la probabilité de l'événement « JB réussit le 1^er saut et réussit le 2^d saut ». Cet événement se note $\mathit{R}_{1}\, \cap \mathit{R}_{2}$ .
À retenir : l'union de deux événements se traduit par le symbole $\mathrm{\cup }$ (comme dans le mot union) alors que l'intersection de deux événements se traduit par le symbole $\mathrm{\cap }$ .
Un seul chemin de l'arbre correspond, on calcule donc :
$\mathit{P}(\mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2})\, =\, \frac{1}{3}\,\times \, \frac{1}{3}\, =\, \frac{1}{9}$

2.

L'événement donné se note $(\mathit{T}_{1}\, \cap \, R_{2})\, \cup \, (D_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2})$ .
Visuellement on peut dire que l'événement proposé est composé de deux chemins :
$\mathit{P}(\mathit{T}_{1}\, \cap \, R_{2})\, +\, P(D_{1}\, \cap \, R_{2})\, =\, \frac{1}{3}\, \times \frac{1}{3}\, +\, \frac{1}{3}\, \times \, \frac{1}{3}\, =\, \frac{2}{9}$

3.

Notons l'événement donné E. Alors $\mathit{E}\, =\, (\mathit{T}_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2})\, \cup \, (\mathit{D}_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2})\, \cup \, (\mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{T}_{2})\, \cup \, (\mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{D}_{2})$ .
Les quatre événements sont disjoints deux à deux. On a donc :
$\mathit{P}(\mathit{E})\, =\, \mathit{P}(\mathit{T}_{1}\, \cap \, \mathit{D}_{2})\, + \, \mathit{P}(\mathit{D}_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2})\, + \, \mathit{P}(\mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{T}_{2})\, + \, \mathit{P}(\mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{D}_{2})$
$\mathit{P}(\mathit{E})\, =\, \frac{2}{9}\, +\, \frac{1}{3}\, \times \, \frac{1}{3}\, +\, \frac{1}{3}\, \times \, \frac{1}{3}\, =\, \frac{4}{9}$
On pouvait aussi raisonner en termes de chemins et affirmer que les neuf chemins de l'arbre sont équiprobables et que les intersections des événements situés sur chaque chemin ont la même probabilité. Comme quatre chemins composent notre événement E, alors on a bien une probabilité de $\frac{4}{9}$ .

4.

Notons F : « JB va mordre au moins une fois ».
Alors $\bar{\mathit{F}}$ le contraire de F est « JB ne va pas mordre au moins une fois », c'est-à-dire « JB ne va mordre aucune fois. » Donc $\bar{\mathit{F}}\, =\, \mathit{R}_{1}\, \cap \, \mathit{R}_{2}$ .
Rappel de propriété : Pour tout événement A, on a : $\mathit{P}(\mathit{A})\, =\, 1\, - \, \mathit{P}(\bar{A})$ .
Ainsi :
$\mathit{P}(\mathit{F})\, =\, 1\, - \, \mathit{P}(\bar{F})\, =\, 1\, -\, P(R_{1}\, \cap \, R_{2})\, =\, 1\, -\, \frac{1}{9}\, =\, \frac{8}{9}$
Ainsi, la probabilité qu'il morde au moins une fois lors de l'un de ses deux sauts est égale à $\frac{8}{9}$ .

Un document ressource Éduscol sur les probabilités peut être téléchargé ici.

Exercice 4

1.

Nous sommes en présence d'une configuration de Thalès (« en papillon »).

Des rappels sont disponibles si nécessaire sur le site blogpeda.ac-bordeaux.fr.

En effet, les points A, P, B et I, P, J sont alignés dans cet ordre.
Les droites (AI) et (JB) sont parallèles.
Ainsi, d'après le théorème de Thalès on peut affirmer que :
$\frac{\mathit{AI}}{\mathit{JB}}\, =\, \frac{\mathit{PI}}{\mathit{PJ}}\, =\, \frac{\mathit{PA}}{\mathit{PB}}$
En particulier :
$\frac{30}{46}\, =\, \frac{\mathit{PI}}{\mathit{PJ}}$
Ainsi :
$\mathit{PI}\, =\, \frac{30\, \times \, \mathit{PJ}}{46}$
Or I, P et J sont alignés dans cet ordre, donc : IJ = IP + PJ ou encore PJ = IJ − IP.
$\mathit{PI}\, =\, \frac{30\, \times \, (\mathit{IJ}\, -\, \mathit{IP})}{46}\, =\, \frac{30\, \times \, (120\, -\, \mathit{IP})}{46}\, =\, \frac{30\, \times \, 120\, -\, 30\, \times \, \mathit{IP}}{46}\, =\, \frac{3\, 600\, -\, 30\, \times \, \mathit{IP}}{46}$
On cherche donc à résoudre l'équation suivante (en posant PI = x comme le propose l'énoncé) :
$\mathit{x}\, =\, \frac{3\, 600\, -\, 30\mathit{x}}{46}$
On multiplie les deux membres par 46.
$\mathit{x}\, \times \, 46\, =\, \frac{3\, 600\, -\, 30\mathit{x}}{46}\, \times \, 46$
46x = 3 600 − 30x
On ajoute 30x aux deux membres.
46x + 30x = 3 600 − 30x + 30x
76x = 3 600
On divise les deux membres par 76.
$\frac{76\mathit{x}}{76}\, =\, \frac{3\, 600}{76}$
Ainsi :
$\mathbf{\mathit{x}\, \approx \, 47\, \mathit{m}}$

Des ressources pour réviser les résolutions d'équations sont disponibles sur le site Euler des mathématiques de l'académie de Versailles.

2.

a. Nous allons utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AIP et BPJ.
On a donc les égalités suivantes :
AP² = AI² + IP² = 30² + x²
et
PB² = JP² + JB² = (IJ − IP)² + 46² = (120 − x)² + 2 116

b. On va résoudre l'équation : PA = PB.
Or, si deux longueurs sont égales, alors leurs carrés sont égaux.
Ainsi : PA² = PB².
Donc :
30² + x² = (120 − x)² + 2 116
Rappel : (a −b)² = a² −2 × a × b + b² (c'est la deuxième identité remarquable).
Ainsi, on résout :
30² + x² = 120² − 2 × 120 × x + x² + 2 116
900 + x² = 14 400 − 240x + x² + 2 116
On soustrait par x² les deux membres :
900 + x² −x² = 14 400 −240x + x² + 2 116 −x²
900 = 14 400 −240x + 2 116
900 = 16 516 −240x
On ajoute 240x aux deux membres :
900 + 240x = 16 516 − 240x + 240x
900 + 240x = 16 516
On soustrait par 900 les deux membres :
900 + 240x − 900 = 16 516 − 900
240x = 15 616
Enfin, on divise les deux membres par 240 :
$\frac{240x}{240}\, =\, \frac{15\, 616}{240}$
$\mathit{x}\approx 65\, \mathit{m}$

3.

Calculons d la distance parcourue en mètres.
On sait que :
$\mathit{PA}^{2}\, =\, \mathit{AI}^{2}\, +\, \mathit{IP}^{2}\, =\, 30^{2}+\left ( \frac{15\, 616}{240} \right )^{2}$
Donc :
$\mathit{PA}\, =\,\sqrt{PA^{2}}\, =\, \sqrt{30^{2}+\left ( \frac{15\, 616}{240} \right )^{2}}\, \approx \, 71,65$
Et on sait que dans la situation choisie : PA = PB.
Ainsi $d\, =\, \mathit{PA}\, +\,\mathit{PB}\, =\, \mathit{PA}\, +\, \mathit{PA}\, =\, 2\, \times \mathit{PA}\, =\, 2\, \times \, \sqrt{30^{2}+\left ( \frac{15\, 616}{240} \right )^{2}}\, \approx \, 143,3\, \mathit{m}$ .
Comme la vitesse donnée est en km/h, alors convertissons cette distance en kilomètres en divisant notre résultat par 1 000.
La distance parcourue est donc d'environ $\mathit{d}\, \approx \, 0,143\, \mathit{km}$ .
On a la formule suivante :
$Vitesse\, moyenne\, en\, km/h\, =\, \frac{distance\, parcourue\, en\, km}{temps\, n\acute{e}cessaire\, en\, h}$
Donc :
$4,5\, =\, \frac{\mathit{d}}{\mathit{t}}$
Soit :
$\mathit{t}\, =\, \frac{\mathit{d}\, \times \, 1}{4,5}\, \approx \, 0,0318\,\mathit{ h}$
Or une heure est constituée de 60 minutes, d'où :
$\mathit{t}\, =\, \frac{\mathit{d}}{4,5}\, \times \,60\, \mathit{min} \, \approx \, 1,9\,\mathit{ min}$
On peut convertir le résultat en secondes en multipliant à nouveau par 60 :
$\mathit{t}\, =\, \frac{\mathit{d}}{4,5}\, \times \,60\, \times \, 60\, \mathit{sec} \, \approx \, 114,6\,\mathit{ sec}$
Soit un temps de parcours d'environ 1 minute et 55 secondes en arrondissant à la seconde.

b. On a la formule suivante :
$Vitesse\, moyenne\, =\, \frac{distance\, parcourue}{temps\, n\acute{e}cessaire}$
On a $\mathit{d}\, \approx \, 0,143\, \mathit{km}$ .
Déterminons le temps de parcours t en heures.
On a le tableau de proportionnalité suivant :

Heures	1	t
Secondes	3 600	57

Donc : $\mathit{t}\, = \, \frac{57\times 1}{3\, 600}\, \approx \, 0,01583$ .
Ainsi :
$\mathit{\nu} _{\mathit{Bob}}=\frac{d}{t}\, \approx \, 9\, \mathit{km/h}$
Ainsi, la vitesse de Bob est d'environ 9 km/h.

Exercice 5

1.

En utilisant la proportionnalité on trouve que :

40 pas sont donc représentés par 4 cm sur la feuille.

2.

Le lutin va être orienté vers le bas.
Initialement le lutin regarde vers la droite : le logiciel Scratch considère qu'il est orienté à 90°.

Puis le lutin subit une rotation de 135° vers la gauche (dans le sens anti-horaire).

Son orientation est donc de 90° + 135° soit 225°.
Enfin le lutin subit une dernière rotation de 135° vers la gauche.

Son orientation finale est alors de 225° + 135° soit 360°.
L'orientation est donc « vers le bas » ou « vers le sud ».

3.

Pour tous les programmes, une boucle fermée « Répéter 4 fois » a été ajoutée.
Le programme A donne la figure 3.
En effet, à la fin du premier passage de la boucle qui dessine le triangle rectangle isocèle, le lutin (qui regarde vers le bas et est en position x = 0 et y = 0) va pivoter de 90° vers la gauche, il sera donc orienté vers la droite. Puis il va avancer de a + 10 pas avant de dessiner à nouveau le même triangle rectangle isocèle.
Le programme B donne la figure 1.
En effet, à la fin du premier passage de la boucle qui dessine le triangle rectangle isocèle, le lutin (qui regarde vers le bas et est en position x = 0 et y = 0) va redessiner un triangle rectangle isocèle mais en partant cette fois « vers le bas ».
Le programme C donne la figure 4.
En effet, à la fin du premier passage de la boucle qui dessine le triangle rectangle isocèle, le lutin (qui regarde vers le bas et est en position x = 0 et y = 0) va pivoter de 90° vers la gauche, il sera donc orienté vers la droite et en position x = 0 et y = 0.
La valeur de a est alors augmentée de 10 pas.
Lors du deuxième passage dans la boucle, le lutin va donc dessiner un triangle rectangle isocèle mais dont les deux côtés de même longueur auront pour longueur a + 10. Ce nouveau triangle vient d'une certaine manière « étendre » les côtés du triangle précédent. De même pour le troisième passage : le lutin dessinera un triangle rectangle isocèle dont les côtés ont pour longueur a + 10 + 10 soit a + 20.
Enfin, pour le quatrième et dernier passage, le lutin dessinera un triangle rectangle isocèle dont les côtés ont pour longueur a + 10 + 10 + 10 soit a + 30.

Des ressources Éduscol sur la programmation en langage Scratch sont disponibles, à télécharger ici (les pages 13 et 14 concernent le dessin de figures).

Sujet corrigé réalisé par Jean Delautre, professeur de mathématiques au lycée Notre-Dame de la Paix à Lille.

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