Sujet 2017, groupement académique&nbsp;1

Enseignement Les épreuves du CRPE

Sujet 2017, groupement académique 1

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Sujet

Première partie (13 points)

Présentation du problème

Une entreprise de BTP est mandatée pour étudier la faisabilité de la réalisation d'une portion d'autoroute et d'un nouvel échangeur dans la région de Bordeaux/ Brive-la-Gaillarde/ Montauban.


Source : http://www.viamichelin.fr/

A. Représentation géométrique

À vol d'oiseau, il y a 204,4 km entre Brive-la-Gaillarde et Bordeaux, 210 km entre Bordeaux et Montauban et 145,6 km entre Montauban et Brive-la-Gaillarde.
On admet que cette situation géographique est modélisée par un triangle ABC, construit à une certaine échelle, dans lequel A représente Bordeaux, B représente Brive-la-Gaillarde et C représente Montauban.
Dans ce triangle, la longueur AB est 7,3 cm.

1. Montrer que la longueur AC est 7,5 cm et que la longueur BC est 5,2 cm.

2. Construire le triangle ABC.

3. Déterminer l'échelle utilisée pour modéliser la situation.

B. Étude de faisabilité

Dans le cadre d'un projet d'extension, la société d'exploitation mandate une entreprise de BTP pour étudier la construction d'une portion d'autoroute reliant Brive-la-Gaillarde et l'autoroute entre Bordeaux et Montauban. On cherche à construire la portion d'autoroute la plus courte possible.
Sur la figure construite précédemment, on note D le point du segment [AC] tel que la distance BD soit la plus courte possible. Le point D représente l'emplacement de l'échangeur à construire.

1. Placer le point D sur la figure et indiquer ce que représente la droite (BD) dans le triangle ABC.

2. Les formules trigonométriques et un théorème appelé théorème d'Al-Kashi permettent d'établir l'égalité (admise) :
BC² = AB² + AC² − 2 × AC × AD.
En utilisant l'égalité ci-dessus, montrer que AD = 5,5 cm.

3. En déduire les longueurs CD et BD.

C. Validation du projet

Il s'avère que l'échangeur ne peut être placé à cet endroit car il serait situé dans une zone protégée.
Sur la figure construite précédemment, E désignera l'emplacement définitivement choisi pour l'échangeur et donc [BE] la portion d'autoroute à réaliser.
On appelle E le point du segment [AD] tel que [ED] mesure 0,9 cm.

1. Déterminer la mesure en degrés, arrondie au centième de degré, de l'angle $\widehat{\mathrm{DBE}}$ .

2. Calculer la longueur BE, arrondie au centième de centimètre.

3. En déduire la longueur, en kilomètres, arrondie au dixième de kilomètre près, de la portion d'autoroute qui sera réalisée.

D. Tarification

Après validation, le projet a été réalisé. La société d'exploitation des autoroutes propose des badges à ses usagers.
Mme Dupuis, enseignante à Brive, emprunte cette nouvelle portion d'autoroute chaque jour, matin et soir. Elle hésite entre les deux propositions suivantes :

Tarif 1	Tarif 2
Sans badge, un aller simple coûte 12,40 €.	Un badge coûte 30 € par an et donne lieu à une réduction de 20 % par aller simple.

1. Le graphique ci-dessous représente le coût global pour chaque tarif en fonction du nombre d'allers simples effectués.

Coût global en euros en fonction du nombre d'allers simples

Déterminer graphiquement à partir de combien d'allers simples le tarif 2 devient le plus avantageux.

2. Exprimer en fonction du nombre d'allers simples x le coût global f(x), en euros, selon le tarif 1.

3. Exprimer en fonction du nombre d'allers simples x le coût global g(x), en euros, selon le tarif 2.

4. Retrouver par le calcul à partir de combien d'allers simples le tarif 2 devient le plus avantageux.

E. Les dangers de l'autoroute

Information :
Pour un véhicule, la distance d'arrêt D_a correspond à la somme de la distance de réaction D_r et la distance de freinage D_f :
D_a = D_r + D_f.
La distance de réaction D_r est la distance parcourue par le véhicule pendant le temps que met le conducteur pour réagir. Le temps de réaction est d'une seconde pour un conducteur en bonne forme et de deux secondes pour un conducteur fatigué.
La distance de freinage, exprimée en mètres, est donnée par la formule D_f = $\frac{v^{2}}{(254 \times C_{fl})}$ , où v est la vitesse en kilomètres par heure et C_fl désigne le coefficient de frottement longitudinal. La distance obtenue est exprimée en mètres.
On admet que le coefficient C_fl vaut 0,8 sur route sèche et que, sur route mouillée, ce coefficient est divisé par deux.

Une voiture roule à 120 km/h sur l'autoroute. La chaussée est sèche et le conducteur est fatigué. Tout à coup, un cerf surgit sur la voie et s'arrête, tétanisé par les feux de la voiture. L'animal se trouve à 150 m de la voiture.

1. Calculer la distance de réaction D_r, arrondie au dixième de mètre, pour cette voiture conduite par un conducteur fatigué.

2. On donne ci-dessous la courbe correspondant à la distance de freinage D_f sur route sèche en fonction de la vitesse. Indiquer si la collision avec le cerf pourra être évitée. Justifier.

Distance de freinage en mètres, en fonction de la vitesse en km/h

3. Exprimer une formule à écrire dans la cellule B3 du tableur ci-dessous pour calculer la distance de freinage D_f, en mètres, formule que l'on fera ensuite glisser pour l'étendre aux autres cellules de la colonne B dans le tableur.

Deuxième partie (13 points)

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

Exercice 1

Au mois de février 2017, on a interrogé 12 527 personnes de plus de 15 ans à la sortie du métro, à propos du nombre de fois où elles sont allées au restaurant pendant le mois de janvier 2017. Chaque personne sondée est enregistrée par un numéro, de 1 à 12 527.
Le tableau ci-dessous présente des résultats, selon la classe d'âge des personnes interrogées.

	De 15 à 25 ans	De 26 à 44 ans	De 45 à 60 ans	Plus de 60 ans	TOTAL
Pas du tout		82	415	147	666
Une fois	682		1 243	589
Deux fois		634	552	138	1 737
Trois fois	174	95			1 907
Quatre fois ou plus	251	418	923	317
TOTAL	1 542		3 517	2 445

1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessus.

On tire au hasard un des numéros correspondant aux personnes interrogées, en supposant que chacun a la même probabilité d'être choisi.

a) Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui est allée exactement deux fois au restaurant pendant le mois de janvier 2017.

b) Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui a moins de 45 ans.

c) Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui a plus de 60 ans et qui est allée au moins trois fois au restaurant pendant le mois de janvier 2017.

Exercice 2

On utilise le programme ci-dessous.

1. Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre 7 ?

2. Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre 12,7 ?

3. Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre −6 ?

Exercice 3

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
Une réponse exacte, mais non justifiée, ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.

1. Affirmation : « 117 est un nombre premier. »

a) Affirmation : « Pour n'importe quel nombre entier n, (n + 2)² − (n − 2)² est un multiple de 8. »

b) Affirmation : « Pour n'importe quel nombre entier n, (n + 2)² − (n − 2)² est un multiple de 32. »

3. Affirmation : « Il existe au moins un nombre entier pair supérieur à 7, divisible par 3 mais divisible ni par 9 ni par 4. »

4. Affirmation : « 6 est l'unique solution de l'équation (x − 7)(x + 4) = (x − 7)(16 − x). »

5. On réduit respectivement la largeur et la longueur d'un rectangle de 20 % et 10 %.
Affirmation : « L'aire du rectangle ainsi obtenu a diminué de 28 %. »

6. Un rectangle a une largeur et une longueur qui mesurent respectivement 6 cm et 9 cm. On réduit la largeur de 20 % et la longueur de 10 %.
Affirmation : « Le périmètre du rectangle ainsi obtenu a diminué de 15 %. »

Troisième partie (14 points)

Cette partie est composée de trois situations indépendantes.

Situation 1

Dans une classe de maternelle, une enseignante donne à un groupe d'élèves la consigne suivante :

« J'ai installé trois poupées avec leur assiette autour de cette table pour le goûter. Elles pourront commencer leur goûter quand il y aura un biscuit dans l'assiette de la poupée blonde, un biscuit dans l'assiette de la poupée brune et un biscuit dans l'assiette de la poupée rousse.
Les biscuits du goûter se trouvent dans une boîte dans le coin cuisine.
Vous devez aller chercher juste ce qu'il faut de biscuits pour le goûter des poupées. Vous pouvez faire plusieurs voyages. »

La table des poupées est éloignée de quelques mètres du coin cuisine.
L'information suivante « la boîte contient 5 biscuits » n'est pas donnée aux élèves.
On appelle « voyage » un aller au coin cuisine et un retour à la table des poupées.

L'élève A a effectué 3 voyages, rapportant un seul biscuit à chaque fois.
L'élève B a effectué 1 voyage. Il utilise sa main droite dont il abaisse deux doigts. Il se déplace à la table du coin cuisine et revient avec 3 biscuits dans la main gauche.
L'élève C effectue très rapidement 1 voyage. Il a pris 3 biscuits.
L'élève D effectue 2 voyages. Au premier voyage il rapporte tous les biscuits. Au deuxième il rapporte 2 biscuits à la cuisine.

1. Quel aspect du nombre est mobilisé dans cette situation ?

2. Analyser les stratégies mises en œuvre par chacun des élèves.

3. Proposer une modification interne à l'énoncé de la situation susceptible d'engager les élèves A et D à évoluer dans la construction du nombre. Expliciter cette évolution.

Situation 2

L'exercice ci-dessous est extrait des évaluations nationales CM2 de 2012.

Il faut 9 litres d'huile pour remplir complètement 5 bidons identiques.
Quelle est la contenance, en litres, de chacun de ces bidons ?

1. Quelle opération permet de répondre à cette question ?

2. Voici les productions de trois élèves : Julia, Karima et Louis. Pour chacune d'entre elles, expliquer la procédure utilisée.

Julia

Karima

Louis

3. Quelles modifications, concernant les nombres en jeu dans l'exercice, peut proposer l'enseignant à Louis pour l'encourager à changer de procédure ?

Situation 3

L'exercice ci-dessous est extrait des évaluations nationales CM2 de 2008.

Pour faire des crêpes pour 6 personnes, il faut :

250 g de farine
1 litre de lait
4 œufs
1 cuillerée à soupe d'huile
2 pincées de sel.

Calcule la quantité de chacun des ingrédients nécessaire pour faire des crêpes pour 9 personnes.

Voici les productions de trois élèves :

Élève A

Élève B

Élève C

1. Quelle est la principale notion du programme sur laquelle cet exercice permet de revenir ?

2. Expliciter les procédures utilisées pour le calcul de la masse de farine nécessaire par chacun des élèves A, B et C.

3. En quoi le choix de 300 g de farine nécessaires au lieu de 250 g aurait-il pu modifier les procédures proposées par les élèves ?

Corrigé

Remarque

Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.

Première partie

A. Représentation géométrique

Longueurs AC et BC sur le dessin

Remarque

Les longueurs réelles et les longueurs correspondantes sur le modèle (triangle ABC) sont proportionnelles.

• 1^re méthode : passage par l'unité (règle de trois)
7,3 cm (longueur AB) représentent 204,4 km (distance Brive-Bordeaux).
1 cm représente donc 28 km car : 204,4 ÷ 7,3 = 28.
On a : 210 ÷ 28 = 7,5 et 145,6 ÷ 28 = 5,2.
La distance Bordeaux-Montauban (resp. Mautauban-Brive) est donc représentée par un segment [AC] mesurant 7,5 cm (resp. un segment [BC] mesurant 5,2 cm).

• 2^e méthode : produits en croix

Remarque

Cette procédure automatisée de résolution de problèmes de quatrième proportionnelle passe par une bonne organisation des données fournies, par exemple à l'aide d'un tableau. Elle n'est pas au programme de l'école élémentaire, mais peut être mise en œuvre par les candidats, dès lors qu'il ne s'agit pas de fournir une procédure « type élève ».

Mesure des distances réelles en km	204,4	210	145,6
Mesure des côtés du triangle ABC en cm	7,3	(210 × 7,3) ÷ 204,4	(145,6 × 7,3) ÷ 204,4

On en déduit donc que : AC = 7,5 cm et BC = 5,2 cm.

Construction du triangle ABC

Détermination de l'échelle
Nous avons établi plus haut (question 1.) que 1 cm représente 28 km, soit 2 800 000 cm.
L'échelle de représentation est donc : 1/2 800 000.

Remarque

L'échelle de représentation, qui est un scalaire (nombre ne correspondant pas à une mesure), se calcule en effectuant le rapport entre les mesures de longueurs sur la représentation et dans la réalité, mesures devant être exprimées dans la même unité.

B. Étude de faisabilité

Nature de la droite (BD)
Le point D sur [AC] réalisant la longueur BD minimale est le pied de la perpendiculaire à [AC] passant par B. Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires ; la droite (BD) est donc la hauteur issue de B dans le triangle ABC.

Calcul de la mesure de la longueur AD
Dans la formule d'Al-Kashi, on remplace BC, AB et AC respectivement par : 5,2 ; 7,3 et 7,5.
On obtient : 5,2² = 7,3² + 7,5² − 2 × 7,5 × AD ; d'où : AD = $\frac{7,3^{2}+7,5^{2}-5,2^{2}}{2\times7,5}$ = 5,5.
Donc AD = 5,5 cm.

Calcul des mesures de longueurs CD et BD
D appartient au segment [AC] d'où : AD + DC = AC et donc :
DC = AC − AD = 7,5 cm − 5,5 cm = 2 cm.
Par ailleurs, d'après le théorème de Pythagore, dans le triangle ABD, rectangle en D, on a :
AD² + DB² = AB², d'où : DB² = AB² − AD² et donc : DB = $\sqrt{7,3^{2}-5,5^{2}}$ = 4,8.
Donc BD = 4,8 cm.

Remarque

On pouvait aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle BDC, rectangle en D.

C. Validation du projet

Calcul de la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{DBE}}$

Remarque

On connaît les longueurs DE (= 0,9 cm) et BD (= 4,9 cm), on calcule donc la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{DBE}}$ en calculant sa tangente.

Dans le triangle DBE, rectangle en D, on a : tan $\widehat{\mathrm{DBE}}$ = $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DB}}=\frac{0,9}{4,8}=\frac{3}{16}$ .
On en déduit : $\widehat{\mathrm{DBE}}$ = tan⁻¹ $\left(\frac{3}{16}\right)\approx$ 10,62.
$\widehat{\mathrm{DBE}}\approx$ 10,62°.

Calcul de la mesure de BE

• 1^re méthode
Dans le triangle BDE, rectangle en D, on a, d'après le théorème de Pythagore :
BD² + DE² = BE², d'où : BE = $\sqrt{4,8^{2}+0,9^{2}}\approx$ 4,88.

• 2^e méthode
Dans le triangle BDE, rectangle en D, on a : sin $\widehat{\mathrm{DBE}}$ = $\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DB}}$ ;
d'où : BE = $\frac{0,9}{sin\,(tan^{-1}(\frac{3}{16}))}\approx$ 4,88.

Remarques

Lorsque vous utilisez un résultat obtenu précédemment, repartez des valeurs exactes – ici, la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{DBE}}$ – plutôt que des valeurs approchées, pour éviter des amplifications d'écarts lors des calculs, ce qui conduirait à une valeur approchée du résultat final qui ne serait pas celle attendue.
On pouvait aussi utiliser le cosinus de l'angle $\widehat{\mathrm{DBE}}$ .

Conclusion : BE mesure environ 4,88 cm.

Longueur de la portion d'autoroute réalisée
Le dessin étant réalisé à l'échelle 1/2 800 000, 4,88 cm représentent :
2 800 000 × 4,88 cm = 13 664 000 cm = 136,64 km.
La portion d'autoroute réalisée mesure environ 136,6 km.

Remarque

Attention au degré de précision explicitement demandé dans l'énoncé.

D. Tarification

Lecture graphique

Remarque

Les droites représentant le coût en euros en fonction du nombre de trajets se coupent en un point d'abscisse comprise entre 12 et 13, la droite représentant le tarif 2 passant en dessous de celle représentant le tarif 1 ; par conséquent :

Le tarif 2 devient plus avantageux à partir de 13 trajets.

Expression du coût f(x) selon le tarif 1 en fonction du nombre x d'allers simples
f(x) = 12,40x car, avec le tarif 1, on paie 12,40 euros par voyage.

Expression du coût g(x) selon le tarif 2 en fonction du nombre x d'allers simples
g(x) = (12,40 × 0,8)x + 30 = 9,92x + 30 car, avec le tarif 2, on a une remise de 20 % sur le prix du voyage, ce qui revient à multiplier ce prix par 0,8, et il faut s'acquitter du prix du badge, soit 30 euros.

Calcul du nombre d'allers simples pour lequel le tarif 2 est le plus avantageux
Le tarif 2 est plus avantageux si g(x) < f(x), soit : 9,92x + 30 < 12,40x, d'où : 2,48x > 30 et donc x > $\frac{30}{2,48}$ . Or $\frac{30}{2,48}\approx$ 12,097.
Le tarif 2 est donc plus avantageux à partir de 13 trajets.

E. Les dangers de l'autoroute

Calcul de la distance de réaction
Le conducteur étant fatigué, son temps de réaction est de deux secondes. Il roule à 120 km/h, donc en une heure, soit 3 600 secondes, il parcourt 120 km.
3 600 = 2 × 1 800 ; en deux secondes, le conducteur parcourra 120 km ÷ 1 800, soit environ 0,0667 km, c'est-à-dire 66,7 m.
La distance de réaction est d'environ 66,7 m.

L'accident peut-il être évité ?
On lit sur le graphique fourni que la distance de freinage pour une vitesse de 120 km/h est d'environ 70 m.
On sait que : D_a = D_f + D_r ; d'où : D_a $\approx$ 70 m + 66,7 m = 136,7 m < 150 m.
La collision avec le cerf pourra donc être évitée.

Formule à écrire en cellule B3

Remarque

On rappelle que D_f = $\frac{v^{2}}{(254 \times C_{fl})}$ .

On peut taper dans B3 : « =A3^2/(254*0,8) ».
Autres réponses valides : =(A3*A3)/(254*0,8) ou =$A3^2/(254*0,8) ou encore ($A3*$A3)/(254*0,8), ainsi que les variantes consistant à remplacer 254*0,8 par 203,2.

Remarque

Les touches spécifiques pour l'exposant, la multiplication et la division doivent être connues, ainsi que la fonction de la touche « dollar ».

Deuxième partie

Exercice 1

Tableau complété

	De 15 à 25 ans	De 26 à 44 ans	De 45 à 60 ans	Plus de 60 ans	TOTAL
Pas du tout	22⁽¹⁾	82	415	147	666
Une fois	682	3 794⁽⁸⁾	1 243	589	6 308⁽⁶⁾
Deux fois	413⁽²⁾	634	552	138	1 737
Trois fois	174	95	384⁽³⁾	1 254⁽⁴⁾	1 907
Quatre fois ou plus	251	418	923	317	1 909⁽⁵⁾
TOTAL	1 542	5 023⁽⁷⁾	3 517	2 445	12 527⁽⁰⁾

Remarques

⁽⁰⁾ : 12 527 (le total correspond au nombre de personnes interrogées, donné dans l'énoncé).
⁽¹⁾ : 666 − (82 + 415 + 147).
⁽²⁾ : 1 542 − (22 + 682 + 174 + 251).
⁽³⁾ : 3 517 − (415 + 1 243 + 552 + 923).
⁽⁴⁾ : 2 445 − (147 + 589 + 138 + 317).
⁽⁵⁾ : 251 + 418 + 923 + 317.
⁽⁶⁾ : 12 527 − (1 909 + 1 907 + 1 737 + 666).
⁽⁷⁾ : 12 527 − (1 542 + 3 517 + 2 445).
⁽⁸⁾ : 5 023 − (82 + 634 + 95 + 418).

Probabilités
Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement est alors :
$\frac{nombre\ d'issues\ favorables}{nombre\ total\ d'issues}$ .

a) Pour que la personne interrogée soit allée au restaurant exactement deux fois en janvier
Il y a 1 737 personnes qui sont allées exactement deux fois au restaurant en janvier, pour un total de 12 527 personnes interrogées. La probabilité cherchée est donc :
$\frac{1\,737}{12\,527}\approx$ 0,139, soit environ 14 %.

b) Pour que la personne interrogée ait moins de 45 ans
Il y a 1 542 personnes qui ont moins de 25 ans et 5 023 personnes qui ont entre 26 et 44 ans, pour un total de 12 527 personnes interrogées. La probabilité cherchée est donc :
$\frac{(1\,542+5\,023)}{12\,527}\approx$ 0,524, soit environ 52 %.

c) Pour que la personne interrogée ait plus de 60 ans et soit allée au moins trois fois au restaurant en janvier
Il y a 1 254 personnes de plus de 60 ans qui sont allées exactement trois fois au restaurant en janvier et 317 personnes de plus de 60 ans qui sont allées quatre fois ou plus au restaurant en janvier, pour un total de 12 527 personnes interrogées. La probabilité cherchée est donc :
$\frac{(1\,254+317)}{12\,527}\approx$ 0,125, soit environ 12,5 %.

Remarque

Les réponses aux questions a), b) et c) pouvaient être données sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage avec n'importe quel degré de précision, celui-ci n'étant pas précisé dans l'énoncé.

Exercice 2

1. Résultat obtenu si on entre 7
Comme 7 < 10, on opère : 5 × 7 + 3 = 38.
On obtient 38 si on entre 7.

2. Résultat obtenu si on entre 12,7
Comme 12,7 > 10, on opère : 12,7 × 2 − 7 = 18,4.
On obtient 18,4 si on entre 12,7.

3. Résultat obtenu si on entre −6
Comme −6 < 10, on opère : −6 × 5 + 3 = −27.
On obtient −27 si on entre −6.

Exercice 3

Remarque

Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.

1 + 1 + 7 = 9 et 9 est divisible par 3 (et par 9). On en déduit que 117 est divisible par 3 (et par 9).
Les nombres premiers ont pour seuls diviseurs 1 et eux-mêmes ; 117 n'est donc pas un nombre premier.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

Remarque

On rappelle ici le critère de divisibilité d'un nombre entier naturel par 3 (resp. 9) : « Un nombre entier naturel est divisible par 3 (resp. 9) si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. »

a) (n + 2)² − (n − 2)² = (n² + 4n + 4) − (n² − 4n + 4) = 8n.
8n est un multiple de 8, quel que soit n entier.
Conclusion : l'affirmation est vraie.

b) Si on observe l'expression obtenue à la question précédente, il apparaît que pour n = 1, par exemple, (n + 2)² − (n − 2)² vaut 8 × 1, soit 8, qui n'est pas un multiple de 32.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

30 est pair, divisible par 3, mais ni par 4, ni par 9 et 30 > 7.
Conclusion : l'affirmation est vraie.

Remarque

Il suffit ici « d'exhiber » un exemple, en explicitant qu'il remplit toutes les conditions.

6 est effectivement solution de l'équation, puisque, pour x = 6, l'équation s'écrit : − 10 = − 10 et que cette égalité est vraie.
Pour x = 7, l'équation s'écrit : 0 = 0. Cette égalité étant vraie, on en déduit que 7 est également solution.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

Remarque

Autre méthode :
On résout l'équation, en la transformant en équation-produit.
(x − 7)(x + 4) = (x − 7)(16 − x) équivaut à : (x − 7)(x + 4) − (x − 7)(16 − x) = 0, soit :
(x − 7)[(x + 4) − (16 − x)] = 0 et donc : (x − 7)(2x − 12) = 0.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ; les solutions de l'équation sont donc : 7 et 12 ÷ 2 = 6.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

5. Réduire la largeur d'un rectangle de 20 % revient à multiplier la mesure de cette dernière par 0,8.
De même, réduire la longueur du rectangle de 10 % revient à multiplier la mesure de cette dernière par 0,9.
La mesure de l'aire est alors multipliée par 0,8 × 0,9 = 0,72, ce qui revient à une diminution de 28 %.
Conclusion : l'affirmation est vraie.

La mesure du périmètre initial est 30 cm car 2 × (6 + 9) = 30.
La mesure de la largeur après réduction est 4,8 cm car 6 × 0,8 = 4,8.
La mesure de la longueur après réduction est 8,1 car 9 × 0,9 = 8,1.
Le périmètre du rectangle réduit mesure donc 25,8 cm car 2 × (4,8 + 8,1) = 25,8.
Une réduction de 15 % du périmètre initial correspondrait à un périmètre mesurant : 0,85 × 30 cm = 25,5 cm, ce qui ne correspond pas au résultat obtenu.
Conclusion : l'affirmation est fausse.

Remarque

On pouvait aussi calculer le pourcentage de réduction réel : 25,8 ÷ 30 = 0,86, ce qui correspond à une réduction de 14 % et non de 15 %.

Troisième partie

Situation 1

1. Aspect du nombre mobilisé dans cette situation
Il s'agit de l'aspect cardinal du nombre.

2. Analyse des stratégies mises en œuvre par chacun des élèves
L'élève A réalise une correspondance terme à terme entre les poupées et les biscuits. L'appariement « une poupée – un biscuit » lui permet de contrôler l'énumération des poupées.
L'élève B réalise tout d'abord une collection de doigts levés équipotente à celle des poupées, puis une collection de biscuits équipotente à celle des doigts levés. On ne sait pas s'il a accompagné ou non de comptage la réalisation des collections.
L'élève C semble avoir dénombré les poupées, puis les biscuits, en conservant en mémoire le nombre de poupées le temps de se rendre à la table des biscuits et de se servir. On ne sait pas s'il s'agit de subitizing ou de dénombrement par comptage.
L'élève D effectue une correspondance terme à terme entre les poupées et les biscuits, il s'est assuré d'avoir suffisamment de biscuits en rapportant tout le stock. L'appariement « une poupée – un biscuit » lui permet de contrôler l'énumération des poupées. Il rapporte ensuite les biscuits restants.

3. Modification de l'énoncé engageant les élèves A et D à évoluer dans la construction du nombre et explicitation de l'évolution
Pour que les élèves A et D soient obligés d'anticiper le cardinal de la collection de biscuits à rapporter, il faut les contraindre à réaliser la tâche en un seul voyage.
Ainsi, la correspondance terme à terme comme procédure de résolution n'est plus possible, elle devient moyen de vérification.

Situation 2

1. Opération permettant de répondre à la question
L'opération permettant de répondre à cette question est la division à quotient décimal (division décimale).

Procédures utilisées par les élèves

Procédure de Julia
Julia sépare sa feuille en deux : à gauche, elle traite les 9 litres et, à droite, les 5 bidons.
Elle représente les 9 litres par 9 traits, regroupés deux à deux, puis distribue 5 litres dans les 5 bidons (un litre par bidon), ce qu'elle matérialise par cinq traits, séparés, du côté « bidons ». Elle accompagne cette distribution du retrait de cinq litres aux neuf litres de départ, ce qu'elle représente par une barre en travers de cinq des neuf traits matérialisant les litres.
Elle convertit mentalement 4 L en 8 demis (litres) et distribue, toujours mentalement, un demi-litre par bidon. Elle soustrait mentalement 5 demi-litres à 8 demi-litres, ce qui représente le reste. Elle convertit finalement 1 litre et demi en 1,5 L et indique sa réponse sous forme décimale, en mentionnant le reste (trois demi-litres).

Procédure de Karima
Karima procède par essais et ajustement d'additions itérées. Elle pose successivement les additions itérées cinq fois de 2,5, puis de 2,2, qu'elle semble effectuer, comme l'indique la présence de retenues ; elle n'écrit toutefois pas l'ensemble du résultat, ne mentionnant que le chiffre des dixièmes, sûrement parce que les résultats obtenus ne sont pas celui escompté. Elle change ensuite de procédure et pose la division euclidienne de 9 par 5. Elle interprète le reste, 4, comme étant le chiffre des dixièmes du résultat. Elle pose l'addition itérée cinq fois de 1,4 pour vérifier son résultat, mais semble ne pas l'effectuer. Elle fournit 1,4 comme étant la solution du problème.

Procédure de Louis
Louis procède par essais et ajustements multiplicatifs, jusqu'à obtenir la réponse souhaitée, en quatre essais. Il pose la multiplication par cinq de quatre nombres décimaux, en commençant par 1,5, puis ajuste en fonction du résultat.

3. Modifications sur les nombres en jeu encourageant Louis à changer de procédure
Le changement de procédure consiste à pousser Louis à poser la division décimale ; il faut donc que la procédure d'essais et ajustements multiplicatifs devienne trop coûteuse.
L'enseignant peut donc proposer à Louis des valeurs numériques plus grandes pour le nombre de litres d'huile et/ou de bidons ou modifier le rapport pour que le nombre cherché comporte plus de décimales.

Situation 3

1. Notion du programme mobilisée dans l'exercice
Il s'agit de la proportionnalité.

2. Procédures utilisées par les élèves pour calculer la masse de farine
L'élève A identifie un problème de proportionnalité et observe que le rapport de 6 à 9 est un et demi, ce qu'il explicite par « 6 plus sa moitié ».
Il mobilise ensuite conjointement les propriétés de linéarité multiplicative (pour calculer la moitié de la mesure fournie) et additive (pour additionner le nombre obtenu au nombre de départ).
L'élève B procède par retour à l'unité. Il pose la division décimale de 250 par 6 pour trouver la masse de farine nécessaire pour une personne, puis multiplie le résultat obtenu par 9 pour répondre à la question posée. Toutefois, comme il s'est arrêté au rang des dixièmes dans son calcul du quotient, il obtient un résultat approché (374,4 au lieu de 375).
L'élève C procède lui aussi par retour à l'unité en posant la division de 250 par 6. Il additionne ensuite trois fois le résultat obtenu à la masse de farine nécessaire pour 6 personnes, mobilisant par là même la linéarité additive, en observant que 9 = 6 + 1 + 1 + 1. Néanmoins, comme il s'est contenté d'effectuer une division euclidienne, dont le reste est non nul, le résultat obtenu est approché (373 au lieu de 375).

3. Modification de procédure induite par le changement de la masse de farine
Il n'est pas certain que le choix de 300 g au lieu de 250 g aurait modifié les procédures des élèves, sauf peut-être celle de l'élève A.
En effet, 300 g correspond à une valeur unitaire entière et simple à calculer. Les élèves B et C auraient donc sûrement obtenu les valeurs exactes du quotient, et donc la réponse attendue au problème posé, ce qui leur aurait permis de se rendre compte que leur procédure est valide.
L'élève A, quant à lui, aurait vu ses calculs « de moitié » allégés, ou aurait pu migrer vers la procédure de passage par l'unité.

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