Sujet 2017, groupement académique&nbsp;3

Enseignement Les épreuves du CRPE

Sujet 2017, groupement académique 3

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Sujet

Première partie (13 points)

La fin mai 2016 a été marquée par un passage fortement pluvieux avec des cumuls de pluie exceptionnels dans certaines régions françaises, provoquant crues et inondations.

A. Étude d'une crue de la Vienne

Hauteur de la Vienne à Nouâtre et à Chinon
Source : d'après Vigicrues.

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.

1. Quelle hauteur maximale la Vienne a-t-elle atteinte à Chinon entre le 29 mai 2016 à 17 heures et le 5 juin 2016 à 17 heures ?

2. À Nouâtre, entre le 29 mai 2016 à 17 heures et le 5 juin 2016 à 17 heures, pendant combien de temps le niveau de l'eau a-t-il été supérieur au niveau maximum de la crue du 18 décembre 2012 ? Donner la réponse en heures.

a) Combien d'heures se sont écoulées entre le pic de la crue de Nouâtre et celui de Chinon ?

b) De Nouâtre ou de Chinon, quelle station est située le plus en amont de la rivière ? Justifier la réponse.

B. Précipitations et récupérateur d'eau

Un habitant de Poitiers utilise la toiture de son garage pour recueillir l'eau de pluie et la stocker dans une cuve enterrée.
Vue du ciel, la toiture a la forme d'un rectangle de 4 mètres sur 6,2 mètres.
La cuve est constituée de deux demi-sphères de 124 cm de diamètre et d'un cylindre de révolution de diamètre 124 cm et de longueur 166 cm.


Ce dessin n'est pas à l'échelle.

Le dimanche 29 mai 2016, il a été relevé une hauteur de 31,7 mm de précipitations à Poitiers (Source : Info Climat).

a) Vérifier que le volume d'eau, en litres, tombé sur la toiture du garage ce jour-là est environ 790 L.

b) Sachant que 90 % de l'eau de pluie tombée sur le toit du garage est récupérée dans la cuve, calculer le volume d'eau, en litres, réellement recueilli dans le réservoir ce jour-là.

c) Est-il vrai que, ce jour-là, un peu moins d'un quart de la citerne a été rempli ? On rappelle que le volume d'une boule de rayon R est donné par la formule V = $\frac{4}{3}$ πR³ et le volume d'un cylindre de révolution de hauteur h et dont la base a pour rayon R est V = πR²h.

Le tableau suivant donne la hauteur des précipitations relevée mensuellement à Poitiers entre le 1^er janvier 2015 et le 31 mai 2016 (Source : Info Climat).

	Cumul Précipitations en mm
Janv. 2015	50,1
Fév. 2015	59,7
Mars 2015	31,2
Avr. 2015	43,5
Mai 2015	46,6
Juin 2015	94,4
Juil. 2015	14,4
Août 2015	151,6
Sept. 2015	83,6
Oct. 2015	26,0
Nov. 2015	43,9
Déc. 2015	18,8
Janv. 2016	77,9
Fév. 2016	84,3
Mars 2016	85,4
Avr. 2016	33,9
Mai 2016	121,1

a) Calculer le pourcentage d'augmentation des précipitations entre le mois de mai 2015 et le mois de mai 2016.

b) En supposant que la cuve soit vide à la fin du mois de septembre 2015. Quand sera-t-elle à nouveau pleine si le propriétaire n'utilise pas d'eau entre-temps ? On rappelle que 90 % de la pluviométrie est récupérée dans la cuve.

C. Péniche et pont

Un pont a une arche en forme d'arc de cercle.
Lors d'une crue, l'eau atteint les sommets A et B des piliers du pont.
La hauteur maximale IC entre le niveau de l'eau et le sommet de l'arche est alors de 5 mètres. L'écartement AB entre les deux piliers du pont est de 24 mètres.
La situation est modélisée par le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle, sur lequel O est le centre de l'arc de cercle $\overset{\huge{\frown}}{AB}$ et (CO) est l'axe de symétrie de la figure.

1. Montrer que le rayon OA de l'arche est 16,9 m.
On assimile la coupe de la partie émergée d'une péniche, vue de face, à un rectangle de 4 mètres de haut et de 12 mètres de large.
La situation est modélisée par le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle et sur lequel on a EH = 12 m et FE = 4 m.

2. Cette péniche peut-elle passer sous l'arche du pont sans dommages ? Justifier.

Deuxième partie (13 points)

Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse fausse n'enlève pas de points, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Pour réaliser un collier en perles, Camille enfile 200 perles en répétant le modèle suivant : une perle jaune, puis trois perles rouges, puis deux perles blanches.
Affirmation : La couleur de la 147^e perle sera rouge.

2. Arthur a acheté un article bénéficiant d'une réduction de 30 % et a ainsi économisé 48 €.
Affirmation : Au final, il a payé 112 € pour cet article.

3. Un randonneur marche pendant 12 km à 6 km/h, puis il marche pendant 12 km à 4 km/h.
Affirmation : pour les 24 km de randonnée, sa vitesse moyenne est 5 km/h.

4. ABCD est un quadrilatère ayant ses diagonales perpendiculaires et de même milieu.
Affirmation : ABCD est un carré.

Exercice 2

Dans cet exercice, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
On dispose d'un dé cubique à 6 faces numérotées de 1 à 6 et d'un dé tétraédrique à 4 faces avec des sommets numérotés de 1 à 4 comme sur la photo ci-dessous, parfaitement équilibrés.
On lance les deux dés et on note le nombre lisible sur la face supérieure du dé à 6 faces et le nombre lisible sur le sommet supérieur du dé à 4 faces.

a) Avec quel dé la probabilité d'obtenir un 3 est-elle la plus grande ?

b) Avec quel dé la probabilité d'obtenir un multiple de 3 est-elle la plus grande ?

c) Quelle est la probabilité d'obtenir avec le dé à 4 faces un nombre supérieur ou égal au nombre obtenu avec le dé à 6 faces ?

On calcule la somme des nombres obtenus avec chacun des deux dés.

a) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme paire ?

b) Quelle est la probabilité d'obtenir une somme strictement supérieure à 3 ?

Exercice 3

Un élève utilise le programme ci-dessous.

1. Quelle réponse le logiciel va-t-il afficher si l'élève entre la valeur 5 ? Expliquer pourquoi.

2. Quel nombre l'élève doit-il rentrer pour obtenir en retour le message « Bravo ! Tu as trouvé le nombre mystère. » ?

Exercice 4

Pour calculer le débit D d'une perfusion en gouttes par minute, les infirmiers utilisent la formule D = $\frac{V}{3 \times T}$ où V est le volume, en millilitres, de la perfusion et T est le temps, en heures, que doit durer la perfusion.

1. À quel débit doit être réglée la perfusion si le volume à transfuser est de 1,5 litre en un jour ? Arrondir la réponse à l'unité.

2. Une perfusion est réglée sur un débit de 6 gouttes par minute. Quel volume de liquide sera perfusé en une heure et quart ?

3. Une perfusion a un volume de 250 mL et est réglée sur un débit de 8 gouttes par minute. Quelle devrait être la durée de la perfusion ? Donner la réponse sous la forme x heures y minutes.

Troisième partie (14 points)

Cette partie est composée de trois situations indépendantes.

Situation 1

Un enseignant met en œuvre dans sa classe les activités d'apprentissage ci-dessous.

Activité 1
Étape 1
On met à disposition des élèves une boîte opaque vide visible de tous.
Un premier élève y dépose une quantité d'objets annoncée à la classe. Un autre élève met à son tour des objets dans la même boîte en précisant la quantité, sans les mettre un à un ; la boîte est fermée et il est demandé aux élèves de trouver combien il y a d'objets dans la boîte. Il est annoncé qu'on vérifiera ensuite en comptant dans la boîte. Le nombre d'objets déposés par chaque élève est compris entre 1 et 10.
Étape 2
Même situation, mais le premier élève peut mettre jusqu'à 20 objets et le deuxième élève doit enlever un certain nombre d'objets de la boîte.
Étape 3
Le premier élève met des objets dans la boîte en annonçant le nombre ; un deuxième élève est appelé ; l'enseignant lui indique le nombre d'objets qu'il souhaite avoir dans la boîte, ce nombre étant supérieur au nombre d'objets déjà présents, et lui demande combien d'objets il doit rajouter.
Activité 2
Un enfant met un certain nombre de cailloux dans une main de l'enseignant (moins de 10 cailloux) ; il les compte à haute voix. Un autre enfant fait de même, dans l'autre main. L'enseignant les réunit et demande aux élèves combien il a de cailloux dans ses mains.
Après recueil de propositions, la validation se fait par comptage des cailloux.

1. Indiquer un objectif d'apprentissage de ces activités.

2. Qu'est-ce qui distingue les tâches demandées aux élèves dans l'étape 1 de l'activité 1 et l'activité 2 ?

3. Indiquer deux procédures que les élèves peuvent mettre en œuvre pour faire ce qui leur est demandé dans l'étape 1 de l'activité 1.

4. Indiquer une variable didactique sur laquelle jouer en spécifiant les effets que l'on peut alors en attendre en termes d'évolution des procédures.

Situation 2

On considère l'exercice suivant (d'après le manuel scolaire Cap maths, Hatier, 2016).

Calcule avec la méthode de ton choix.
a) 91 − 52 = …
b) 613 − 209 = …
c) 800 − 153 = …
d) 607 − 54 = …

1. Quelle est la notion abordée ? Citer deux connaissances et savoir-faire que cette situation met en jeu.

Étude des productions des élèves
On considère les quatre productions d'élèves suivantes :

Antoine

Barbara

Clara
X

Dominique

a) Quelles sont les différentes procédures utilisées par Antoine, Barbara et Clara ?

b) Qu'est-ce qui différencie les procédures utilisées par Barbara et Dominique ?

c) Relever les réussites et les erreurs de Barbara et Clara.

d) Quel accompagnement pédagogique mettriez-vous en œuvre pour remédier aux difficultés rencontrées par Clara ?

Situation 3

Un enseignant propose l'exercice ci-dessous à des élèves de CM1.


Source : Graine de maths CM1, Nathan, 2016.

1. Citer deux connaissances ou savoir-faire mathématiques nécessaires à la réussite de cet exercice.

Utiliser les deux productions d'élèves reproduites ci-après pour répondre aux questions ci-dessous.

a) Analyser chaque production en termes de réussites et d'erreurs.

b) Proposer deux dispositifs de remédiation que l'enseignant pourrait mettre en œuvre à l'attention d'Oriane.

Oriane

Samuel

Corrigé

Remarque

Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.

Première partie

A. Étude d'une crue de la Vienne – Lectures graphiques

1. Hauteur de crue maximale à Chinon, entre le 29 mai 2016 à 17 heures et le 5 juin 2016 à 17 heures
La Vienne a atteint une hauteur maximale de 5 m à Chinon.

2. Durée de crue supérieure au niveau maximum de la crue du 18 décembre 2012, à Nouâtre, entre le 29 mai 2016 à 17 heures et le 5 juin 2016 à 17 heures
À Nouâtre, le niveau d'eau a été supérieur au niveau maximum de la crue du 18 décembre 2012 pendant 48 heures environ.

a) Temps écoulé entre le pic de crue de Nouâtre et celui de Chinon
Il s'est écoulé 18 heures entre les deux pics de crue.

b) Positions relatives de Chinon et de Nouâtre
Comme le pic de la crue est antérieur et plus important en hauteur d'eau à Nouâtre, on en déduit que Nouâtre est en amont de Chinon sur la Vienne.
En effet, si Nouâtre devait être en aval de Chinon, on ne pourrait expliquer un pic supérieur à celui de Chinon que par l'apport d'affluents de la Vienne entre Chinon et Nouâtre, mais alors le pic de Nouâtre devrait être postérieur à celui de Chinon. Nouâtre étant en amont de Chinon, la différence de hauteur maximale de la crue s'explique par un élargissement du fleuve au fil de son cours.

Remarque

Cette question avait de quoi surprendre les candidats car elle mobilise des connaissances non disciplinaires.

B. Précipitations et récupérateur d'eau

a) Volume de précipitations tombées sur le toit (en litres)
Le toit a une longueur de 6,2 m et une largeur de 4 m. Son aire est donc 24,8 m² car 4 × 6,2 = 24,8.
Sachant qu'il est tombé 31,7 mm de pluie et que 31,7 mm = 0,0317 m, le volume d'eau tombé sur le toit est 0,786 16 m³ car : 0,0317 × 24,8 = 0,786 16.
Or, 1 m³ = 1 000 L.
Il est donc tombé 786,16 L d'eau, soit environ 790 L, sur le toit du garage.

b) Volume d'eau récupérée (en litres)
On a : 0,9 × 786,16 = 707,544.
Le réservoir a donc recueilli environ 707 L d'eau (711 si on repart de la valeur approchée 790).

c) Fraction du volume de la citerne rempli
Calculons le volume de la citerne. Il est constitué du volume d'une boule B, de rayon R, et du volume d'un cylindre C, de hauteur h et de rayon R.
Le volume de la citerne est :
V = $\frac{4}{3}$ × π × R³ + π × R² × h = π × R² ( $\frac{4}{3}$ R + h).
Ici, h = 1,66 m et R = $\frac{1,24}{2}$ m = 0,62 m. En remplaçant R et h par leurs mesures, on obtient la mesure du volume, en m³, suivante :
V = π × 0,62² ( $\frac{4}{3}$ × 0,62 + 1,66) $\approx$ 3,003, soit : 3 003 L.
Un quart de la contenance de la cuve correspond donc à environ 750,75 L car 3 003 ÷ 4 = 750,75.
Or, d'après la question précédente, la citerne a recueilli environ 707 L d'eau.
Il est donc vrai que, ce jour-là, un peu moins d'un quart de la citerne a été rempli.

a) Pourcentage d'augmentation des précipitations entre mai 2015 et mai 2016
En mai 2015, la hauteur des précipitations a été de 46,6 mm, pour 121,1 mm en mai 2016.
On a : $\frac{121,1}{46,6}\approx$ 2,6. La hauteur des précipitations a donc été multipliée par environ 2,6 entre mai 2015 et mai 2016.
Les précipitations ont donc augmenté d'environ 160 % entre mai 2015 et mai 2016.

Remarque

On utilise ici le résultat suivant : « augmenter (resp. diminuer) de x % revient à multiplier par $1+\frac{x}{100}$ (resp. $1-\frac{x}{100}$ ) ».

b) Moment du remplissage de la cuve à partir de fin septembre 2015
La contenance de la cuve est V (voir question B.1.c)). Ce volume correspond à un volume de pluie tombée de $\frac{V}{0,9}$ car seulement 90 % du volume d'eau tombée est récupéré dans la citerne. Or, l'aire du toit mesure 24,8 m² d'après la question B.1.a). Lorsque le volume d'eau tombée, en m³, est égal à $\frac{V}{0,9}$ , la hauteur d'eau tombée sur le toit est : $\frac{V}{0,9}$ ÷ 24,8 (en m). Si l'on remplace V par la valeur trouvée en B.1.c), on obtient : $\frac{V}{0,9}\div 24,8 \approx$ 0,1345 m, soit environ 134,5 mm.
Calculons les hauteurs de précipitations cumulées à partir de fin septembre 2015 ; on obtient :

octobre : 26 mm ;
novembre : 26 mm + 43,9 mm = 69,9 mm ;
décembre : 69,9 mm + 18,8 mm = 88,7 mm ;
janvier : 88,7 mm + 77,9 mm = 166,6 mm.

Comme 88,7 < 134,5 < 166,6, la cuve sera remplie courant janvier 2016.

C. Péniche et pont

1. Rayon de l'arche
Comme (OC) est l'axe de symétrie de la figure et que I est le point d'intersection de (AB) et (OC), on en déduit que (AB) est perpendiculaire à (OC) et que I est le milieu de [AB].

Or AB = 24 m, d'où AI = 12 m. Par ailleurs, OA = OC et IC = 5 m, d'où : OI = OA − 5 m.
Dans le triangle AIO, rectangle en I, on a, d'après le théorème de Pythagore :
OA² = OI² + IA² ; d'où, les mesures étant exprimées en mètres :
OA² = (OA − 5)² + 12², soit : OA² = OA² − 10OA + 25 + 144 et donc : OA = $\frac{169}{10}$ = 16,9.
Le rayon de l'arche mesure 16,9 m.

2. La péniche peut-elle passer sous l'arche ?
Les conditions optimales pour passer sous l'arche consistent à se placer à égale distance des piliers, ce qui correspond, sur le modèle, à considérer que (OC) est aussi un axe de symétrie pour le rectangle EFGH.
La péniche pourra passer si OF inférieur ou égal

OA.

Soit J le point d'intersection de (OC) et (FG). (OC) étant supposé être l'axe de symétrie de EFGH, J est le milieu de [FG] et donc : FJ = FG ÷ 2 = 6 m.
Comme J $\in$ [OC], OJ = OI + IJ = (OC − IC) + IJ = (16,9 − 5 + 4) m = 15,9 m car IJ = EF = 4 m.
Par ailleurs, pour les mêmes raisons de symétrie, (FJ) est perpendiculaire à (OC).
Dans le triangle FJO, rectangle en J, d'après le théorème de Pythagore, on a :
OF² = OJ² + JF² ; d'où : OF² = 15,9² + 6² = 288,81.
Or OA = 16,9 ; donc : OA² = 285,61. Comme OA² < OF², on en déduit que OF > OA.
Par conséquent, la péniche ne pourra pas passer sous le pont.

Remarque

N'hésitez pas à faire un dessin à main levée pour illustrer votre propos et soutenir votre réflexion.

Deuxième partie

Exercice 1

Remarque

Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.

1. L'algorithme est de période 6, puisque Camille répète la même succession de couleurs sur 6 perles.
On a : 147 = 6 × 24 + 3. Lorsque Camille enfilera la 147^e perle, elle aura répété 24 périodes et sera à la 3^e perle d'une nouvelle période. Cette perle sera donc rouge, puisque la succession de couleurs est : JRRRBB.
Conclusion : l'affirmation est vraie.

2. On reconnaît une situation de proportionnalité entre pourcentage et prix.

• 1^re méthode : utilisation de la linéarité multiplicative
30 % du prix de départ correspond à 48 €, donc 10 % du prix correspond à 16 € car 48 ÷ 3 = 16.
100 % du prix correspond donc à 160 €. Le prix de départ étant 160, après remise de 48 €, Arthur a payé 112 € car 160 − 48 = 112.

• 2^e méthode : utilisation des produits en croix
Si Arthur a bénéficié d'une remise de 30 %, c'est qu'il a payé 70 % du prix.

Prix en euros	48	?
Pourcentage	30	70

Le prix payé est donc égal à : 70 × 48 ÷ 30 = 112.
Conclusion : l'affirmation est vraie.

3. Vitesse moyenne = $\frac{distance\ parcourue}{dur\acute{e}e\ du\ parcours}$ ; donc : durée du parcours = $\frac{distance\ parcourue}{vitesse\ moyenne}$ .
Si le randonneur parcourt 12 km à la vitesse de 6 km/h, il met 2 heures pour faire le trajet car 12 ÷ 6 = 2. Ensuite, lorsqu'il parcourt 12 km à la vitesse de 4 km/h, il met 3 heures pour faire le trajet car 12 ÷ 4 = 3.
Il aura donc parcouru 24 km en 5 heures, ce qui correspond à une vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours de 4,8 km/h car : 24 ÷ 5 = 4,8.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

Remarque

La confusion – fréquente – entre moyenne des vitesses et vitesse moyenne est souvent l'objet de questions au concours.

4. Un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires est un losange ; pour qu'il s'agisse d'un carré, il faut, en plus, que les diagonales soient de même longueur.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

Exercice 2

Les dés étant parfaitement équilibrés, il s'agit d'une situation d'équiprobabilité dans le cas du lancer de chacun des dés. La probabilité d'un événement est donc égale à :
$\frac{nombre\ d'issues\ favorables}{nombre\ total\ d'issues}$ .

a) Choix du dé pour une probabilité maximale d'obtenir un 3
Il n'y a qu'une issue favorable pour chacun des dés (une seule face ou sommet « 3 »), mais le nombre total d'issues est supérieur pour le dé cubique : 6, contre 4 pour le dé tétraédrique.
La probabilité d'obtenir 3 est donc plus grande avec le dé tétraédrique ( $\frac{1}{4}$ contre $\frac{1}{6}$ ).

b) Choix du dé pour une probabilité maximale d'obtenir un multiple de 3
Avec le dé tétraédrique, on ne peut obtenir qu'un seul multiple de 3, à savoir 3 lui-même, avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ .
Avec le dé cubique, on peut obtenir deux multiples de 3 : 3 et 6, avec une probabilité de $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .
Or $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$ .
La probabilité d'obtenir un multiple de 3 est donc plus grande avec le dé cubique.

c) Probabilité d'obtenir avec le dé à 4 faces un nombre supérieur ou égal à celui obtenu avec le dé à 6 faces
Notons (a ; b) le résultat du lancer des deux dés, a étant le numéro obtenu sur le dé cubique et b celui obtenu sur le dé tétraédrique.
Il y a 6 × 4 = 24 issues possibles, telles que données dans le tableau suivant :

(1 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 3)	(1 ; 4)
(2 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 3)	(2 ; 4)
(3 ; 1)	(3 ; 2)	(3 ; 3)	(3 ; 4)
(4 ; 1)	(4 ; 2)	(4 ; 3)	(4 ; 4)
(5 ; 1)	(5 ; 2)	(5 ; 3)	(5 ; 4)
(6 ; 1)	(6 ; 2)	(6 ; 3)	(6 ; 4)

Parmi ces issues, 10 sont favorables.
La probabilité d'obtenir avec le dé tétraédrique un score supérieur ou égal à celui du dé cubique est donc $\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{24}}=\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}$ .

Remarque

On pouvait aussi présenter les issues à l'aide d'un arbre de choix.

a) Probabilité d'obtenir une somme paire

• 1^re méthode
Reprenons le tableau des issues du tirage ci-dessus et considérons la somme S des nombres obtenus.

(1 ; 1) S = 2	(1 ; 2) S = 3	(1 ; 3) S = 4	(1 ; 4) S = 5
(2 ; 1) S = 3	(2 ; 2) S = 4	(2 ; 3) S = 5	(2 ; 4) S = 6
(3 ; 1) S = 4	(3 ; 2) S = 5	(3 ; 3) S = 6	(3 ; 4) S = 7
(4 ; 1) S = 5	(4 ; 2) S = 6	(4 ; 3) S = 7	(4 ; 4) S = 8
(5 ; 1) S = 6	(5 ; 2) S = 7	(5 ; 3) S = 8	(5 ; 4) S = 9
(6 ; 1) S = 7	(6 ; 2) S = 8	(6 ; 3) S = 9	(6 ; 4) S = 10

Il y a 12 issues favorables.
Conclusion : la probabilité d'obtenir une somme paire est $\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{24}}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .

• 2^e méthode
Une somme paire s'obtient par l'ajout de deux nombres pairs ou de deux nombres impairs.
Le résultat du tirage peut être : (P ; P), (I ; I), (I ; P) ou (P ; I), « P » désignant un résultat pair et « I » un résultat impair.
Sur chaque dé, la moitié des faces sont paires.
Les événements (P ; P), (I ; I), (I ; P) et (P ; I) ont donc la même probabilité de survenir, à savoir : $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ .
La probabilité d'obtenir (P ; P) ou (I ; I) est donc égale à $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ , car ce sont des événements incompatibles.
Conclusion : la probabilité d'obtenir une somme paire est $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ .

b) Probabilité d'obtenir une somme strictement supérieure à 3
Si l'on reprend le tableau des sommes possibles de la question précédente, il apparaît que le nombre d'issues favorables est 21.
La probabilité d'obtenir une somme strictement supérieure à 3 est $\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{24}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{8}}$ .

Exercice 3

1. Réponse affichée si on entre 5
On a : 3 × 5 + 7 = 22 ; or 22 $\neq$ 40. Le logiciel va donc afficher : « Et non désolé, ce n'est pas le nombre mystère. Essaie encore ! »

2. Nombre devant être saisi pour gagner
Soit x le nombre saisi. Pour gagner, il faut que : 3x + 7 = 40, c'est-à-dire : 3x = 40 − 7 = 33 et donc : x = $\frac{33}{3}$ = 11.
Pour gagner, l'élève doit rentrer le nombre 11.

Exercice 4

On sait que : D = $\frac{V}{3 \times T}$ (1), avec V le volume en millilitres, D le débit en gouttes par minute et T la durée en heures.

1. Débit nécessaire à la transfusion d'un litre et demi par jour
Si V = 1,5 L = 1 500 mL et T = 1 j = 24 h, en remplaçant dans la formule (1), il vient :
$D=\frac{1\,500}{3 \times 24}=\frac{125}{6}\approx 21$ .
Le débit cherché est d'environ 21 gouttes par minute.

2. Volume perfusé en une heure et quart pour un débit de 6 gouttes par minute
Ici, D = 6 gouttes/min et T = 1,25 h. On remplace dans (1), il vient :
6 = $\frac{V}{3 \times 1,25}$ , d'où : V = 3 × 6 × 1,25 = 22,5.
Le volume perfusé en une heure et quart sera de 22,5 mL.

3. Durée de perfusion de 250 mL de produit avec un débit de 8 gouttes par minute
Ici, V = 250 mL et D = 8 gouttes/min. On a donc, T étant mesuré en heures : 8 = $\frac{250}{3 \times T}$ ;
d'où : T = $\frac{250}{3 \times 8}=\frac{250}{24}$ .
Ce résultat est exprimé en heures ; convertissons-le en heures et minutes.
250 = 10 × 24 + 10 donc : $\frac{250}{24}$ = 10 + $\frac{10}{24}$ .
$\frac{10}{24}$ × 60 = 25.
La durée de perfusion est 10 h 25 min.

Troisième partie

Situation 1

1. Objectif d'apprentissage visé
Ces activités visent à apprendre aux élèves à « résoudre des problèmes additifs simples de type composition d'états ou transformation d'états », en référence à la typologie de Gérard Vergnaud.

2. Différence(s) entre les tâches demandées dans l'étape 1 de l'activité 1 et l'activité 2

Remarque

La question est floue : s'agit-il uniquement de relever ce qui, factuellement, est différent dans les deux tâches ou faut-il également indiquer ce que cela va avoir comme conséquence en termes de procédures ? Dans le doute, nous ferons les deux…

Les deux problèmes sont de structure différente : le premier est un problème de transformation d'état et la question porte sur l'état final tandis que le second est un problème de composition d'état et la question porte sur l'état composé. Il est demandé aux élèves d'anticiper le résultat de l'ajout ou de la réunion des deux sous-collections en fournissant le cardinal de la collection finale ou composée. La validation se fait par comptage dans les deux cas.
Il est possible, voire très probable, que les élèves ne perçoivent pas la différence de structure des deux problèmes, d'autant que la question est formulée dans les mêmes termes dans les deux cas, leur tâche explicite étant de « dire combien il y a d'objets ».
La seule différence au niveau de la tâche est que, dans l'étape 1 de la situation 1, les élèves donnent le cardinal de chacune des deux sous-collections et déposent les sous-collections « en bloc », alors que dans la situation 2, les sous-collections sont énumérées et comptées à haute voix.
On peut estimer que, dans le second cas, la procédure de surcomptage est privilégiée car le comptage est déjà amorcé lors du dénombrement de la première sous-collection.

3. Deux procédures pouvant être mises en œuvre par les élèves dans l'étape 1 de l'activité 1
Les élèves peuvent :

mobiliser leur connaissance du répertoire additif et fournir directement la réponse connue « par cœur » ;
effectuer un calcul réfléchi (mental ou écrit en fonction du matériel à disposition) : par exemple, pour trouver le résultat de 8 + 5, observer que le complément de 8 à 10 est 2, que 5 − 2 = 3 et que donc il faut encore ajouter 3 à 10 pour obtenir le résultat ;
Variante de la procédure précédente avec matérialisation de la collection ajoutée par des doigts levés : par exemple, lever cinq doigts pour l'ajout de 5 à 8 (gardé en mémoire) ; baisser deux doigts au moment de donner le complément de 8 à 10 ; observer qu'il reste trois doigts levés et donc ajouter 3 à 10 pour obtenir le résultat ;
surcompter à partir du cardinal de la première collection, en gardant le contrôle du surcomptage sur les doigts, que l'on lève un à un à mesure du surcomptage, jusqu'au cardinal de la collection ajoutée ;
représenter chacune des collections de façon analogique (bâtons, croix, cercles, etc.), puis compter l'ensemble.

Remarque

Les procédures vont bien sûr dépendre du niveau de classe où l'activité est proposée, des capacités de chaque élève et du matériel à disposition. Ne donnez que deux procédures parmi celles évoquées ci-dessus : toute réponse supplémentaire est une prise de risque de se voir pénaliser en cas de réponse erronée.

4. Variable didactique et effet sur les procédures

Remarque

Une première variable didactique est celle évoquée en question 1. et portant sur la tâche ; donnons-en une autre :

Le cardinal de chacune des collections est une variable didactique sur laquelle l'enseignant peut jouer. En effet, augmenter l'un et/ou l'autre cardinal de sorte à ce qu'il soit supérieur à 10 ne permet plus aux élèves d'utiliser les doigts pour réaliser une collection équipotente à la collection considérée ou pour contrôler le surcomptage (quatrième procédure ci-dessus). A contrario, réduire le cardinal de la deuxième collection favorise le recours à des résultats mémorisés ou au calcul réfléchi.

Situation 2

1. Notion abordée ; connaissances et savoir-faire mis en jeu par la situation
La notion abordée est ici la soustraction.
Les connaissances mises en jeu sont :

connaître le système décimal (valeur positionnelle des chiffres) ;
connaître le répertoire additif.

Les savoir-faire mis en jeu sont :

savoir décomposer un nombre entier selon les unités de numération ;
savoir retrancher un nombre entier inférieur à 10 à un nombre entier inférieur à 20.

Remarque

Les connaissances et savoir-faire mobilisés dépendent des procédures engagées. Nous avons ici, volontairement, mentionné les connaissances et savoir-faire communs à toutes les procédures.

a) Procédures utilisées par Antoine, Barbara et Clara

• Antoine décompose le nombre à soustraire selon les unités de numération et retranche successivement chacun des termes de la décomposition. Dans le cas 613 − 209, il procède à une décomposition supplémentaire en passant par la dizaine : il retranche d'abord 200 et obtient 413, puis décompose 9, qui reste à retrancher, en 6 + 3, et retranche d'abord 3, pour passer par 410, puis 6.
Il rend compte de ses retraits successifs par une représentation dynamique à l'aide de flèches, qu'il accompagne en parallèle d'une écriture en ligne du calcul, qui est la retranscription de la version oralisée du calcul ; par exemple : « 91 − 50 = 41 − 2 = 39 ».

Remarque

Cela fournit le résultat attendu et rend compte de la succession des opérations, mais est incorrect d'un point de vue mathématique.

• Barbara pose les soustractions et les effectue en utilisant la technique des échanges.

Remarque

Elle se trompe dans le calcul de 800 − 153 lors de l'échange successif de 1c contre 10d, puis d'une de ces dizaines contre 10 unités : 8c0d0u est ainsi transformé en 7c11d10u (au lieu de 7c9d10u).

• Clara effectue les opérations en ligne ; elle décompose les nombres chiffre par chiffre de la gauche vers la droite et effectue à chaque étape la soustraction du plus petit nombre au plus grand. Ce qui produit, bien sûr, des résultats erronés.

b) Différence(s) entre les procédures de Barbara et Dominique
Barbara et Dominique posent toutes les soustractions, mais ne recourent pas à la même technique : Barbara utilise la technique dite « par échanges » et Dominique celle dite « par ajouts simultanés ».

Remarque

Il s'agit de la terminologie des documents d'accompagnement des programmes de 2016.

c) Réussites et erreurs de Barbara et Clara

• Barbara se trompe dans le calcul de 800 − 153 lors de l'échange successif de 1c contre 10d, puis d'une de ces dizaines contre 10 unités : 8c0d0u est ainsi transformé en 7c11d10u (au lieu de 7c9d10u). Tous ses calculs sont justes par ailleurs.

• Clara ne tient pas compte des unités de numération, ni de l'ordre des nombres dans l'opération. Par exemple, pour 607 − 54 , elle regarde d'abord « 6 » et « 5 » et effectue 6 − 5, puis « 0 » et « 4 » et effectue 4 − 0 ; il reste « 7 » tout seul ; elle écrit la réponse : 147.
Elle sait toutefois calculer la différence de deux nombres inférieurs à 10.

d) Accompagnement pédagogique pour remédier aux difficultés de Clara
La remédiation aux difficultés de Clara doit aller dans deux directions : premièrement, un travail sur le sens de la soustraction et, deuxièmement, un travail sur le sens de l'écriture chiffrée des nombres.
Partons du principe que l'on ne vise pas forcément l'utilisation de la technique opératoire posée, mais plutôt l'usage d'un calcul réfléchi.
On peut proposer à Clara d'utiliser du matériel de numération pour matérialiser les unités de numération correspondant au nombre le plus grand de l'opération (voire aux deux nombres), verbaliser et lui faire verbaliser la signification de l'opération (il s'agit d'un retrait), puis opérer physiquement ce retrait. L'accompagnement et l'explicitation donnée, puis suscitée doivent permettre de transcrire symboliquement les étapes de l'action, puis petit à petit, de se passer de l'action.

Situation 3

1. Deux connaissances ou savoir-faire mathématiques nécessaires
L'élève doit savoir coder un déplacement sur les lignes d'un quadrillage et doit savoir distinguer la droite de la gauche d'un objet orienté.

Remarque

Il doit également savoir mesurer la longueur d'un segment et savoir qu'une seconde de déplacement correspond à une distance parcourue égale à la longueur d'un côté de carreau.

a) Analyse des réussites et erreurs des deux élèves
On convient de coder les positions des quilles par (a ; b), a étant le numéro de la ligne verticale à partir du haut et b celui de la ligne horizontale à partir de la gauche, cadre exclu.

• Oriane tient compte des contraintes du problème.
Elle sait mesurer les segments constitutifs du déplacement en dénombrant les côtés de carreaux. Elle sait utiliser les instructions proposées pour traduire les actions effectuées sur le quadrillage, en ne perdant pas de vue l'objectif de la tâche. Elle se trompe toutefois à trois reprises dans le sens de rotation (1^re, 4^e et 5^e rotations). Sa réponse est conforme au résultat trouvé.

• Samuel ne tient pas compte de la contrainte de durée du problème, puisqu'il totalise 24 s de déplacement alors que le maximum est 20 s.
Il n'y a pas d'erreur dans sa première ligne d'instructions, qui correspond au ramassages des quilles situées en (2 ; 2) et (8 ; 1). Il semblerait qu'il cherche ensuite à ramasser la quille (10 ; 3), mais il omet deux commandes après celle indiquée au début de la 2^e ligne d'instructions (av2), à savoir « td90 et av2 ». Pour passer à la quille (11 ; 7), il indique « av2 » à trois reprises, au lieu de deux.
Sa dernière ligne d'instructions ne correspond à aucun déplacement entre deux quilles et n'est pas interprétable.
Sa réponse est conforme au résultat trouvé, il a correctement totalisé les quilles ramassées (selon lui).

b) Deux dispositifs de remédiation pouvant être mis en œuvre à l'attention d'Oriane
L'enseignant pourrait proposer à Oriane de vivre la situation, par exemple en effectuant, sur un parcours reconstitué à l'identique de celui représenté, la succession d'actions qu'elle a codées. Cela lui permettrait de se rendre compte de son erreur, d'une part, et de prendre conscience de l'importance du décentrage, d'autre part.
Il pourrait ensuite la faire passer à la représentation de la situation, mais en utilisant une figurine pour représenter le personnage évoqué et simuler les déplacements (et surtout les rotations). Les actions doivent être systématiquement verbalisées, en insistant sur le point de vue adopté.

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