Épreuve d'admissibilité, avril 2014, groupement académique 2

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Sujet

Première partie (13 points)
Albert part dans les Alpes autrichiennes, dans la mythique station de ski de Kitzbühel. Suivons-le dans son périple et ses diverses activités.
A. La montée à la station
Sur le dernier tronçon de route montant à la station en ligne droite, Albert a vu un panneau signalant une pente constante de 25 %. La pente est le rapport entre le dénivelé et le déplacement horizontal (théorique).
Ainsi une pente de 25 % indique un dénivelé de 25 m pour un déplacement horizontal de 100 m.
Zoom
La figure n'est pas à l'échelle.
On note α l'angle que la route forme avec l'horizontale. Cet angle est appelé l'inclinaison de la route.
1. Calculer, au degré près, l'inclinaison du dernier tronçon de la route empruntée par Albert.
2. Ce tronçon de route permet de s'élever de 145 m. Calculer sa longueur, au mètre près.
B. Ski sur la Streif
Sitôt arrivé, Albert décide de dévaler la piste appelée Streif, réputée la plus difficile au monde.
Voici quelques caractéristiques de cette piste :
  • Longueur totale : 3312 m
  • Pente maximale : 85 %
  • Pente minimale : 5 %
  • Dénivelé : 862 m
1. Albert s'élance dans la descente à 14 h 58 min 47 s et termine la descente à 15 h 03 min 08 s. Calculer sa vitesse moyenne durant cette descente, en km/h, arrondie au dixième.
2. Le meilleur skieur de la station a réalisé la descente à la vitesse moyenne de 100 km/h. S'il s'était lancé dans la descente au même instant qu'Albert, combien de temps avant lui serait-il arrivé ?
C. Saut sur la Streif
Lors de sa descente de la Streif, Albert effectue un saut.
On admet que la hauteur du saut d'Albert par rapport au sol de la piste s'exprime en fonction du déplacement horizontal x par la fonction S suivante :
\mathrm{S}\,=\,\mathrm{x}{\longmapsto}2,5\,-\,\frac{(2\mathrm{x}\,-\,55)^{2}}{1210}
x et S(x) étant exprimés en mètre.
1. Calculer l'image de 10 par la fonction S. Interpréter ce résultat en ce qui concerne le saut d'Albert.
2. 
On a tracé la courbe représentative de cette fonction S.
a) Que représente, pour Albert, la valeur 55 sur l'axe des abscisses ?
b) Déterminer graphiquement quelle a été la hauteur maximale du saut d'Albert. À quel déplacement horizontal cette valeur correspond-elle ?
3. À l'aide de l'expression de la fonction S, retrouver, par le calcul, la hauteur maximale du saut d'Albert.
D. Tir à la carabine
Albert observe ensuite un entraînement au tir à la carabine sur une cible.
La cible est constituée de trois disques concentriques de rayons respectifs 5 cm, 10 cm et 15 cm, comme schématisé ci-dessous.
Un débutant touche la cible une fois sur deux.
Lorsqu'il atteint la cible, la probabilité qu'il atteigne une zone donnée est proportionnelle à l'aire de cette zone.
1. Un tireur débutant touche la cible. Quelle probabilité a-t-il d'atteindre la couronne extérieure (partie quadrillée) ?
2. Un tireur débutant va appuyer sur la détente. Quelle probabilité a-t-il de toucher la cible et d'atteindre son cœur (partie noire) ?
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
En classe de CM2, un professeur propose l'exercice suivant :
Mathis a effeuillé des fleurs à 5 pétales en disant « j'aime les maths… un peu…, beaucoup…, passionnément…, à la folie ». Il a ôté 83 pétales en tout. Il n'est passé à la fleur suivante que lorsqu'il avait complètement effeuillé la fleur précédente.
Combien de fleurs a-t-il effeuillées en totalité ? Sur la dernière fleur qu'il a effeuillée, reste-t-il des pétales ?
1. De quelle opération mathématique ce problème relève t-il ?
2. Proposer trois procédures possibles pour répondre à la question posée.
Exercice 2
Emma propose à son ami Jules de lui donner ses bonbons à la condition qu'il trouve exactement combien elle en a. Emma lui dit qu'elle a moins de 100 bonbons et que lorsqu'elle les regroupe par deux, trois, quatre, cinq ou six, il lui en reste toujours un.
1. Combien Emma a-t-elle de bonbons ? Justifier la réponse en explicitant la démarche utilisée.
2. 
Pour vérifier sa réponse, Jules décide d'utiliser un tableur. Pour cela, il utilise la fonction MOD (nombre ; diviseur), qui donne le reste de la division euclidienne du nombre par le diviseur.
Jules a prévu de calculer en colonne les restes de la division euclidienne des nombres de la colonne A par 2, 3, 4, 5 et 6.
a) Parmi les formules suivantes, en choisir une qui pourrait être insérée dans la cellule B2 et qui pourrait, en étant étendue vers le bas, compléter correctement la colonne B :
= MOD (1 ; 2)
= MOD (A2 ; B1)
= MOD (A2 ; 2)
= MOD (1 ; B1)
= MOD (A2 ; B$1)
= MOD (2 ; 1)

b) Jules a rempli de la même façon le reste du tableau. Comment peut-il l'utiliser pour résoudre ce problème ?
Exercice 3
On effectue à la calculatrice les calculs ci-dessous :
1232 - 1222 - 1212 + 1202 = 4
452 - 442 - 432 + 422 = 4
1. Tester ce résultat surprenant sur une autre série de quatre nombres consécutifs et émettre une conjecture.
2. Prouver que la conjecture faite précédemment est vraie.
Exercice 4
Soit ABCDEFGH un cube de côté 12 cm.
On note I le milieu de [AB], J celui de [BC], K celui de [CD], L celui de [AD] et M celui de [AE].
1. Démontrer que IJKL est un carré.
2. Calculer l'aire du carré IJKL (en cm2).
3. AILM est une pyramide à base triangulaire. Calculer le volume de cette pyramide (en cm3).
Rappel : volume d'une pyramide =\frac{1}{3} × aire de la base × hauteur
4. On ôte au cube en chacun de ses huit sommets une pyramide identique à AILM pour créer un nouveau solide. Vérifier que le volume de ce nouveau solide est 1440 cm3.
Troisième partie (14 points)
Un enseignant traite la proportionnalité avec des élèves de cycle 3.
A.
L'enseignant s'interroge sur l'énoncé d'un exercice, pour lequel une phrase (notée […]) reste à préciser :
Pour une visite du château de Versailles, la coopérative scolaire doit payer 105 € pour une classe de 25 élèves de CE1. Mais un groupe de 20 élèves de CE2 se joint finalement à cette classe.
[…]
Combien la coopérative devra-t-elle payer en tout ?
1. Proposer une phrase complétant l'énoncé pour que cette situation soit sans ambiguïté une situation de proportionnalité.
2. Proposer une phrase complétant l'énoncé pour que cette situation ne soit pas une situation de proportionnalité.
B.
L'enseignant propose l'institutionnalisation de la proportionnalité ci-dessous à partir de celle proposée dans le manuel
Zoom
« Outils pour les maths » – CM1 – Magnard – édition 2011
1. Quelle propriété caractéristique de la proportionnalité le traitement de l'exemple 1 illustre-t-il ?
2. Quelle propriété caractéristique de la proportionnalité le traitement de l'exemple 2 illustre-t-il ?
3. Dans cet extrait de manuel, l'expression « rapport entre les nombres » désigne dans le traitement des exemples 1 et 2, des coefficients jouant des rôles différents.
Expliciter ces différents rôles.
4. Quelle propriété caractéristique de la proportionnalité est utilisée dans le traitement de l'exemple 3 ? Donner une autre façon de mettre en évidence que la situation n'est pas une situation de proportionnalité, faisant appel à une autre propriété caractéristique.
C.
L'enseignant propose un autre exercice :
Lorsque je fais une mousse au chocolat pour 8 personnes, j'utilise 6 œufs.
Quand je fais une mousse au chocolat pour 12 personnes, j'utilise 9 œufs.
Combien faudra-t-il d'œufs si je fais une mousse au chocolat pour 20 personnes ?
Analyser les quatre productions des élèves ci-dessous, en précisant les propriétés mathématiques implicitement mobilisées.
Zoom
Auriane
Auriane
Zoom
Nicolas
Nicolas
Zoom
Emeric
Emeric
Zoom
Kévin
Kévin
D.
L'enseignant propose un dernier exercice :
Dans une ville, il y a deux médiathèques.
Le service culturel de cette municipalité effectue un recensement des fonds d'ouvrages de chaque établissement. À cette fin, les documentalistes ont relevé les éléments suivants :
  • à la médiathèque Jean JAURÈS, on peut trouver 5 000 ouvrages dont 40 % de romans ;
  • à la médiathèque George SAND, on peut trouver 4 000 ouvrages dont 60 % de romans.
Calculer le pourcentage de romans au sein du service culturel de la ville.
1. Pourquoi cet exercice s'inscrit-il dans une séquence d'apprentissage traitant de la proportionnalité ?
2. 
Après une phase de recherche individuelle, l'enseignant organise une phase de mise en commun.
Paul dit : « J'ai trouvé 50 % parce que c'est exactement entre 40 % et 60 % ».
a) Quelle erreur de raisonnement Paul commet-il ?
b) Par quel nombre faudrait-il remplacer 5 000 pour que 50 % soit la bonne réponse ?
Justifier la réponse.

Corrigé

Première partie
A. La montée à la station
1. 
Inclinaison de la route
Remarque
Reprenons le schéma proposé par l'énoncé en nommant ABC le triangle rectangle en B ; AC étant par conséquent l'hypoténuse, qui modélise la route.
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a :
\mathrm{tan}\,\alpha=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}, d'où \alpha=\mathrm{tan}^{-1}(\frac{1}{4})\approx 14°
2. 
Longueur du tronçon
L'angle α étant toujours le même – puisque la pente est la même – on considère cette fois-ci que BC = 145 m et on souhaite calculer AC.
1re méthode
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a :
\mathrm{tan}\,\alpha=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{145}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4}, d'où AB = 4 × 145 = 580 m.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC, rectangle en B, on a AB2 + BC2 = AC2 d'où AC2 = 1452 + 5802 = 357 425 et donc : AC = \sqrt{357425}\approx 598 m.
2nde méthode
Dans le triangle ABC, rectangle en B, on a :
\mathrm{sin}\,\alpha=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{145}{\mathrm{AC}}, d'où AC = \frac{145}{\mathrm{sin}\,\alpha}=\frac{145}{\mathrm{sin}(\mathrm{tan}^-1(\frac{1}{4}))}\approx 598 m.
B. Ski sur la Streif
1. 
Vitesse moyenne d'Albert
La vitesse moyenne est le rapport de la distance parcourue d par la durée du parcours t.
On a ici : d = 3 312 m et t = 15 h 03 min 08 s − 14 h 58 min 47 s = 4 min 21 s = 261 s .
La vitesse d'Albert est donc V\frac{3312}{261} m/s = \frac{3,312\times3600}{261} km/h \approx 45,7 km/h.
2. 
Avance prise par le meilleur skieur
Pour trouver l'avance qu'aurait prise le meilleur skieur, nous allons calculer son temps de parcourt. À la vitesse de 100 km/h, le meilleur skieur parcourt 100 000 m en 36 000 s. Il mettra donc : \frac{3600\times3312}{100000} = 119,232 s à dévaler la pente. Albert ayant mis, comme nous l'avons vu à la question précédente, 261 s, le meilleur skieur aura une avance de : 261 − 119,232 = 141, 768 s, soit environ 2 min 21,8 s.
C. Saut sur La Streif
1. 
Calcul de S(10) – Interprétation
La hauteur du saut en fonction du déplacement horizontal x est donnée par la formule : S(x) = 2,5 − \frac{(2x-55)^{2}}{1210}.
Si x = 10, on a donc : S(x) = 2,5 − \frac{(2\times10-55)^{2}}{1210}=2,5-\frac{1225}{1210}\approx 1,49 m.
Ainsi, lors de son saut, lorsqu'Albert aura effectué un déplacement horizontal de 10 m, il sera à une altitude de 1,49 m par rapport au sol de la piste.
2. 
Étude graphique
Remarque
Aucune justification n'est demandée ici.
a) Interprétation de la valeur 55 en abscisse
La valeur 55 en abscisse représente, pour Albert, le moment de la réception de son saut.
b) Hauteur maximale du saut d'Albert ; déplacement horizontal correspondant
La hauteur maximale d'Albert semble être de 2,5 mètres. Cette valeur correspond à un déplacement horizontal de 27,5 mètres.
3. 
Calcul de la hauteur maximale du saut
La hauteur du saut en fonction du déplacement horizontal x est donné par la formule : S(x) = 2,5 − \frac{(2x-55)^{2}}{1210}.
On observe que cette fonction de x est maximale lorsque \frac{(2x-55)^{2}}{1210} est nul, ce qui est possible et se réalise lorsque 2x − 55 = 0, soit x = 27,5.
On a alors S(x) = 2,5.
D. Tir à la carabine
1. 
Probabilité d'atteindre la couronne extérieure
Notons p1 la probabilité d'atteindre la couronne extérieure lorsqu'on atteint la cible.
On a : p1\frac{aire\,de\,la\,couronne\,extérieure}{aire\,totale\,de\,la\,cible}=\frac{\pi (15^{2}-10^{2})}{\pi 15^{2}}=\frac{125}{225}=\frac{5}{9}.
Sachant que le tireur débutant a atteint la cible, la probabilité que ce soit dans la couronne extérieure est donc : \frac{5}{9}.
2. 
Probabilité d'atteindre le cœur de cible
Notons p2 la probabilité d'atteindre le cœur de cible lorsqu'on atteint la cible.
On a : p2\frac{aire\,du\,disque\,central}{aire\,totale\,de\,la\,cible}=\frac{\pi 5^{2}}{\pi 15^{2}}=\frac{25}{225}=\frac{1}{9}.
Au moment de tirer, la probabilité de toucher la cible, pour le débutant, est de 1/2.
La probabilité de toucher la cible et de l'atteindre en son cœur est donc de : 1/2 p2\frac{1}{18}.
Deuxième partie
Exercice 1
1. 
Opération mathématique sous-jacente
Ce problème relève de la division euclidienne (par 5).
2. 
Trois procédures possibles de résolution
Remarque
On demande au candidat de citer trois procédures pour répondre à la question posée alors que le problème soumis aux élèves en comporte deux….l'une portant sur le quotient de la division (quotition) et l'autre sur le complément à 5 du reste. Les procédures d'obtention du quotient et du reste sont variables ; l'interprétation des résultats étant toujours la même.
1re procédure
On pose la division euclidienne de 83 par 5, on obtient : 83 = 16 × 5 + 3.
On interprète le résultat en observant que Mathis a effeuillé complètement 16 fleurs, qu'il va effeuiller 3 pétales d'une fleur supplémentaire, sur laquelle il restera donc 2 pétales.
2e procédure
On décompose 83 en 8 dizaines et 3 unités, puis on observe que 2 fleurs entièrement effeuillées correspondent à 10 pétales. 8 dizaines de pétales correspondent donc à 2 × 8 = 16 fleurs complètement effeuillées ; les trois pétales restant à arracher laisseront 2 pétales sur la dernière fleur effeuillée.
3e procédure
On compte de cinq en cinq jusqu'à 80, en gardant en mémoire (sous forme de bâtons tracés sur une feuille, par exemple) le nombre de « sauts ». On observe que l'on a ajouté 16 termes 5 pour arriver à 83, puis qu'il reste 3 pour arriver à 83, ce que l'on interprète comme ci-dessus.
Exercice 2
1. 
Nombre de bonbons d'Emma
1re méthode
Soit N le nombre cherché. Comme N < 100, on en déduit que N s'écrit avec deux chiffres, soit : N\bar{du}, avec 0 inférieur ou égal u inférieur ou égal 9 et 0 inférieur ou égal d inférieur ou égal 9.
  • Si Emma regroupe les bonbons par deux, il en reste un : on en déduit que N est impair, donc : u \in \lbrace1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9\rbrace (1) ;
  • Si Emma regroupe les bonbons par trois, il en reste un : on en déduit que la somme des chiffres de N est égale à un multiple de trois, plus un, donc ud \in \lbrace1 ; 4 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19\rbrace (2) ;
  • Si Emma regroupe les bonbons par quatre, il en reste un ; on en déduit que : \bar{du} \in \lbrace01 ; 05 ; 09 ; 13 ; 17 ; 21 ; 25 ; 29 ; 33 ; 37 ; 41 ; … ; 97\rbrace (3) ;
Remarque
Un nombre est multiple de 4 si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres est multiple de 4.
  • Si Emma regroupe les bonbons par cinq, il en reste un : on en déduit que u \in \lbrace1 ; 6\rbrace (4) ;
  • Si Emma regroupe les bonbons par six, il en reste un : on en déduit que N égal à un multiple de 6, plus un (5).
Les indications (1) et (4) permettent de conclure que u = 1.
On en déduit ensuite, en utilisant l'indication (2), que d \in \lbrace0 ; 3 ; 6 ; 9\rbrace. Le cas d = 0 conduit à N = 1, qui est mathématiquement possible, mais de peu de sens au vu du problème posé. On a donc d \in \lbrace3 ; 6 ; 9\rbrace.
Si d = 3, alors N = 31, ce qui est incompatible avec l'indication (3).
Si d = 6, alors N = 61, ce qui est compatible avec l'indication (3) et l'indication (4) ; 61 est donc solution.
Si d = 9, alors N = 91, ce qui est incompatible avec l'indication (3).
Conclusion : la seule solution est 61. Emma a 61 bonbons.
2e méthode (plus rapide)
Si en regroupant les bonbons par 2, 3, 4, 5 ou 6, il en reste toujours un, cela signifie qu'un retirant un bonbon du total, on obtient un multiple commun à : 2, 3, 4, 5 et 6.
2, 3 et 5 sont premiers et 4 = 2 × 2 et 6 = 2 × 3, le plus petit multiple commun à 2, 3, 4, 5 et 6 est donc : 2 × 3 × 2 × 5 = 60.
Emma a donc : 60 + 1 = 61 bonbons.
2. 
Utilisation du tableur
a) 
Formule à insérer en cellule B2
= MOD(A2 ; B$1)
Remarque
Par copie vers le bas, le numéro de ligne en colonne A va être incrémenté de 1 ; le numéro de ligne de la colonne B doit rester « 1 », ce pourquoi on fait précéder ce numéro du signe « $ », qui en bloque l'incrémentation.
b) 
Résolution du problème
Le tableau fourni les restes des nombres en colonne A par la division euclidienne par 2, 3, 4, 5 et 6.
Pour trouver la solution à l'aide du tableau, Jules doit chercher une ligne dans laquelle les colonnes B, C, D, E et F comporteront le chiffre « 1 » ; la lecture de la cellule correspondante en colonne A lui fournira la solution.
Exercice 3
1. 
Test et conjecture
52 − 42 − 32 + 22 = 25 − 16 − 9 + 4 = 4.
On conjecture que pour tout entier n, on a (n + 3)2 − (n + 2)2 − (n + 1)2n = 4.
2. 
Preuve
(n + 3)2 − (n + 2)2 − (n + 1)2n = (n2 + 6n + 9) − (n2 + 4n + 4) − (n2 + 2n + 1) + n2n2 + 6n + 9 − n2 − 4n − 4 − n2 − 2n − 1 + n2n2 − n2 − n2n2 + 6n − 4n − 2n + 9 − 4 − 1 = 4.
La conjecture est vérifiée.
Exercice 4
1. 
IJKL est un carré
Remarque
Nous donnons deux raisonnements possibles, mais il y en a d'autres.
1re méthode
Dans le triangle ABC, nous savons que :
  • I est le milieu du segment [AB] (I = m[AB]) ;
  • J est le milieu du segment [BC] (J = m[BC]).
D'après la propriété de la droite des milieux, on en déduit que : (IJ) // (AC) et que : IJ = \frac{1}{2} AC.
De même, dans le triangle ACD, comme K = m[CD] et L = m[DA], on déduit avec la propriété de la droite des milieux, que (KL) // (AC) et KL = \frac{1}{2} AC.
On a finalement : (IJ) // (KL) ( // (AC)) et IJ = KL (=\frac{1}{2} AC) ; on peut déjà en déduire que IJKL est un parallélogramme, car ce quadrilatère à deux côtés parallèles et de même longueur.
Par ailleurs, dans le triangle ABD, comme I = m[AB] et L = m[DA], on déduit avec la propriété de la droite des milieux, que (IL) // (BD) et IL = \frac{1}{2} BD.
Or, ABCDEFGH étant un cube, toutes ses faces sont carrées, en particulier : ABCD est un carré.
Dans un carré, les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires, donc : (BD) \perp (AC) et BD = AC.
Comme IJ = \frac{1}{2}AC et LI = \frac{1}{2}BD, on en déduit que : IJ = LI ; et comme (IJ) // (AC) et (LI)//(BD), on en déduit que (IJ) \perp (LI).
Le parallélogramme IJKL a deux côtés adjacents de même longueur : c'est donc un losange ; le losange IJKL a un angle droit : c'est donc un carré.
2e méthode
ABCDEFGH étant un cube, toutes ses faces sont carrées, en particulier : ABCD est un carré.
Par conséquent : AB = BC = CD = DA et : \widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{BCD}}=\widehat{\mathrm{CDA}} = 90°. Comme I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA], on en déduit aussi que : AI = IB = BJ = JC = CK = KD = DL = LA.
Les triangles IBJ, JCK, KDL, LAI sont donc tous rectangles et ont deux côtés de même mesure, ils sont donc isométriques (superposables) et par conséquent IJ = JK = KL = LI. On peut déjà en déduire que IJKL est un losange, puisque ses quatre côtés sont de même longueur.
D'autre part, comme A, I et B sont alignés on a : \widehat{\mathrm{AIB}} = 180°, d'où : \widehat{\mathrm{AIL}}+\widehat{\mathrm{LIJ}}+\widehat{\mathrm{JIB}} = 180°.
Les triangles AIL et IBJ étant rectangles et isocèles, on a : \widehat{\mathrm{AIL}}=\widehat{\mathrm{BIJ}} = 45° d'où : 45 + \widehat{\mathrm{LIJ}} + 45 = 180 et donc : \widehat{\mathrm{LIJ}} = 90°.
Le losange IJKL a un angle droit ; c'est donc un carré.
2. 
Calcul de l'aire de IJKL
L'aire du carré IJKL est : A = IJ2 or nous avons vu plus haut que IJ = \frac{1}{2} AC d'où A\frac{1}{4} AC2.
Comme ABCD est un carré, la longueur de la diagonale AC vaut \sqrt{2}AB, d'où finalement :
A\frac{1}{4} × 2AB2 = 144 \div 2 = 72 cm2.
Remarque
Si le candidat ne connaît pas la formule liant la longueur de la diagonale à celle du côté d'un carré, il peut établir le résultat en utilisant le théorème de Pythagore, ici, dans le triangle ABC, rectangle en B.
3. 
Calcul du volume de la pyramide AILM
On considère que la base de la pyramide AILM est le triangle rectangle isocèle ALM ; la hauteur correspondante est alors AI ; le volume de la pyramide est alors :
V =\frac{1}{3}\times aire de la base ×  hauteur = \frac{1}{3}\times\frac{\mathrm{AL}\times \mathrm{AM}}{2}\times \mathrm{AI}=\frac{6^{3}}{6} = 36 cm3 car AI = AL = AM = 6.
Remarque
Dans le cas de l'utilisation d'une formule connue – ici rappelée dans l'énoncé – il convient de rappeler la formule générale, puis de la contextualiser et enfin de remplacer par les données numériques connues.
4. 
Calcul du volume du solide après retrait de huit pyramides
Le solide obtenu aura un volume égal au volume du cube ABCDEFGH, moins huit fois le volume calculé à la question précédente, soit 123 − 8 × 36 = 1 728 − 288 = 1 440 cm3.
Troisième partie
A.
1. La situation sera sans ambiguïté une situation de proportionnalité s'il est explicite que le prix d'entrée est le même pour tous.
On peut ainsi compléter l'énoncé par la phrase : « Les élèves paient tous le même prix pour entrer. »
2. A contrario, la situation ne sera pas une situation de proportionnalité entre nombre d'entrées et prix unitaire si l'on introduit une réduction à partir d'un certain nombre d'entrées. On peut ainsi compléter l'énoncé par exemple par la phrase : « Au delà de trente entrées achetées, la caisse offre une remise de 10 %. »
B.
1. L'exemple 1 illustre la propriété suivante :
Si deux suites de nombres sont proportionnelles, alors on passe d'un nombre de la première suite à son correspondant de la deuxième suite en multipliant par un même nombre (appelé coefficient de proportionnalité).
2. L'exemple 2 illustre la propriété de linéarité multiplicative, aussi appelée propriété d'homogénéité dans les programmes de collège.
3. Sens de l'expression « rapport de nombres ».
Dans l'exemple 1, le « rapport entre les nombres » est le coefficient de proportionnalité, qui correspond ici à un prix unitaire. Ce rapport permet de passer d'un nombre de la première suite de nombres à son correspondant dans la seconde suite. Si on se place dans le cadre des tableaux, ce rapport permet de passer d'une ligne à l'autre, en restant dans la même colonne.
Dans l'exemple 2, le « rapport entre les nombres » est un rapport scalaire du type « x fois plus » dans la même suite de nombres. Ce rapport permet de passer d'un nombre de la seconde suite de nombres à un autre de cette même suite, après avoir observé le lien arithmétique entre les correspondants de ces deux nombres dans la première suite. Si on se place dans le cadre des tableaux, ce rapport permet de passer d'une colonne à l'autre, en restant dans la même ligne.
4. Analyse de l'exemple 3
La propriété utilisée dans le traitement de l'exemple 3 est à nouveau la linéarité multiplicative : 3 (6) stylos devraient coûter 3 (6) fois plus cher qu'un stylo.
On pourrait également mobiliser la linéarité additive, on observant que le prix de (3 + 3) stylos, soit 6 stylos, devrait être égal au prix de 3 stylos, plus le prix de 3 stylos.
C.
Analyse des productions des élèves, au vu des propriétés mathématiques mobilisées.
Auriane calcule la valeur unitaire (quantité d'œuf pour une personne) en posant une division, dont elle trouve le quotient décimal. Elle multiplie ce quotient par le nombre de personnes sur lequel porte la question et trouve le résultat. Elle applique donc une règle de trois, en mobilisant la propriété illustrée dans l'exemple 1 de la question B.
Emeric observe, en écrivant l'opération en ligne, que 20 personnes correspondent à « 8 personnes plus 12 personnes » ; il additionne ensuite en ligne le nombre d'œufs correspondant et trouve le résultat attendu. Il mobilise la propriété de linéarité additive.
Nicolas observe, tout comme Émeric, en écrivant l'opération en ligne, que 20 personnes correspondent à « 8 personnes plus 12 personnes » ; il en déduit que pour 20 personnes, il faut 12 œufs de plus que pour 8 personnes, en écrivant l'addition correspondante en ligne.
Il mobilise une propriété – fausse dans le cas de la proportionnalité – qui voudrait que si on ajoute x à un nombre de la première suite de nombres, il faut ajouter x au nombre correspondant de la deuxième suite de nombre.
Kévin observe les relations arithmétiques (donc multiplicatives) entre le nombre de personnes et les transpose au nombre d'œufs. Il utilise ensuite la commutativité entre les facteurs – diviser par 8 puis multiplier par 20 revient à multiplier par 20 puis diviser par 8 – et pose les opérations correspondantes ( 6 × 20 et 120 \div 8) pour trouver le résultat attendu.
Il mobilise la linéarité multiplicative.
D.
1. 
Cet exercice relève de la proportionnalité car le rapport entre le nombre de romans et le nombre total d'ouvrage est égal au pourcentage de romans.
Par ailleurs, les programmes officiels indiquent, dans le tableau de proposition de progressivité des apprentissages, que : « (les élèves doivent) résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages (…) ».
Cet exercice s'inscrit donc dans une séquence d'apprentissage traitant de la proportionnalité.
Remarque
La question posée doit être considérée sous deux aspects : celui de la notion – s'agit-il bien de la notion de proportionnalité, à l'œuvre dans l'exercice – et celui de la conformité aux programmes, puisqu'il est question d'une « séquence d'apprentissage ».
2. 
a) 
Erreur de raisonnement de Paul
L'erreur de raisonnement de Paul consiste à considérer que, puisque l'on « met ensemble » les livres des deux médiathèques, la part de romans sera la moyenne de la part (le pourcentage) de romans au sein de chacune des médiathèques.
Or, pour trouver la réponse attendue, il fallait tout d'abord calculer le nombre de romans dans chacune des deux médiathèques : 40 % de 5 000, soit 2 000 et 60 % de 4 000, soit 2 400, et en déduire le pourcentage de romans au sein du service culturel, soit : \frac{2000+2400}{5000+4000}=\frac{22}{45}\approx 49 %.
b) 
Valeur à choisir pour que 50 % soit la bonne réponse
Il y a au total dans le service culturel 4000 + x, x étant le nombre d'ouvrages de la médiathèque Jean Jaurès. On souhaite que 50 % soit la bonne réponse.
Donc le nombre de romans de la médiathèque Georges Sand, plus le nombre de romans de la médiathèque Jean Jaurès, divisés par le nombre total d'ouvrage = \frac{2400+0,4x}{4000+x}=\frac{1}{2}.
Soit 2400 + 0,4 x = 0,5 x + 2000, c'est-à-dire x = 4000.
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