Épreuve d'admissibilité, avril 2014, groupement académique 1

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Sujet

Première partie (13 points)
Dans ce problème, on s'intéresse à différentes méthodes de calcul ou d'estimation de l'aire de certains quadrilatères.
A. Chez les Mayas
Les civilisations anciennes utilisaient divers procédés pour estimer les aires des champs. Les Mayas, par exemple, estimaient l'aire d'un quadrilatère en calculant le demi-produit des longueurs des diagonales.
Aire\,{\approx} \,\frac{D\,\times\,d}{2}
1. Justifier que cette estimation Maya donne la valeur exacte de l'aire d'un carré de côté a.
2. On considère un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 3 cm.
La formule Maya donne-t-elle la valeur exacte de l'aire de ce rectangle ?
B. Chez les Indiens
On dit qu'un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si ses quatre sommets sont des points de ce cercle.
C'est le cas du quadrilatère ci-dessous.
Brahmagupta, mathématicien indien du VIIe siècle, a établi une formule donnant l'aire d'un tel quadrilatère lorsqu'il est non croisé :
S\,=\,\sqrt{(p\,-\,a)(p\,-\,b)(p\,-\,c)(p\,-\,d)}
a, b, c et d sont les longueurs des côtés du quadrilatère et p est son demi-périmètre.
1. 
Étude d'une configuration particulière
a) Construire un cercle Γ et deux points A et C diamétralement opposés sur ce cercle.
Placer un point B sur le cercle Γ distinct des points A et C.
Construire le point D, symétrique du point B par rapport à la droite (AC).
Laisser apparents les traits de construction.
b) Justifier que le quadrilatère ABCD est inscriptible dans le cercle Γ.
c) Exprimer l'aire du quadrilatère ABCD en fonction des longueurs AB et BC en utilisant la formule de Brahmagupta. On admettra que le quadrilatère ABCD est non croisé.
d) Retrouver l'expression précédente de l'aire du quadrilatère ABCD par une autre méthode.
2. 
Étude d'une autre configuration particulière : le rectangle
a) Justifier qu'un rectangle est inscriptible dans un cercle.
b) À l'aide de la formule de Brahmagupta, retrouver l'expression usuelle de l'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur l.
C. À l'ère du tableur
On s'intéresse à l'aire des rectangles dont le périmètre est 14 cm.
On note x la mesure en cm d'un des côtés d'un tel rectangle. La fonction A qui à x associe l'aire A(x) en cm2 du rectangle est représentée ci-dessous.
1. Pourquoi se limite-t-on à des valeurs de x comprises entre 0 et 7 ?
2. 
Étude graphique
Répondre aux questions suivantes, par lecture de la représentation graphique de la fonction A.
a) Quelles sont les dimensions d'un rectangle de périmètre 14 cm et d'aire 10 cm2 ?
b) Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
c) Encadrer par deux nombres entiers consécutifs la valeur de l'aire maximale du rectangle.
3. 
Poursuite de l'étude à l'aide d'un tableur
a) Proposer une formule qui, entrée dans la cellule B2 et recopiée vers la droite, a permis d'obtenir les valeurs de A(x) sur la ligne 2.
b) À partir du tableau ci-dessus, améliorer l'encadrement de la valeur de x obtenu par lecture graphique à la question 2 b). Donner alors une estimation de la valeur de l'aire maximale.
4. 
Détermination des valeurs exactes
a) Justifier que pour tout x de l'intervalle [0 ; 7], on a : A(x)\,=\,\frac{49}{4}\,-\,(x\,-\,\frac{7}{2})^{2}.
b) Pour quelle valeur de x l'aire A(x) est-elle maximale ? Justifier.
Quelle est la valeur maximale de A(x) ?
c) Que peut-on dire du rectangle de périmètre 14 cm et d'aire maximale ?
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Le cross du collège a eu lieu. 200 élèves de troisième ont franchi la ligne d'arrivée.
Voici les indicateurs des performances réalisées en minutes.
Minimum
Premier quartile
Médiane
Troisième quartile
Moyenne
Étendue
12,5
14,8
15.7
16,3
15,4
4,2

Répondre aux questions suivantes en justifiant.
1. Quelle est la performance en minutes du dernier arrivé ?
2. Quelle est la somme des 200 performances en minutes ?
3. Ariane est arrivée treizième. Donner l'encadrement le plus précis possible de sa performance en minutes.
4. L'affirmation suivante est-elle vraie ?
Affirmation : Plus de 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen.
Exercice 2
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.
1. Affirmation 1 : La somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5.
2. Affirmation 2 : La somme des angles d'un pentagone convexe est égale à 540°.
3. On dispose du plan d'une maison à l'échelle 1/50.
Affirmation 3 : Les aires sur le plan sont 50 fois plus petites que les aires réelles.
4. Shéhérazade commence à lire un conte un lundi soir. Elle lit 1 001 nuits consécutives.
Affirmation 4 : Elle terminera un dimanche soir.
Exercice 3
Pour s'entraîner, un cycliste effectue un parcours aller-retour entre deux villes A et B distantes de 45 km. Il part de la ville A à 9 h 30 et on considère qu'à l'aller, il roule à une vitesse constante de 30 km/h. Après un repos d'une heure, il repart de la ville B et cette fois-ci rejoint la ville A à la vitesse constante de 50 km/h.
1. À quelle heure arrive-t-il à la ville B ?
2. Représenter graphiquement la distance entre le cycliste et la ville A sur l'intégralité du parcours. On placera en abscisse l'heure de la journée et en ordonnée la distance entre le cycliste et la ville A exprimée en km.
3. À quelle heure est-il de retour à la ville A ? Donner le résultat en heures et minutes.
Exercice 4
On considère un dé à quatre faces en forme de tétraèdre régulier. Ses quatre faces sont numérotées de 1 à 4. Le résultat d'un lancer est le nombre indiqué sur la face sur laquelle repose le dé.
Le dé est supposé équilibré.
1. On a lancé le dé six fois et obtenu la série de résultats : 1 ; 2 ; 4 ; 1 ; 1 ; 2.
Au 7e lancer, la probabilité d'obtenir le nombre 1 et celle d'obtenir le nombre 3 sont-elles différentes?
2. 
On lance le dé deux fois de suite.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir une seule fois le nombre 1 lors de ces deux lancers ?
b) Quelle est la probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer ?
Troisième partie
Cette partie est composée de deux exercices indépendants
Exercice 1
Un enseignant propose un jeu de bataille à ses élèves de maternelle.
Il utilise un jeu de cartes représentant les nombres de 1 à 6. Voici douze cartes extraites du jeu : par exemple, la première carte (en haut à gauche) représente le nombre 3 et la dernière carte (en bas à droite) représente le nombre 5.
Zoom
« Vers les maths, Maternelle moyenne section » p. 130 et 131, Edition ACCES, 2009.
Voici la règle du jeu :
Deux élèves s'opposent. Les cartes sont battues puis distribuées, puis chacun des deux élèves pose ses cartes, à l'envers, en tas devant lui.
Ils retournent chacun une carte : celui dont la carte représente le nombre le plus grand remporte les deux cartes et les met sous son tas.
En cas d'égalité, chaque élève retourne une nouvelle carte sur la table. Celui dont la nouvelle carte représente le nombre le plus grand remporte toutes les cartes retournées sur la table.
À la fin, celui qui n'a plus de carte a perdu.
On peut aussi arrêter le jeu au bout d'un certain temps et compter les cartes de chacun des deux élèves : celui qui a le plus de cartes a gagné).
1. Citer deux compétences mathématiques travaillées par les élèves lors de ce jeu de bataille.
2. Pour chaque compétence citée en réponse à la question 1., donner deux causes possibles d'erreurs.
3. 
L'enseignant peut utiliser un autre jeu de cartes représenté ci-dessous :
Comparer les intérêts respectifs de chacun des jeux au regard des deux compétences citées en réponse à la question 1.
Exercice 2
Partie A.
En classe de CM1, un enseignant propose en application de la leçon sur les nombres décimaux les deux exercices suivants :
Exercice 1
Calcule les sommmes suivantes :
0,3 + 0,8
1,3 + 0,12

Exercice 2
Range dans l'ordre croissant les nombres décimaux suivants :
5,100
5,6
5,03

Voici les réponses d'un élève à l'exercice 1 :
0,3 + 0,8 = 0,11
1,3 + 0,12 = 1,15

1. À partir de ces réponses, indiquer ce que cet élève semble maîtriser et ce qu'il lui reste à travailler.
Voici la réponse d'un élève à l'exercice 2 :
5,03 < 5,6 < 5,100

2. 
a) Quelle représentation erronée des nombres décimaux pourrait être à l'origine de l'erreur de cet élève ? Justifier.
b) Quelle désignation orale des nombres 5,03 ; 5,6 et 5,100 l'enseignant pourrait-il utiliser pour aider les élèves à se construire une bonne représentation des nombres décimaux ?
Partie B.
En classe de CM2, un autre enseignant propose l'exercice de réinvestissement suivant :
Zoom
Extrait du manuel « Pour comprendre les mathématiques cm2 », Hachette 2005.
1. Quelle définition d'un nombre décimal peut-on donner à l'école élémentaire ?
2. Un élève affirme que la somme de deux nombres décimaux ne pourra jamais être un nombre entier. Comment l'enseignant peut-il utiliser le support de l'exercice du cadre n°5 pour lui apporter une réponse justifiée ?
3. Un autre élève se demande si la somme de deux nombres décimaux est toujours un nombre décimal. Quelle réponse argumentée l'enseignant peut-il lui apporter ?
4. Pour prolonger l'activité, l'enseignant demande aux élèves de placer le nombre 1,07 sur la droite graduée de l'exercice ci-dessus.
Citer deux intérêts qu'il pourrait y avoir à prolonger ainsi l'activité.

Corrigé

Première partie
A. Chez les Mayas
1. 
Aire d'un carré
Remarque
Comme souvent en géométrie, il est plus simple, pour la suite du propos, de nommer les objets considérés. Par ailleurs, lorsque l'énoncé propose des notations – ici, « d » et « D » pour les diagonales, il faut s'en emparer et les utiliser.
Soit ABCD un carré.
Tout carré a des diagonales de même longueur. Si l'on reprend les notations de l'énoncé, on a donc : dD.
On sait que dans un carré, la mesure c de la longueur du côté et la mesure d de la diagonale sont liées par la formule : d\sqrt{2c}.
Remarque
Si cette formule n'est pas connue du candidat, il lui faudra établir d en fonction de c par le même type de calcul qu'à la question 2.
La formule Maya donne : \frac{d\,\times\,D}{2}=\frac{(c\sqrt{2})(c\sqrt{2})}{2}=\frac{2c^{2}}{2}=c^{2}=A_{\mathrm{ABCD}}.
La formule Maya donne donc l'aire exacte du carré.
2. 
Aire d'un rectangle particulier
Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 4 cm et AD = 3 cm.
Tout rectangle a des diagonales de même longueur. Si l'on reprend les notations de l'énoncé, on a donc aussi : dD (= AC = BD).
Calculons AC : dans le triangle ABC, rectangle en B, on a, d'après le théorème de Pythagore :
\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2} d'où \mathrm{AC}^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 et donc AC = 5.
La formule Maya donne donc : \frac{d\,\times\,D}{2}=\frac{\mathrm{AC}^{2}}{2}=\frac{25}{2} = 12,5.
Or, A_{\mathrm{ABCD}}=\mathrm{AB}\,\times\,\mathrm{AD}=3\,\times\,4=12.
La formule Maya ne donne donc pas l'aire exacte du rectangle.
B. Chez les Indiens
1. 
Étude d'une configuration particulière
a) 
Construction
b) 
ABCD est inscriptible dans le cercle Γ.
Remarque
La difficulté réside ici dans le fait de montrer un résultat qui paraît évident au vu de la figure, et que l'on a d'ailleurs implicitement utilisé pour placer le point D…
Les points A, B et C sont sur le cercle Γ par hypothèse (c'est une contrainte de l'énoncé).
Le point D est défini comme étant le symétrique de B par rapport à (AC). Or, [AC] étant par hypothèse un diamètre du cercle Γ, la droite (AC) est axe de symétrie du cercle Γ. Par conséquent, l'image de tout point de Γ par symétrie d'axe (AC) se trouve sur le cercle Γ. Conclusion : D \in Γ.
Remarque
Le symbole mathématique « \in » signifie « appartient à ».
L'utilisation du langage mathématique permet souvent de raccourcir les réponses ; les transitions avec le texte doivent toutefois être bien gérées : un symbole ne peut être substitué à un mot dans une phrase pour « gagner du temps ».
c) 
Expression de l'aire de ABCD
On observe que, par symétrie d'axe (AC), les points A et C sont invariants et que les points B et D sont l'image l'un de l'autre. On en déduit, en utilisant la conservation des longueurs par symétrie axiale, que AB = AD et que BC = DC.
Par conséquent : p = AB + BC et la formule S\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} devient S\sqrt{\mathrm{AB}^{2}\,\times\, \mathrm{BC}^{2}} = AB × BC.
d) 
Autre expression de l'aire de ABCD
On observe que : A_{\mathrm{ABCD}}=A_{\mathrm{ABC}}+A_{\mathrm{ACD}}. Or, la conservation des aires par symétrie axiale permet d'affirmer que : A_{\mathrm{ABC}}=A_{\mathrm{ACD}}.
Par ailleurs, le point B se situant sur le cercle de diamètre [AC], le triangle ABC est rectangle en B et on a donc : A_{\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB}\,\times\, \mathrm{BC}}{2} d'où A_{\mathrm{ABCD}}=2\,\times\, A_{\mathrm{ABC}}=\mathrm{AB}\,\times\, \mathrm{BC}.
On retrouve le résultat précédent.
2. 
Étude d'une autre configuration particulière : le rectangle
a) Un rectangle est inscriptible dans un cercle.
On sait que les diagonales de tout rectangle ABCD sont de même longueur et se coupent en leur milieu O. Par conséquent : OA = OB = OC = OD.
Les points A, B , C et D sont sur un même cercle de centre O, d'où le résultat.
b) Formule d'aire du rectangle avec la formule de Brahmagupta.
Nommons L la longueur et l la largeur du rectangle ABCD et posons, de façon arbitraire : AB = DC = L et AD = BC = l.
On a alors pL + l et la formule de Brahmagupta s'écrit :
S\sqrt{L\,\times\, l\,\times\, L\,\times\, l}=\sqrt{L^{2}\,\times\, l^{2}}L × l (ce qui est la formule connue d'aire d'un rectangle).
C. À l'ère du tableur
1. 
Valeurs possibles de x
On s'intéresse à des rectangles dont le périmètre est 14 cm ; le demi-périmètre de tels rectangles vaut donc 7 cm , d'où, en reprenant les notations précédentes, L + l = 7 cm.
Chaque valeur, L ou l, est donc comprise entre 0 (car se sont des mesures de longueurs, donc positives) et 7.
Conclusion : 0 inférieur ou égal x inférieur ou égal 7.
2. 
Étude graphique
Remarque
Aucune justification n'est demandée ici.
a) Dimensions d'un rectangle de périmètre 14 cm et d'aire 10 cm2.
On lit les valeurs : x = 2 cm et x = 5 cm.
b) Encadrement des valeurs de x pour une aire maximale par deux entiers consécutifs.
On lit : 3 inférieur ou égal x inférieur ou égal 4.
c) Encadrement de l'aire maximale par deux entiers consécutifs.
On lit : 12 inférieur ou égal A inférieur ou égal 13.
3. 
Poursuite de l'étude à l'aide d'un tableur
a) Formule à entrer en cellule B2 : = B1*(7−B1).
b) 
Nouveaux encadrements de x et A.
Remarque
Ce type de question peut être déroutante pour le candidat : si l'on fait fi de toute connaissance sur les variations d'une fonction du second degré, en particulier de celle-ci, dont la représentation graphique présente un axe de symétrie d'équation : x = 3,5, la lecture seule du tableau ne permet pas de préjuger des valeurs de x qui rendent A maximale : on ne sait pas « ce qui se passe » entre les valeurs de x présentes dans le tableau. Si l'on mobilise les connaissances évoquées ci-dessus, on peut, non seulement « améliorer » l'encadrement de x, mais donner la valeur de x qui maximalise A, à savoir : 3,5 cm.
Le tableau permet de dire (si on « croise » ses informations avec la lecture du graphique) que : 3,4 inférieur ou égal x inférieur ou égal 3,6, autrement dit que x \approx 3,5 à 0,1 près.
On alors : A \approx 12,25 cm2 à 10−2 près.
4. 
Détermination des valeurs exactes
a) 
Expression de A(x)
Remarque
Lorsque l'on demande d'établir une formule fournie par l'énoncé, on peut : soit partir d'un des membres de l'égalité et obtenir le deuxième membre par calcul (factorisation ou développement), soit développer et réduire au maximum et séparément chacun des membres de l'égalité pour trouver un résultat commun. C'est ce que nous allons faire ici.
x étant une des dimensions du rectangle de demi-périmètre 7, l'autre dimension est égale à 7 − x. On a donc : A(x) = x(7 − x) = 7x − x2.
Par ailleurs : \frac{49}{4}-(x-\frac{7}{2})^{2}=\frac{49}{4}-(x^{2}-7x+\frac{49}{4})=-x^{2}+7x.
On a donc bien : A(x) = \frac{49}{4}-(x-\frac{7}{2})^{2}.
b) 
Valeur maximale de A(x) ; valeur de x correspondante.
L'expression de A trouvée ci-dessus est maximale lorsque (x-\frac{7}{2})^{2} est minimal, autrement dit égal à 0 car l'expression (x-\frac{7}{2})^{2} est toujours positive ou nulle.
(x-\frac{7}{2})^{2} = 0 lorsque x=\frac{7}{2} = 3,5. On a alors : A(3,5) = \frac{49}{4} = 12,25.
c) 
Nature du rectangle d'aire maximale
Si x = 3,5, l'autre dimension du rectangle vaut : 7 − 3,5 = 3,5. Le rectangle a ses quatre côtés de même longueur ; c'est donc un carré.
Deuxième partie
Exercice 1
1. 
Performance du dernier arrivé
Remarque
Attention : ce qui est appelé « minimum » dans le tableau correspond à la durée de course minimale, donc à la performance du 1er arrivé !
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
On a donc : durée maximale = durée minimale + étendue.
D'où : durée maximale = 12,5 + 4,2 = 16,7 min.
Le dernier arrivé a couru en 16,7 min.
2. 
Somme des 200 performances
La moyenne correspond au total des résultats, divisé par le nombre total des résultats, ici 200. La somme des performances vaut donc : 15,4 × 200 = 3 080 min.
3. 
Encadrement de la performance du treizième
Comme 200 : 4 = 50, la treizième arrivée se situe dans le premier quart des arrivées. Sa performance est donc comprise entre la performance du premier arrivé et le premier quartile.
La performance d'Ariane est comprise entre 12,5 min et 14,8 min.
4. 
Plus de 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen
La médiane indique que la moitié des élèves ont mis un temps supérieur ou égal à 15,7. Or cette médiane est supérieure à la moyenne, qui vaut 15,4. Si aucun élève n'a mis entre 15,4 et 15,7 min, on peut affirmer que 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen, mais pas que plus de 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen.
Remarque
L'affirmation vraie serait ici : « au moins 50 % des élèves ont mis un temps supérieur au temps moyen ».
Exercice 2
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. 
La somme de cinq nombres consécutifs est un multiple de 5.
Remarque
Il faut se placer dans le cas général ; quelques tests sur des exemples semblent indiquer que l'affirmation est vraie.
Soit n un nombre entier quelconque. La somme de cinq entiers consécutifs, à partir de n, s'écrit :
Sn + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = 5n + 10 = 5(n + 2).
Or 5(n + 2) est un multiple de 5, quel que soit n \in N.
L'affirmation 1 est vraie.
2. 
La somme des angles d'un pentagone convexe est égale à 540°.
Remarque
Dans l'exemple particulier du pentagone régulier, l'affirmation est vraie. Il est donc important de raisonner sur un pentagone convexe quelconque.
1re méthode
Soit ABCDE un pentagone convexe quelconque et O un point à l'intérieur de ce pentagone.
Notons α1\widehat{\mathrm{AOB}}, α2\widehat{\mathrm{BOC}}, …, α5\widehat{\mathrm{EOA}}.
On sait alors que : α1 + α2 + α3 + α4 + α5 = 360°.
Remarque
Il faut faire le lien avec les angles du pentagone.
Notons β1\widehat{\mathrm{OAB}}, β2\widehat{\mathrm{ABO}}, …, β10\widehat{\mathrm{EAO}}.
La somme des angles du pentagone s'écrit : S = β1 + … + β10.
Or, dans chacun des triangles AOB, BOC, COD, DOE et EOA, la somme des angles vaut 180°.
On a donc : β1 + β2 = 180 − α1, β3 + β4 = 180 − α2, β5 + β6 = 180 − α3, β7 + β8 = 180 − α4 et β9 + β10 = 180 − α5.
D'où S = 180 − α1 + 180 − α2 + 180 − α3 + 180 − α4 + 180 − α5 = 900 − (α1 + α2 + α3 + α4 + α5) = 900 − 360 = 540.
2nde méthode
Soit ABCDE le pentagone considéré.
On observe que la somme des angles du pentagone correspond à la somme des angles des triangles ABC, ACD et ADE, soit : 3 × 180 = 540.
L'affirmation 2 est vraie.
3. 
Les aires sur le plan sont 50 fois plus petites que les aires réelles.
Remarque
Cette question porte sur les effets d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs et les aires.
Lorsque l'on agrandit ou réduit une figure en multipliant les longueurs par k, les aires sont multipliées par k2 (et les volumes par k3). Sur un plan à l'échelle 1/50, les longueurs sont 50 fois plus petites que les longueurs réelles ; les aires sont donc 502 = 2 500 fois plus petites que les aires réelles.
L'affirmation 3 est fausse.
4. 
Shéhérazade finira sa lecture un dimanche soir.
Remarque
Il s'agit d'établir quel jour de la semaine Shéhérazade achèvera sa lecture, donc à combien de semaines (et de jours) correspondent 1 001 nuits.
Il y a 7 jours (et donc nuits) dans une semaine. Or 1 001 = 143 × 7. Shéhérazade va donc lire pendant exactement 143 semaines. Si elle commence un lundi, elle finira donc un dimanche.
L'affirmation 4 est vraie.
Exercice 3
1. 
Heure d'arrivée à la ville B.
Le cycliste roule à 30 km/h ; il parcourt donc 15 km en une demi-heure et 3 × 15 = 45 km et 3 demi-heures, soit 1 h 30 min. Il arrivera donc à la ville B, distante de A de 45 km, 1 h 30 min après être parti, soit à 11 h (puisqu'il est parti à 9 h 30 min).
L'heure d'arrivée à B est 11 h.
2. 
Représentation graphique de la distance par rapport à A en fonction de l'heure.
Remarque
Il est judicieux ici de répondre à la question 3 avant de tracer le graphique, puisque l'heure de retour à la ville A permet de placer le deuxième point d'intersection avec l'axe des abscisses.
Attention : il s'agit de représenter la distance par rapport à la ville A, et non pas la distance parcourue par le cycliste depuis son départ.
Les points importants à placer sur le graphique correspondent : au départ de A, à l'arrivée à B, au départ de B après la pause et au retour à la ville A.
Leurs coordonnées sont respectivement : ( 9 h 30 min ; 0 km) – donnée de l'énoncé ; (11 h ; 45 km) – résultat établi en 1. ; (12 h ; 45 km) ; (12 h 54 min ; 0 km) – résultat établi en 3..
3. 
Heure de retour à la ville A.
Après être arrivé à 11 h à la ville B, le cycliste fait une heure de pause ; il repart donc à 12 h. Pour connaître son heure de retour à A, il faut établir la durée du trajet retour.
Remarque
On peut utiliser la formule : Vmoyenne = distance/durée du parcours – la vitesse est connue, la distance aussi et on remplace – ou privilégier les relations arithmétiques entre les données qui permettent de calculer mentalement en utilisant la proportionnalité entre la distance parcourue et la durée du parcours.
1re méthode
On sait que : Vmoyenne = distance/durée du parcours, d'où en remplaçant : 50 = \frac{45}{t}t désigne la durée du parcours. On a donc : t\frac{45}{50}=\frac{9}{10} = 0,9 h = 0,9 × 60 = 54 min.
2nde méthode
Si le cycliste roule à 50 km/h, il parcourt 5 km en un dixième d'heure, soit 6 min.
Comme 45 = 5 × 9, il lui faut 6 × 9 = 54 min pour parcourir 45 km.
Étant parti à 12 h de B, le cycliste arrivera à 12 h 54 min à la ville A.
Exercice 4
1. La situation décrite relève de l'équiprobabilité car le dé est un tétraèdre régulier, supposé équilibré. Les tirages successifs sont des expériences indépendantes. La probabilité d'obtenir n'importe laquelle des faces est donc la même à chaque tirage et est égale au quotient : 1/4 (puisqu'il y 4 faces).
Conclusion : les faces 1 et 3 ont la même probabilité d'être obtenues.
2. 
a) 
Probabilité d'obtenir un seul 1 lors de deux lancers
Notons A l'événement : « obtenir un seul 1 lors de deux lancers ».
1re méthode
Cet événement est constitué de deux issues, si l'on considère qu'une issue est le résultat de deux lancers successifs : obtenir 1, puis autre chose que 1 ou : obtenir autre chose que 1, puis 1.
On a donc : p(A) = \frac{1}{4}\,\times\,\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\,\times\,\frac{1}{4}=2\,\times\,\frac{3}{16}=\frac{3}{8}
2e méthode
On s'intéresse à l'événement contraire de A. \bar{A} est constitué des issues : « obtenir successivement 1 et 1 », et : « ne pas obtenir 1 lors des deux tirages ».
On a donc : p(\bar{A}) = (\frac{1}{4})^{2}+(\frac{3}{4})^{2}=\frac{1}{16}+\frac{9}{16}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}. D'où : p(A) = 1 − p(\bar{A}) = 1 − \frac{5}{8}\frac{3}{8}.
b) 
Probabilité que le nombre obtenu au deuxième lancer soit strictement supérieur au nombre obtenu au deuxième lancer
Notons (x ; y) l'issue : « obtenir x au premier lancer et y au deuxième lancer, et B l'événement : « le nombre obtenu au deuxième lancer est strictement supérieur au nombre obtenu au premier lancer ».
1re méthode
B est constitué des issues : (1 ; 2), (1 ; 3), ( 1 ; 4), (2 ; 3), (2 ; 4) et (3 ; 4) qui ont toutes la même probabilité, à savoir : (\frac{1}{4})^{2}=\frac{1}{16}.
On a donc : p(B) = 6 × \frac{1}{16}=\frac{3}{8}.
Remarque
On pouvait également réaliser un arbre de choix.
2nde méthode
Si l'on considère l'expérience consistant à lancer deux fois le dé, l'événement certain peut se décomposer en trois événements : B, C et D avec B définit comme ci-dessus, C correspondant à : « le nombre obtenu au deuxième lancer est strictement inférieur au nombre obtenu au premier lancer » et D : « les deux lancers fournissent le même nombre ».
On a alors : p(B) = p(C) pour des raisons de symétrie et p(D) = \frac{1}{4}, car, quelle que soit l'issue du premier lancer, la probabilité d'obtenir le même nombre est : 1/4.
On a alors : 1 = p(B) + p(C) + p(D) = 2p(B) + \frac{1}{4}, d'où p(B) = \frac{1}{2}\,\times\,\frac{3}{4}=\frac{3}{8}.
Troisième partie
Exercice 1
1. 
Compétences travaillées
Remarque
Lors de tout jeu de bataille, pour savoir qui emporte le pli, il faut établir quelle est la carte « la plus forte ». Ici, les cartes comportent des collections d'objets (géométriques). La carte qui l'emporte est celle où est représentée la plus grande quantité d'objets. Les quantités peuvent être comparées avec ou sans recours au dénombrement.
Les compétences travaillées lors de ce jeu de bataille sont :
a) Comparer des quantités ;
b) Dénombrer des quantités ;
c) Comparer des nombres.
Remarque
On indique trois compétences majeures, parmi lesquelles le candidat devait en choisir deux.
2. 
Deux causes possibles d'erreur pour chaque compétence citée en 1
a) 
Causes d'erreur pour la comparaison de quantité (sans dénombrement) :
  • la petite taille des objets représentés ;
  • la disposition spatiale des objets.
Ces facteurs rendent difficile le pointage et l'énumération et /ou induise l'élève en erreur lorsqu'il considère que « plus ça prend de place, plus il y en a ».
Remarque
Une procédure de comparaison des quantités sans dénombrement consiste à énumérer les deux collections en synchronisant les gestes pour effectuer des appariements. La collection la plus importante est celle pour laquelle il reste des objets à énumérer, alors que l'énumération est achevée pour l'autre collection.
b) Causes d'erreur pour le dénombrement :
  • erreur d'énumération (dont les causes ont déjà été listées ci-dessus) ;
  • méconnaissance de la comptine numérique.
c) Causes d'erreur pour la comparaison des nombres :
  • méconnaissance de l'ordre des nombres ;
  • taille ou disposition des objets, des élèves pouvant considérer qu'à nombre égal, une collection est plus importante lorsque les objets représentés sont plus grands, ou occupent davantage de place.
3. 
Intérêts de chacun des jeux
Les jeux proposés comportent des représentations de collections d'objets de deux types uniquement ; les éléments ont le même encombrement et sont disposés comme les points du dé ordinaire.
La comparaison directe des quantités est ainsi favorisée, tout d'abord parce que les élèves peuvent avoir mémorisé l'ordre des constellations et ensuite parce que l'organisation des constellation fait apparaître les objets qui « s'ajoutent », permettant de décomposer les collections : la carte à cinq points, par exemple, est obtenue à partir de la carte à trois points en dessinant deux points supplémentaires.
Le dénombrement est facilité par le recours au subitizing : nul besoin de dénombrer les points, on « reconnaît » la carte et sait par cœur le nombre correspondant…
Les procédures mises en œuvre en utilisant chacun des jeux sont donc complémentaires.
Exercice 2
A.
1. 
Analyse des réponses à l'exercice 1
Remarque
L'élève a additionné séparément parties entières et parties décimales en appliquant - sans erreur - les règles d'addition des entiers.
L'élève maîtrise les règles d'addition des nombres entiers, mais ne sait pas interpréter correctement la valeur positionnelle des chiffres dans la partie décimale, ce qu'il lui reste à travailler.
2. 
a) 
Représentation erronée à l'origine de l'erreur
Les trois nombres proposés ayant la même partie entière, cet élève semble avoir rangé les nombres en fonction de leur partie décimale, mais en considérant cette dernière comme un entier. Comme 3 < 6 < 100, il en déduit que : 5,03 < 5,6 < 5,100. Il semble concevoir les nombres décimaux comme deux entiers séparés par une virgule.
Remarque
Cette conception est renforcée par la désignation orale usuelle « cinq virgule (zéro) trois ; cinq virgule six ; cinq virgule cent » d'où la question suivante.
b) 
Désignation orale préconisée
Une désignation orale aidante pour les élèves consiste à oraliser la valeur positionnelle des chiffres dans la partie décimale, par exemple, pour les nombres proposés : « cinq et trois centièmes » ; « cinq et six dixièmes » ou encore : « cinq et cent millièmes ».
B.
1. 
Définition d'un nombre décimal pour l'école élémentaire
Remarque
En fait, il s'agit d'avantage de définir l'écriture décimale, qui est un code, que la nature du nombre décimal.
Les élèves ayant préalablement travaillé la décomposition canonique des fractions décimales, du type : \frac{1234}{100} = 12 + \frac{3}{10}+\frac{4}{100}, on pourra leur dire que :
12 + \frac{3}{10}+\frac{4}{100} peut aussi s'écrire 12,34 ; un tel nombre s'appelle « nombre décimal ».
2. 
Réponse de l'enseignant concernant la somme de deux décimaux (considérée comme toujours non entière)
L'enseignant peut utiliser le double repérage de la droite graduée (sous forme de fractions décimales et sous écriture décimale) pour faire observer que si : 14 dixièmes et 6 dixièmes font deux, cela revient à dire que : 1,4 + 0,6 = 2.
3. 
Réponse de l'enseignant concernant la somme de deux décimaux (est ce toujours un décimal ?)
Remarque
Les seuls nombres connus des élèves de CM2 sont les nombres entiers, les fractions et les nombres décimaux.
Les nombres décimaux sont introduits à partir de leur écriture décimale ; un élève qui se poserait la question de la nature de la somme de deux nombres décimaux est certainement interpelé par le fait que la somme de deux nombres décimaux est parfois un nombre entier, que les élèves ne considèrent pas comme un nombre décimal car ils associent « nombre décimal » à « nombre à virgule ». Il s'agit donc pour l'enseignant de faire observer, peut être à partir de la somme entière de deux décimaux (non entiers) que tout nombre entier pourrait aussi s'écrire avec une virgule et des zéros (inutiles).
Exemple : 1,4 + 0,6 = 2,0 (le zéro en partie décimale est généré lors de l'utilisation de l'algorithme de l'addition de deux décimaux) et 2,0 s'écrit plus simplement 2.
4. 
Intérêts à prolonger l'activité par le placement de 1,07
Le premier intérêt à prolonger ainsi l'activité réside dans la nécessité de subdiviser l'intervalle entre 1 et 1,1 en dix sous intervalles correspondant chacun à un centième, rappelant par là même que : \frac{1}{10}=\frac{10}{100}.
Le second intérêt est que l'élève est alors amené à encadrer 1,07 et observant que : 1 < 1,07 < 1,1.
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