Enseignement Les épreuves du CRPE
Sujet 2016, groupement académique 1
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Première partie (13 points)
M. Durand souhaite faire construire une piscine. Cette piscine est représentée sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle.
  • La surface horizontale apparente EADH est rectangulaire.
  • Le fond FBCG, également rectangulaire, est en pente douce.
  • Les parois verticales EABF et HDCG sont rectangulaires.
  • La paroi verticale ABCD est un trapèze rectangle en A et D.
  • La paroi verticale EFGH est un trapèze rectangle en E et H.
La piscine peut être vue comme un prisme droit de bases trapézoïdales ABCD et EFGH.
Dimensions de la piscine de M. Durand
La profondeur minimale EF et la profondeur maximale HG de la piscine sont fixées :
EF = 1,10 m et HG = 1,50 m.
La longueur EH et la largeur AE de la piscine restent à déterminer.
Pour des raisons d'esthétique, M. Durand souhaite que la longueur de la piscine soit égale à 1,6 fois sa largeur.
On rappelle les formules suivantes :
Aire du trapèze = \frac{(grande\,base\,+\,petite\,base)\times hauteur}{2}
Volume du prisme droit = aire de la base × hauteur

A. Volume de la piscine
1. 
Étude graphique
Le graphique donné ci-après représente le volume, en mètres cubes, de la piscine en fonction de sa largeur, en mètres.
Répondre par lecture graphique aux questions suivantes :
a) Quel est le volume, en mètres cubes, de la piscine si sa largeur vaut 3 m ? Arrondir à l'unité.
b) Quelle est la largeur, en mètres, de la piscine si son volume est 27 m3 ? Arrondir au dixième.
c) Donner un encadrement du volume, en mètres cubes, de la piscine si sa largeur est comprise entre 4 m et 5 m. Arrondir les valeurs utilisées à l'unité.
2. 
Étude algébrique
a) Démontrer que le volume de la piscine, exprimé en mètres cubes, est donné par la formule V(x) = 2,08x2 où x désigne la largeur, en mètres, de la piscine.
b) Déterminer par le calcul la valeur exacte de la largeur de la piscine correspondant à un volume de 52 m3.
B. Mise en eau
M. Durand a choisi pour sa piscine une largeur de 5 m et une longueur de 8 m. Cette piscine est maintenant construite.
1. 
M. Durand souhaite que le niveau d'eau soit à 10 cm du bord de la piscine. Le schéma ci-dessous n'est pas à l'échelle.
a) Montrer que la piscine contient alors 48 m3 d'eau. On peut utiliser les résultats de la partie A.
b) M. Durand utilise un tuyau d'arrosage dont le débit est de 18 litres par minute. Quelle est la durée de remplissage de la piscine ? Donner la réponse en jours, heures et minutes, arrondie à la minute.
2. 
Un dimanche matin à 8 heures, le volume d'eau de la piscine est de 48 m3. Le dimanche suivant à 8 heures, M. Durand constate que le niveau d'eau a baissé de 5 cm.
a) Déterminer la quantité d'eau perdue en une semaine.
b) Quel pourcentage de la quantité d'eau initiale cela représente-t-il ? Arrondir le résultat au dixième.
3. 
M. Durand a dépensé 207 € pour l'eau utilisée pour sa piscine en 2015. Si le prix de l'eau augmente de 3 % par an, à combien peut-il estimer ce budget annuel en 2020 ?
C. Dallage du sol autour de la piscine
M. Durand veut faire poser des dalles carrées autour de la piscine sur une largeur de 120 cm comme indiqué sur le schéma ci-après où on a représenté dans le coin supérieur gauche la disposition des premières dalles convenue avec le carreleur.
Les dalles utilisées sont toutes identiques et la longueur, en centimètres, de leur côté est un nombre entier.
On néglige l'épaisseur des joints.
1. 
M. Durand souhaite ne pas avoir à couper de dalles. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour la longueur du côté des dalles carrées ?
2. 
M. Durand choisit des dalles carrées de 20 cm de côté.
a) Combien de dalles seront utilisées ?
b) En déduire le nombre de dalles nécessaires, s'il avait choisi des dalles carrées de 5 cm de côté.
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Voici deux programmes de calcul.
Programme 1
  • Ouvrir une feuille de calcul de tableur.
  • Choisir un nombre.
  • Entrer ce nombre en cellule A1.
  • Saisir en cellule B1 la formule : =(2*A1+3)*(2*A1+3)−9.
  • Appuyer sur la touche « Entrer ».
  • Lire la valeur numérique affichée en cellule B1.
Programme 2
1. 
a) Montrer que si on choisit 3 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu avec chaque programme est 72.
b) Calculer le résultat obtenu avec chaque programme si on choisit − \frac{5}{4} comme nombre de départ.
2. Obtient-on toujours le même résultat avec les programmes 1 et 2 quel que soit le nombre choisi au départ ? Justifier.
3. Quel(s) nombre(s) faut-il choisir pour obtenir 0 avec le programme 1 ? Justifier.
Exercice 2
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse fausse n'enlève pas de points, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
  • Affirmation 1 : « Le produit de deux nombres décimaux strictement positifs a et b est plus grand qu'au moins un de ces nombres. »
  • Affirmation 2 : « Pour tout nombre entier naturel n le nombre (n + 1)2 − (n − 1)2 est un multiple de 4. »
  • Affirmation 3 : « Pour tout nombre entier naturel n le nombre (n − 1)(n + 1) − 1 est le carré d'un nombre entier. »
Exercice 3
Une urne contient des boules de couleurs différentes indiscernables au toucher.
Le nombre de boules de chaque couleur dans cette urne est indiqué sur le diagramme ci-dessous :
1. On tire au hasard une boule dans l'urne. On regarde sa couleur et on la remet dans l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue ?
2. On souhaite que la probabilité de tirer une boule bleue soit supérieure ou égale à 0,4. Combien de boules bleues doit-on ajouter au minimum dans l'urne avant le tirage pour qu'il en soit ainsi ?
3. On considère à nouveau l'urne dont la composition est donnée par le diagramme ci-dessus. Combien de boules rouges doit-on ajouter au minimum dans l'urne avant le tirage pour que la probabilité d'obtenir une boule bleue à l'issue d'un tirage au hasard d'une boule soit inférieure ou égale à 0,2 ?
Exercice 4
Soit ABC un triangle tel que AB = 65 cm, AC = 56 cm et BC = 33 cm. Soit R le point du segment [AB] tel que AR = 39 cm. La perpendiculaire à [AC] passant par R coupe (AC) en S.
1. Réaliser la figure à l'échelle 1/10.
2. Démontrer que (RS) et (BC) sont parallèles.
3. En déduire la longueur AS.
4. Déterminer la mesure en degrés de l'angle \widehat{\mathrm{ARS}} arrondie à l'unité.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.
Situation 1
Un enseignant de Moyenne Section de maternelle utilise le jeu ci-dessous avec ses élèves.
Atelier Boîtes à compter 1, Nathan, 2003.
La boîte contient le matériel suivant :
Pour chaque élève, l'enseignant choisit une carte et des jetons (animaux ou classiques). L'objectif du maître est de faire réaliser par l'élève des collections de jetons de cardinaux identiques à ceux de la carte.
1. 
a) Analyse a priori
Pour chacune des deux configurations matérielles ci-dessous :
  • donner deux méthodes que pourraient utiliser les élèves pour dénombrer les collections proposées ;
  • donner deux erreurs que les élèves sont susceptibles de faire en réalisant les collections.
b) Voici deux réalisations d'élèves pour la configuration 2.
Louise
Louise
Kévin
Kévin
2. Voici une autre production d'élève en réponse à une autre configuration matérielle.
Citer une facilité et une difficulté qu'apporte le choix d'une configuration matérielle incluant une boîte.
Situation 2
Le problème suivant est proposé à une classe de cycle 3.
« Les chameaux et les dromadaires »
Dans un troupeau composé de chameaux (2 bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte 12 têtes et 20 bosses.
Combien y a-t-il de dromadaires ?

1. 
Voici la réponse de Quentin.
a) Expliquer sa démarche.
b) Appliquer le raisonnement de Quentin au problème suivant :
« Dans un troupeau composé de chameaux (2 bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte 152 têtes et 216 bosses. Combien y a-t-il de dromadaires ? »
2. 
Voici la réponse de Ramia.
a) Expliquer sa démarche.
b) Appliquer le raisonnement de Ramia au problème suivant :
« Dans un troupeau composé de chameaux (2 bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte 546 têtes et 700 bosses. Combien y a-t-il de dromadaires ? »
Situation 3
L'exercice suivant est donné à des élèves de CM2.
L'aquarium de Pierre a la forme d'un pavé droit.
Quand il verse 4 litres d'eau dans l'aquarium, le niveau monte de 2 cm.
A. De combien monte le niveau d'eau quand il verse 8 litres ?
B. De combien monte le niveau d'eau quand il verse 6 litres ?
C. Combien de litres doit-il verser pour que le niveau d'eau monte de 14 cm ?
(extrait de l'Évaluation nationale des acquis des élèves en CM2, mai 2012)

Proposer trois résolutions différentes pour la question B. qui peuvent être attendues d'un élève de CM2. Expliciter les propriétés mathématiques sous-jacentes.
Corrigé

Corrigé

Remarque
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Volume de la piscine
1. 
Étude graphique
a) Si la largeur mesure 3 m, le volume est d'environ 19 m3.
b) Si le volume est de 27 m3, alors la largeur est d'environ 3,6 m.
c) Si la largeur de la piscine est comprise entre 4 m et 5 m, alors le volume est compris entre 33 m3 et 52 m3.
2. 
Étude algébrique
a) Le volume de la piscine, qui a la forme d'un prisme droit à base trapézoïdale, est donné par la formule :
V = Abase × hauteur du prisme = \frac{(B\,+\,b)}{2} × hauteur du trapèze × hauteur du prisme, soit : V = \frac{(\mathrm{EF}\,+\,\mathrm{HG})\times\,\mathrm{EH}}{2} × EA. Or, EH = 1,6 × EA et EA = x.
D'où : V = \frac{(1,1+1,5)\times1,6x}{2}\times x = 2,08x2.
b) Pour que le volume soit égal à 52 m3, on doit avoir : 2,08x2 = 52, soit x2 = \frac{52}{2,08} et donc x = 5.
La piscine a un volume de 52 m3 lorsque sa largeur est de 5 m.
B. Mise en eau
1. 
a) Quantité d'eau pour que le niveau soit à 10 cm du bord
Le volume d'eau correspond à la différence entre le volume de la piscine V (calculé en A.2.a) et b)) et le volume laissé non rempli, modélisé par le volume du pavé droit ADHEA'D'H'E' sur le schéma. Or : VADHEA'D'H'E' = AD × AE × AA' = 5 × 8 × 0,1 = 4.
Le volume d'eau est donc : V − VADHEA'D'H'E' = 52 − 4 = 48.
Le volume d'eau est 48 m3.
b) Durée de remplissage
On a : 48 m3 = 48 000 L = 18 × \frac{8}{3} × 1 000 L.
Comme le débit d'eau est de 18 L par minute, il faut \frac{8}{3} × 1 000 min pour remplir la piscine.
Or, \frac{8\,000}{3} = 2 666 + \frac{2}{3} ; \frac{2}{3} min = 40 s et 2 666 min = 44 × 60 min + 26 min, donc 2 666 min = 44 h + 26 min. Par ailleurs, 44 h = 1 j + 20 h.
La durée de remplissage est donc : 1 j 20 h 26 min 40 s, soit, si on arrondit à la minute, 1 j 20 h 27 min.
2. 
a) Quantité d'eau perdue en une semaine
L'eau perdue occupait un pavé droit de même base mais de hauteur moitié de celui considéré à la question B.1.a), à savoir ADHEA'D'H'E'. Le volume d'un pavé droit étant proportionnel à sa hauteur, on en déduit que le volume d'eau perdue est égal à la moitié du volume du pavé ADHEA'D'H'E'.
La piscine de M. Durand a donc perdu 2 m3 en une semaine.
b) Pourcentage de la quantité d'eau initiale
On a : \frac{2}{48}\approx 0,042.
Le pourcentage d'eau perdu est donc d'environ 4,2 %.
3. Budget prévisionnel pour 2020
Dire que le prix de l'eau augmente de 3 % chaque année revient à dire que ce prix est multiplié par 1,03 chaque année. Au bout de cinq ans, le prix initial aura donc été multiplié par 1,035.
Le budget annuel pour l'eau en 2020 peut donc être estimé à : 207 × 1,035, soit environ 240 euros.
C. Dallage autour du sol de la piscine
1. Dimensions possibles du carreau carré
Pour qu'aucune dalle ne soit coupée, la longueur du côté d'une dalle, en cm, doit être un diviseur commun à 120, 500 et 800.
En décomposant ces nombres en facteurs premiers, on obtient :
800 = 25 × 52 ; 500 = 22 × 53 ; 120 = 23 × 3 × 5.
Le plus grand diviseur commun à ces trois nombres est donc 22 × 5 = 20. La longueur du côté du carré doit donc être un diviseur de 20. Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10 et 20.
Les dalles carrées peuvent donc mesurer 1 cm, 2 cm, 4 cm, 5 cm, 10 cm ou 20 cm de côté.
Remarque
Il est convenu, ici, que l'on néglige la largeur des joints nécessaires à la pose des carreaux.
2. 
a) Nombre de dalles de 20 cm de côté utilisées
On peut décomposer la surface à recouvrir de la façon suivante :
  • 4 carrés de 120 cm de côté contenant chacun 6 × 6, soit 36 dalles ;
  • 2 rectangles de 500 cm sur 120 cm contenant chacun 25 × 6, soit 150 dalles ;
  • 2 rectangles de 800 cm sur 120 cm contenant chacun 40 × 6, soit 240 dalles.
Le nombre total de dalles utilisées est donc 4 × 36 + 2 × 150 + 2 × 240, soit 924 dalles.
b) Nombre de dalles de 5 cm de côté que l'on aurait utilisées
On peut poser 4 × 4 = 16 dalles de 5 cm de côté sur une dalle de 20 cm de côté ; par conséquent, on utilise seize fois plus de dalles en les choisissant de côté 5 cm qu'en les choisissant de côté 20 cm.
16 × 924 = 14 784.
On utiliserait donc 14 784 dalles de côté 5 cm.
Deuxième partie
Exercice 1
1. 
a) Nombre obtenu en partant de 72
Avec le programme 1, on obtient :
(2 × 3 + 3) × (2 × 3 + 3) − 9 = 9 × 9 − 9 = 81 − 9 = 72.
Avec le programme 2, on obtient :
4 × 3 × (3 + 3) = 12 × 6 = 72.
On obtient 72 à partir de 3 avec les deux programmes.
b) Nombre obtenu en partant de − \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}
Avec le programme 1, on obtient :
\left(2\times\frac{-5}{4}+3\right)\left(2\times\frac{-5}{4}+3\right)-9=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-9=\frac{1}{4}-9=\frac{1}{4}-\frac{36}{4}=\frac{-35}{4}.
Avec le programme 2, on obtient :
4\times\frac{-5}{4}\left(\frac{-5}{4}+3\right)=-5\times\frac{7}{4}=\frac{-35}{4}.
On obtient -\,\frac{\mathbf{35}}{\mathbf{4}} à partir de -\,\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}} avec les deux programmes.
2. Nombre obtenu en fonction du nombre de départ
Soit x le nombre de départ.
Avec le programme 1, on obtient :
(2x + 3)(2x + 3) − 9 = 4x2 + 12x + 9 − 9 = 4x2 + 12x.
Avec le programme 2, on obtient :
4x(x + 3) = 4x2 + 12x.
Quel que soit le nombre de départ choisi, les programmes 1 et 2 donnent le même résultat.
3. Nombre(s) permettant d'obtenir 0 avec le programme 1
Il s'agit de trouver x pour que 4x2 + 12x = 0, soit 4x(x + 3) = 0.
Or, un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, donc :
4x(x + 3) = 0 si et seulement si x = 0 ou x + 3 = 0, c'est-à-dire x = − 3.
Pour obtenir 0 avec le programme 1, il faut donc choisir 0 ou − 3 comme valeur de départ.
Exercice 2
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé, ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. Le produit des nombres 0,5 et 0,1 vaut 0,05 ; or 0,05 est inférieur à la fois à 0,5 et à 0,1.
Conclusion : l'affirmation 1 est fausse.
2. Soit n un entier naturel.
On a : (n + 1)2 − (n − 1)2 = n2 + 2n + 1 − (n2 − 2n + 1) = n2 + 2n + 1 − n2 + 2n − 1 = 4n.
Or, 4n est un multiple de 4.
Conclusion : l'affirmation 2 est vraie.
3. Pour n = 0, par exemple, on a : (n − 1)(n + 1) − 1 = − 1 − 1 = − 2.
Or, − 2 n'est pas le carré d'un nombre entier.
Conclusion : l'affirmation 3 est fausse.
Exercice 3
La situation évoquée est une situation d'équiprobabilité.
1. Probabilité que la boule tirée soit bleue
La probabilité de tirer une boule bleue est donnée par le quotient :
\frac{nombre\,de\,boules\,bleues}{nombre\,total\,de\,boules}=\frac{7}{3+4+5+7+6}=\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{25}}.
Remarque
On peut aussi donner le résultat sous forme décimale : 0,28 ; ou sous forme de pourcentage : 28 %.
2. Nombre de boules bleues à ajouter dans l'urne pour que la probabilité de tirer une boule bleue soit supérieure ou égale à 0,4
On veut avoir : \frac{x+7}{x+25} supérieur ou égal 0,4, c'est-à-dire : x + 7 supérieur ou égal 0,4x + 10. Donc 0,6x supérieur ou égal 3, soit : x supérieur ou égal \frac{3}{0,6}. Comme \frac{3}{0,6} = 5, on en déduit qu'il faut ajouter au moins 5 boules bleues dans l'urne pour que la probabilité de tirer une boule bleue soit supérieure ou égale à 0,4.
3. Nombre de boules rouges à ajouter dans l'urne pour que la probabilité de tirer une boule bleue soit inférieure ou égale à 0,2
Soit y le nombre cherché.
On veut avoir : \frac{7}{y+3+4+5+7+6} inférieur ou égal 0,2, d'où : \frac{7}{y+25} inférieur ou égal 0,2. Donc : 7 inférieur ou égal 0,2y + 5.
On en déduit que : 0,2y supérieur ou égal 2, soit y supérieur ou égal 10.
Il faut ajouter au minimum 10 boules rouges dans l'urne pour que la probabilité de tirer une boule bleue soit inférieure ou égale à 0,2.
Exercice 4
1. Figure à l'échelle 1/10
La figure n'est pas au 1/10, mais est à l'échelle.
2. Montrons que (RS) et (BC) sont parallèles.
On sait que les droites (RS) et (AC) sont perpendiculaires. Pour montrer que (RS) et (BC) sont parallèles, il suffit de montrer que (BC) est perpendiculaire à (AC) car : « si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles ».
On connaît les trois longueurs des côtés du triangle ABC. Montrons qu'il est rectangle en C.
AB2 = 652 = 4 225.
AC2 = 562 = 3 136.
BC2 = 332 = 1 089.
1 089 + 3 136 = 4 225, donc : AC2 + BC2 = AB2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en C, donc que (BC) est perpendiculaire à (AC) et donc que (RS) et (BC) sont parallèles.
3. Déduisons-en la longueur AS.
On sait que les droites (RB) et (SC) sont sécantes en A et que les droites (RS) et (BC) sont parallèles (cf. question précédente).
D'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AC}}, d'où : \frac{\mathrm{AS}}{56}=\frac{39}{65}.
Donc : AS = 56 × \frac{39}{65} = 33,6.
AS mesure 33,6 cm.
4. Déterminons la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ARS}}.
Dans le triangle ARS, rectangle en S, on a : sin \widehat{\mathrm{ARS}}=\frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{AR}}=\frac{33,6}{39}.
D'où : \widehat{\mathrm{ARS}} \approx 59°.
Troisième partie
Situation 1
1. 
a) Analyse a priori
Configuration 1
Procédures de dénombrement que les élèves peuvent mettre en œuvre :
  • compter (c'est-à-dire réciter la comptine), énumérer les éléphants (ou les tigres) en synchronisant la récitation et l'énumération ;
  • reconnaître globalement la quantité (subitizing) de deux sous-collections.
Remarque
On peut également réussir la tâche en réalisant une collection de tigres équipotente à celle d'éléphants par correspondance terme à terme, mais il ne s'agit pas alors de dénombrement.
Erreurs susceptibles d'être faites :
  • erreur de mémorisation de la comptine : oubli d'un mot ou inversion de l'ordre des mots ;
  • erreur dans l'énumération : oubli d'un objet ou objet pris en compte deux fois.
Configuration 2
Procédures de dénombrement que les élèves peuvent mettre en œuvre :
  • compter (c'est-à-dire réciter la comptine), énumérer les jetons en synchronisant la récitation et l'énumération ;
  • reconnaître globalement la quantité (subitizing) (ce qui est d'autant plus aisé que le modèle présente une organisation familière, dite « des dés »), puis reconstitution de l'organisation associée à la quantité reconnue.
Remarque
On peut également réussir la tâche en réalisant une collection de jetons équipotente à celle du modèle par correspondance terme à terme, mais il ne s'agit pas alors de dénombrement.
Erreurs susceptibles d'être faites :
  • erreur de mémorisation de la comptine : oubli d'un mot ou inversion de l'ordre des mots ;
  • erreur dans l'énumération : oubli d'un objet ou objet pris en compte deux fois ;
  • erreur de correspondance : constellation-nombre.
b) Analyse des productions de Louise et de Kévin
Louise et Kévin semblent avoir compris tous deux l'objectif de l'activité, à savoir produire une collection de jetons équipotente à celle représentée.
Louise organise sa collection de jetons en colonne, sous le modèle, alors que Kévin essaie de poser les jetons sur le modèle, ce qui lui est impossible au vu des tailles respectives du modèle et des jetons.
On ne sait pas si Louise a réalisé une correspondance terme à terme ou si elle a dénombré la quantité de points du modèle.
2. 
Facilité et difficulté liées au choix de la boîte
Facilité : la boîte permet de compartimenter les collections réponses.
Difficulté : la taille des objets conduit à les superposer pour les ranger dans la boîte ; l'élève perd ainsi de vue l'ensemble du contenu et doit développer une stratégie pour conserver la mémoire du cardinal de la collection d'animaux déposés ; le dénombrement par comptage est ainsi privilégié.
Situation 2
1. 
La réponse de Quentin
a) Explicitation de la démarche
Quentin organise sa recherche sous forme de tableau.
Sur la première ligne, il dessine 12 têtes, qu'il attribue pour moitié à des chameaux et pour moitié à des dromadaires, ce qu'il matérialise en deuxième ligne par les lettres « C » et « D » respectivement.
Il dessine ensuite en troisième ligne les bosses correspondantes, dont il transcrit le nombre en dessous. Il totalise les bosses et trouve 18. Il échange alors un premier, puis un deuxième dromadaire contre un premier, puis un deuxième chameau, en observant que cela lui fait « gagner » à chaque fois une bosse.
b) Application au problème des 152 têtes et 216 bosses
Supposons qu'il y ait autant de chameaux que de dromadaires, cela fait 76 de chaque car 152 ÷ 2 = 76. Il y aurait alors 228 bosses, car 76 + 2 × 76 = 228.
228 − 216 = 12. Pour réduire le nombre de bosses de douze, on « échange » 12 chameaux contre 12 dromadaires.
76 + 12 = 88 et 76 − 12 = 64.
On obtient donc 88 dromadaires.
2. 
La réponse de Ramia
a) Explicitation de la démarche
Ramia représente les 12 têtes en ligne, auxquelles elle associe d'abord 12 bosses (une par tête). Elle représente ensuite une deuxième ligne de bosses, qu'elle dessine sous la première et qu'elle interrompt lorsqu'elle atteint un total de 20 bosses. Elle dénombre ensuite les colonnes comportant deux bosses et celles comportant une bosse et interprète le résultat comme nombre de chameaux (resp. dromadaires).
b) Application au problème des 546 têtes et 700 bosses
Si l'on attribue une bosse à chaque tête, il restera 154 bosses car 700 − 546 = 154.
Ces 154 bosses correspondent à autant de chameaux, et par conséquent, il y aura 546 − 154 = 392 dromadaires.
Situation 3
Trois procédures permettant de répondre à la question B. et propriétés mathématiques sous-jacentes
Procédure 1
Comme 6 L = 4 L × 1,5 et 2 cm × 1,5 = 3 cm ; on en déduit que lorsque l'on verse 6 L d'eau dans l'aquarium, le niveau monte de 3 cm.
On utilise la propriété de linéarité multiplicative.
Procédure 2
Comme 4 L ÷ 2 = 2 L et 2 cm ÷ 2 = 1 cm, puis 4 L + 2 L = 6 L et 2 cm + 1 cm = 3 cm ; on en déduit que lorsque l'on verse 6 L d'eau dans l'aquarium, le niveau monte de 3 cm.
On utilise d'abord la propriété de linéarité multiplicative (pour dire que si on met deux fois moins d'eau, le niveau monte deux fois moins), puis la propriété de linéarité additive (pour dire que si on met 4 L plus 2 L d'eau, le niveau d'eau monte de 2 cm plus 1 cm).
Procédure 3
On calcule la montée du niveau d'eau pour 1 L, soit 2 cm ÷ 4 = 0,5 cm, puis on en déduit la montée d'eau pour 6 L, soit 0,5 cm × 6 = 3 cm.
Cette procédure s'appuie sur la propriété de linéarité multiplicative.
Remarque
Cette troisième procédure s'appelle la règle de trois.