Épreuve d'admissibilité, avril 2014, groupement académique 3

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Sujet

Première partie (13 points)
Ce problème est composé de trois parties indépendantes.
A. Optimisation du volume d'un moule
On fabrique un moule de pâtisserie (sans couvercle) dans une plaque de métal carrée de côté 10 cm en découpant un petit carré dans chaque coin puis en pliant comme suit :
1. 
Parmi les quatre graphiques ci-dessous, quel est celui qui représente le volume du moule (en cm3) obtenu en fonction de la longueur des côtés des carrés découpés (en cm) ? Justifier.
Zoom
Graphique 1
Graphique 1
Zoom
Graphique 2
Graphique 2
Zoom
Graphique 3
Graphique 3
Zoom
Graphique 4
Graphique 4
2. Par lecture graphique, encadrer par deux entiers consécutifs la longueur du côté qui permet d'obtenir le volume maximal.
B. Optimisation de la disposition des moules sur les plaques de cuisson
Les moules finalement choisis ont une forme de pavé droit de base carrée de côté 7 cm et de hauteur 1,5 cm.
Un four professionnel est composé de quatre plaques de cuisson rectangulaires de 40 cm par 70 cm. Le pâtissier veut disposer ses moules en lignes et en colonnes comme sur la figure ci-contre en laissant au moins 1 cm entre deux moules et au moins 1 cm entre les moules et le bord des plaques.
Combien de moules pourra-t-il placer sur une plaque ? Justifier.
C. Optimisation du coût du chocolat
Un particulier a prévu de recevoir dix-sept personnes et veut faire une ganache au chocolat. Le pâtissier lui a donné sa recette. Voici la liste des ingrédients pour quatre personnes : « 25 cL de crème fraîche épaisse, 1 cuillère à soupe de sucre, 50 g de beurre et 200 g de chocolat ».
1. Quelle masse de chocolat doit-il prévoir pour sa réception ?
2. 
Il a relevé les informations suivantes chez un commerçant :
Tablette
Chocolat Dégustation
Chocolat Saveur
Chocolat Pâtissier
Chocolat Intense
Chocolat À cuisiner
Prix d'une tablette (en €)
2,10
2,80
2,62
1,36
2,81
Quantité par tablette (en g)
150
200
200
100
200

a) Quel type de tablettes de chocolat doit-il acheter s'il veut dépenser le moins possible en achetant un seul type de tablettes ? Justifier.
b) Chez le commerçant, les tablettes de type « Chocolat Dégustation » sont en promotion avec une réduction du prix de 5%. Choisir ces tablettes devient-il plus avantageux ? Justifier.
Deuxième partie
Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Dans cet exercice, cinq affirmations sont proposées.
Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse fausse n'enlève pas de point.
1. Affirmation 1 : Plus l'aire d'un rectangle est grande, plus son périmètre est grand.
2. Pour remplir un cube de 1 m d'arête, il faut exactement 40 sacs de ciment.
Affirmation 2 : Il faut exactement 5 sacs pour remplir un cube de 50 cm d'arête.
3. A et B sont deux nombres entiers strictement inférieurs à 100 dont les écritures à deux chiffres utilisent les mêmes chiffres dans l'ordre inverse.
Comme, par exemple, 21 et 12 ou bien 40 et 04.
Affirmation 3 : Le nombre A + B est divisible par 11.
4. La masse d'un ourson baisse de 30 % pendant l'hiver puis elle augmente de 30 % au printemps.
Affirmation 4 : Finalement, à la fin du printemps, l'ourson a retrouvé la masse qu'il avait en début d'hiver.
5. 
Un verre est assimilé à un cône de révolution.
Il est rempli à mi-hauteur.
Affirmation 5 : Le volume du liquide représente le quart du volume total du verre.
Exercice 2
Voici la formule de l'énergie cinétique d'un objet :
\mathrm{E_{c}}\,=\,\frac{1}{2}\,{\times}\,\mathrm{m}\,{\times}\,\mathrm{v^{2}}
dans laquelle
  • Ec désigne l'énergie cinétique en joule (J) ;
  • m désigne la masse de l'objet en kilogramme (kg) ;
  • v désigne la vitesse de l'objet en mètre par seconde (m/s).
1. Calculer l'énergie cinétique en joule pour un camion d'une tonne qui roule à une vitesse de 100 km/h.
2. L'énergie cinétique est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier.
Exercice 3
1. On suppose qu'un nouveau-né sur deux est un garçon.
Calculer la probabilité d'avoir deux garçons dans une famille ayant deux enfants.
2. 
Une étude statistique de suivi des naissances a été menée dans une ville. On en a extrait le document suivant. Quels liens peut-on faire entre ce graphique et la réponse obtenue à la question 1. ?
Exercice 4
Le triathlon olympique est une discipline sportive qui consiste à enchaîner trois épreuves :
  • 1e épreuve : 1,5 km de natation,
  • 2e épreuve : 40 km de cyclisme,
  • 3e épreuve : 10 km de course à pied.
Un entraineur de club a récapitulé les performances de ses athlètes lors d'une compétition dans la feuille de calcul ci-dessous.
1. 
a) Quelle formule peut-il avoir saisie dans la cellule E9 et étirée jusqu'en El3 ?
b) Quelle formule peut-il avoir saisie dans la cellule B14 et étirée jusqu'en D14 ?
2. Quelle est la vitesse moyenne, en km/h, de l'athlète 1 sur l'ensemble des trois épreuves ?
Troisième partie (14 points)
Analyse d'exercices proposés à des élèves et de productions d'élèves relevant de la maîtrise de la multiplication (sens et technique opératoire)
A. En Cycle 2
Dans cette partie, on considère une classe de CE1 dont tous les élèves connaissent les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5.
L'enseignant souhaite proposer les deux exercices ci-dessous et il s'interroge sur les valeurs numériques à choisir pour compléter les énoncés.
Énoncé 1. Le goûter
? enfants sont réunis pour goûter. Chaque enfant reçoit 4 bonbons.
Combien de bonbons a-t-on donnés ?
Énoncé 2. Les aimants
Une maîtresse veut afficher des images dans la classe. Elle dispose de 36 aimants.
Elle a besoin de ? aimants pour chaque image.
Quel est le plus grand nombre d'images qu'elle peut afficher ?
1. L'enseignant propose l'énoncé 1 dans un premier temps complété par « 3 enfants » puis dans un second temps complété par « 23 enfants ».
Indiquer en quoi ces deux choix sont susceptibles d'induire des procédures différentes chez les élèves.
2. L'enseignant propose l'énoncé 2 dans un premier temps complété par « 4 aimants » puis dans un second temps complété par « 3 aimants ».
Indiquer en quoi ces deux choix sont susceptibles d'induire des procédures différentes chez les élèves.
B. En cycle 3
Un enseignant de Cycle 3 a donné le problème ci-dessous à ses élèves.
Un entrepreneur doit expédier 27 colis à un client. Il a deux possibilités pour faire livrer les colis :
  • par bateau, en mettant tous les colis dans un container ;
  • par la route, en mettant tous les colis dans un camion.
Le prix du transport d'un container par bateau est 420 euros, mais l'entrepreneur sait que, s'il utilise ce mode de transport, alors il pourra partager pour moitié le coût de 420 euros avec un autre entrepreneur.
Le prix du transport par camion est de 8 euros par colis.
Quel mode de livraison sera le plus économique ?
Voici les travaux de trois élèves :
1. 
Étude de la production de Lucie
Quelle(s) propriété(s) des opérations utilise-t-elle implicitement ?
2. 
Étude de la production d'Adèle
a) Indiquer trois connaissances et compétences correctement réinvesties dans le domaine de la résolution de problème ou dans celui de « nombres et calcul ».
b) Indiquer les erreurs commises.
3. 
Étude de la production de Noémie
a) Indiquer trois connaissances et compétences correctement réinvesties dans le domaine de la résolution de problème ou dans celui de « nombres et calcul ».
b) Indiquer les erreurs commises.
C. « Per Gelosia »
Un maître propose à ses élèves la pratique de l'algorithme de multiplication « Per Gelosia » pour le calcul de 32 × 45. Il utilise la fiche de préparation suivante :
1. Retrouver le résultat par un calcul en ligne du produit 32 × 45 utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.
2. Expliquer pourquoi l'algorithme « Per Gelosia » garantit que le chiffre des unités de la somme 8+1+5 est le chiffre des dizaines du produit 32 × 45.
3. Comment obtient-on le nombre des centaines du produit 32 × 45 dans le cadre de l'algorithme « Per Gelosia » ? Justifier.
4. En utilisant l'algorithme « Per Gelosia », poser et calculer 642 × 475.

Corrigé

Première partie
A. Optimisation du volume d'un moule
1. 
Graphique représentant le volume du moule
Soit x la longueur du côté des petits carrés découpés dans les coins de la plaque.
Le moule a une base carrée de côté 10 − 2x et une hauteur x.
La plaque étant un carré de 10 cm de côté, on sait que :
  • inférieur ou égal x inférieur ou égal 5, ce qui permet d'éliminer les graphiques 1 et 3, pour lesquels x varie entre 0 et 10 ;
  • le volume du moule est : x (10 − 2x)2 ; pour x = 1, le volume vaut : 82 = 64. Le point de coordonnées (1 ; 64) n'appartient clairement pas à la courbe tracée au graphique 4, mais peut appartenir à la courbe tracée au graphique 2 (la précision de lecture ne permet pas d'être catégorique).
  • Comme l'un des graphiques proposé doit représenter le volume en fonction de la longueur x, ce ne peut être que le graphique 2.
2. 
Encadrement de la longueur permettant d'obtenir le volume maximal
Remarque
Aucune justification n'est demandée ici.
La lecture du graphique 2 permet d'affirmer que le volume du moule est maximal lorsque :
inférieur ou égal x inférieur ou égal 2.
B. Optimisation de la disposition des moules sur les plaques de cuisson
Remarque
On observe qu'il faut toujours prévoir autant d'intervalles de un centimètre que de moules alignés, plus un, que ce soit en longueur ou en largeur.
1re méthode : essais
Pour aligner 3 moules, il faut disposer de 7 × 3 cm, plus 4 espaces de un centimètre, soit : 25 cm ;
Pour aligner 4 moules, il faut disposer de 7 × 4 cm, plus 5 espaces de un centimètre, soit : 33 cm ;
pour aligner 5 moules, il faut disposer de 7 × 5 cm, plus 6 espaces de un centimètre, soit : 41 cm ;
pour aligner 6 moules, il faut disposer de 7 × 6 cm, plus 7 espaces de un centimètre, soit : 49 cm ;
pour aligner 7 moules, il faut disposer de 7 × 7 cm, plus 8 espaces de un centimètre, soit : 57 cm ;
pour aligner 8 moules, il faut disposer de 7 × 8 cm, plus 9 espaces de un centimètre, soit : 65 cm ;
pour aligner 9 moules, il faut disposer de 7 × 9 cm, plus 10 espaces de un centimètre, soit : 73 cm.
Sur une plaque de largeur 40 cm et de longueur 70 cm, on pourra donc aligner au maximum 4 moules dans la largeur et 8 moules dans la longueur, ce qui permet de disposer 32 moules.
2e méthode : algébrique
Soit x le nombre de moules alignés en largeur et y le nombre de moules alignés en longueur.
On veut avoir : \left \lbrace \begin{array}{l} 0 \le 1 + x(7+1) \le 40 \\ 0 \le 1 + y(7+1) \le 70 \end{array} \right. soit : \left \lbrace \begin{array}{l} -1 \le 8x \le 39 \\ -1 \le 8y \le 69 \end{array} \right. et donc : \left \lbrace \begin{array}{l} \frac{-1}{8} \le x \le \frac{39}{8} \\ \frac{-1}{8} \le y \le \frac{69}{8} \end{array} \right.
Comme x et y doivent être entiers et le plus grands possible, on a : x[\frac{39}{8}] = 4 et y[\frac{69}{8}] = 8 ; [n] désignant la partie entière de n.
Remarque
Il existe plusieurs notations pour la fonction « partie entière », nous avons utilisé la plus courante, mais la fonction est parfois aussi notée E(…) ou : \lfloor\rfloor, qui est la notation anglo-saxonne. Le mieux est de rappeler la notation utilisée.
Conclusion : Sur une plaque de largeur 40 cm et de longueur 70 cm, on pourra donc aligner au maximum 4 moules dans le largeur et 8 moules dans la longueur, ce qui permet de disposer 32 moules.
C. Optimisation du coût du chocolat
1. 
Masse de chocolat à prévoir
La masse de chocolat est proportionnelle au nombre de personnes.
Il faut prévoir 200 g de chocolat pour 4 personnes, donc quatre fois moins pour une personne, soit 50 g.
17 ×50 = 850.
Il faut donc prévoir 850 g de chocolat pour 17 personnes.
2. 
a) 
Choix du type de tablettes pour un coût minimal
À masse égale (200 g), les chocolat « saveur » et « à cuisiner » sont plus chers que le chocolat « Pâtissier », on peut donc les exclure de la recherche du chocolat le moins cher.
Les chocolats « Dégustation », « Pâtissier » et « Intense » sont conditionnés en tablettes de respectivement 150, 200 et 100 g.
Pour avoir 850 g de chocolat il faut donc :
  • dans le cas du chocolat « Dégustation » acheter 6 tablettes (correspondant à 900 g) et dépenser : 6 × 2,10 = 12,60 € ;
  • dans le cas du chocolat « Pâtissier » acheter 5 tablettes (correspondant à 1 000 g) et dépenser : 5 × 2,62 = 13,10 € ;
  • dans le cas du chocolat « Intense » acheter 9 tablettes (correspondant à 900 g) et dépenser : 9  × 1,36 = 12,24 €.
C'est le chocolat « Intense » qui est le moins cher.
b) 
Étude de l'intérêt de la promotion
Avec une promotion de 5 %, le prix des 6 tablettes de chocolat « Dégustation » devient : 12,60 × 0,95 = 11,97 %.
Choisir ce chocolat devient plus avantageux.
Deuxième partie
Exercice 1
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. 
Plus l'aire d'un rectangle est grande, plus son périmètre est grand.
Un carré de 6 cm de côté a une aire de 36 cm2 et un périmètre de 24 cm.
Un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 5cm a une aire de 35 cm2 et un périmètre de 24 cm.
Le carré a une aire plus grande, mais son périmètre n'est pas plus grand.
L'affirmation 1 est fausse.
2. 
Il faut exactement 5 sacs pour remplir un cube de 50 cm d'arête.
Un cube d'arête 1 m a un volume de 1 m3. Un cube d'arête 50 cm, soit 0,5 m, a un volume de 0,53 = 0,125 m3. Comme 0,125 = 1/8, il faut 8 fois moins de ciment pour remplir le cube d'arête 50 cm que pour emplir le cube d'arête 1 m.
Or, pour remplir le cube d'arête 1 m, il faut 40 sacs de ciment ; il faut donc 40 \div 8 = 5 sacs de ciment pour remplir le cube d'arête 50 cm.
L'affirmation 2 est vraie.
3. 
Le nombre A + B est divisible par 11.
Remarque
Il faut se placer dans le cas général ; quelques tests sur des exemples semblent indiquer que l'affirmation est vraie.
Supposons que \bar{du} soit l'écriture canonique du nombre A, avec : 0 inférieur ou égal u inférieur ou égal 9 et 1 inférieur ou égal d inférieur ou égal 9.
Remarque
Comme A doit s'écrire avec deux chiffres, d ne peut être nul.
L'écriture canonique de B est alors : \bar{ud} avec, de plus, u \ne 0 car B doit s'écrire avec deux chiffres.
On a alors : A + B = \bar{du}+>\bar{ud} = 10d + u + 10u + d = 11d + 11u = 11(d + u).
A + B est donc un multiple de 11.
L'affirmation 3 est vraie.
4. 
Finalement, à la fin du printemps, l'ourson a retrouvé la masse qu'il avait en début d'hiver.
Appliquer une baisse de 30 % à un nombre revient à multiplier celui-ci par 0,7 ; appliquer une hausse de 30 % à un nombre revient à le multiplier par 1,3.
Si donc la masse de l'ourson a successivement diminué de 30 %, puis augmenté de 30 %, cela signifie qu'elle a été multipliée par 0,7 puis par 1,3 c'est à dire par 0,7 × 1,3 = 0,91.
À la fin du printemps, la masse de l'ourson est égale à 0,91 fois sa masse avant l'hiver ; elle a donc diminué de 9 %.
L'affirmation 4 est fausse.
5. 
Le volume du liquide représente le quart du volume total du verre.
Si le verre, de forme conique, est rempli à mi-hauteur, la partie occupée par le liquide est un cône, qui est une réduction du cône complet de rapport \frac{1}{2}.
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k, les aires sont multipliées par k2 et les volumes par k3. Le volume occupé par le liquide est donc égal à (\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8} du volume total.
L'affirmation 5 est fausse.
Exercice 2
1. 
Calcul de l'énergie cinétique d'un camion d'une tonne roulant à une vitesse de 100 km/h
Remarque
Des connaissances en physique ne sont pas requises : il s'agit ici d'appliquer une formule fournie, en veillant aux unités de mesure imposées.
E_{c}=\frac{1}{2}\times m \times v^{2}
Lorsque m = 1t = 1 000 kg et v = 100 km/h = 100 000 m/h = \frac{100000}{3600} m/s = \frac{250}{9} m/s, on a :
E_{c}=\frac{1}{2}\times 1000 \times (\frac{250}{9})^{2}=\frac{31250000}{81}\approx 385 802 J.
2. 
L'énergie cinétique est-elle proportionnelle à la vitesse ?
L'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse si et seulement si elle est une fonction linéaire de la vitesse, donc de la forme : a × v, a étant une constante.
Or l'énergie cinétique s'exprime en fonction du carré de la vitesse, elle n'est donc pas proportionnelle à cette dernière.
Remarque
On peut aussi argumenter en calculant l'énergie cinétique pour deux vitesses données et en vérifiant par le calcul que les rapports entre les vitesses et les énergies cinétiques correspondantes ne sont pas égaux.
Exercice 3
1. 
Probabilité d'avoir deux garçons pour une famille de deux enfants
La probabilité d'avoir un garçon étant supposée égale à \frac{1}{2} à chaque naissance, la probabilité d'avoir successivement deux garçons dans une famille de deux enfants est : \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
2. 
Lien avec le graphique des fréquences
On observe que si l'on relève suffisamment de données statistiques, la fréquence observée des familles de deux enfants ayant deux garçons s'approche (tend vers) la probabilité (théorique) calculée de cette issue.
Exercice 4
1. 
a) 
Formule à saisir dans la cellule E9
« = B9 + C9 + D 9 » ou « = SOMME (B9 : D9) »
Remarque
En recopiant la formule vers le bas dans la colonne E, le numéro des lignes va être incrémenté de 1 à chaque changement de ligne.
Si on utilise la fonction SOMME, il faut veiller à séparer les noms des cellules extrêmes par un double point et non un point-virgule si l'on veut que toutes les cellules entres les deux bornes données soient prises en compte.
b) 
Formule à saisir dans la cellule B14
« = (B9+B10+B11+B12+B13)/5 » ou « =SOMME(B9 :B13) /5 » ou « =MOYENNE(B9 : B13) »
Remarque
En recopiant la formule vers la droite en restant dans la même ligne, le numéro des colonnes va être incrémenté de un à chaque changement de colonne.
2. 
Vitesse moyenne sur l'ensemble des trois épreuves.
L'athlète 1 a parcouru 1,5 km en 25 min, puis 40 km en 68 min et enfin 10 km en 40 min.
Il a donc parcouru en tout : 1,5 + 40 + 10 = 51,5 km en : 25 + 68 + 40 = 133 min.
Sa vitesse moyenne est donc : \frac{51,5}{133} km/min = \frac{51,5\times60}{133} km/h \approx 23,2 km/h.
Remarque
Une erreur grossière-mais courante- consisterait ici à calculer la moyenne des vitesses moyennes à chaque épreuve, d'autant que ces vitesses moyennes sont fournies dans le sujet.
Comme ces vitesses ne concernent pas les mêmes distances parcourues, leur moyenne ne fournit pas la vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours.
Troisième partie
A - En Cycle 2
1. 
Effet du choix du nombre d'enfants sur les procédures des élèves
Le choix de la donnée « 3 enfants » dans l'énoncé permet aux élèves de trouver le résultat par une addition itérée de 4, qu'ils peuvent réaliser mentalement.
En revanche, cette procédure n'est plus possible si la donnée devient « 23 enfants », une addition itérée de 23 termes « 4 » étant difficilement gérable et très chronophage. Les élèves devront donc : soit poser la multiplication de 23 par 4, s'ils connaissent la technique opératoire, soit observer que : « 23 fois 4, c'est la même chose que 4 fois 23 » et effectuer l'addition itérée de 4 termes 23.
2. 
Effet du choix du nombre d'aimants sur les procédures des élèves
Le choix de la donnée « 4 aimants » dans l'énoncé permet aux élèves de mobiliser leur connaissance de la table de 4, dont on nous dit qu'elle est maîtrisée : « je sais que 36 = 4 × 9, donc si on a besoin de 4 aimants par image, on peut accrocher 9 images avec 36 aimants ».
En revanche, la connaissance des tables de multiplication ne peut pas être mobilisée pour obtenir directement le résultat dans le cas où l'on pose qu'il faut 3 aimants par image. Il faudra alors que les élèves décomposent 36 par exemple en : 30 + 6, puis observent que :
30 = 10 × 3, que : 6 = 2 × 3 et par conséquent que : 36 = (10 + 2) × 3.
B - En cycle 3
1. 
Étude de la production de Lucie : propriétés opératoires utilisées
Lucie utilise implicitement la distributivité de la multiplication sur la soustraction puisqu'elle décompose (mentalement) 27 en 30 − 3, pour effectuer 30 × 8 et 3 × 8 et en déduire que :
27 × 8 = (30 − 3) × 8 = 30 × 8 − 3 × 8.
2. 
Étude de la production d'Adèle
a) 
Connaissances et compétences correctement réinvesties
Adèle sait :
  • quel est le sens de la multiplication ;
  • poser et effectuer le produit d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre ;
  • quel est le principe de la multiplication par un nombre à deux chiffres (décalage à la deuxième ligne du produit) ;
  • comparer des nombres entiers.
Par ailleurs, elle connaît les tables de multiplication mobilisées.
b) 
Erreurs commises
En revanche, Adèle a partiellement mal interprété l'énoncé puisque la deuxième multiplication effectuée correspond à un prix de transport de 420 euros par colis dans le cas du transport maritime.
De plus, elle s'est trompée dans la gestion des retenues lors du calcul du produit 420 × 27 : elle oublie d'ajouter 1, issu du produit « 7 × 2 » au résultat de : 7 × 4 en deuxième ligne du produit et omet d'écrire « 1 » comme chiffre des dizaines de mille lorsqu'elle additionne : 8 + 2 + 1.
3. 
Étude de la production de Noémie
a) 
Connaissances et compétences correctement réinvesties
Noémie sait :
  • quel est le sens de la multiplication ;
  • poser et effectuer le produit d'un nombre à deux chiffres par un nombre à un chiffre ;
  • calculer mentalement la moitié de 420 ;
  • comparer des nombres entiers.
Par ailleurs, elle connaît les tables de multiplication mobilisées.
b) 
Erreurs commises
En revanche, Noémie a partiellement mal interprété l'énoncé puisque la première multiplication effectuée correspond à un prix de transport de 210 euros par colis dans le cas du transport maritime ; de plus, elle ne connaît pas le principe de décalage pour le calcul d'un produit par un nombre de plus d'un chiffre : en deuxième ligne du produit 210 × 27, elle effectue : 210 × 2 et non : 210 × 20.
Elle se trompe également dans le calcul de la somme des produits partiels puisqu'elle obtient : 2 890 au lieu de : 1 890.
C - « Per Gelosia »
1. 
Calcul en ligne du produit 32 × 45
32 × 45 = (30 + 2) (40 = 5) = 30 × 40 + 30 × 5 + 2 × 40 + 2 × 5 = 1 200 + 150 + 80 + 10 = 1 440
2. 
Obtention du chiffre des dizaines du produit par l'algorithme « Per Gelosia »
Par l'algorithme Per Gelosia, le chiffre des dizaines d'un produit a × b, quel qu'il soit, est le chiffre des unités de la somme :
  • du chiffre des dizaines obtenu lorsqu'on multiplie les chiffres des unités de a et de b ;
  • du chiffre des unités du produit du chiffre des unités de a par le chiffre des dizaines de b ;
  • et du chiffre des unités du produit du chiffre des unités de b par le chiffre des dizaines de a.
Dans le cas du produit 32 x 45, on a donc :
  • le produit 2 × 5 = 10, qui fournit « 1 » ;
  • le produit 3 × 5 = 15, qui fournit « 5 » ;
  • le produit 4 × 2 = 8, qui fournit « 8 ».
D'où : 1 + 5 + 8 = 14, « 4 » est donc le chiffre des dizaines du résultat et « 1 » correspond à une centaine, mise en retenue.
3. 
Obtention du nombre des centaines du produit par l'algorithme « Per Gelosia »
Par l'algorithme Per Gelosia, le nombre de centaines d'un produit de deux nombres à deux chiffres a × b, quel qu'il soit, est la somme :
  • de la retenue générée éventuellement lors du calcul du nombre de dizaines (voir question précédente) ;
  • du chiffre des dizaines obtenu lorsqu'on multiplie les chiffres des unités de a et par le chiffre des dizaines de b ;
  • du chiffre des unités du produit du chiffre des dizaines de a par le chiffre des unités de b ;
  • et du nombre obtenu en multipliant le chiffre des dizaines de b par le chiffre des dizaines de a.
Dans le cas du produit 32 × 45, on a donc :
  • La retenue, « 1 » obtenue lors du calcul du nombre de dizaines (voir question précédente) ;
  • le produit 3 × 5 = 15, qui fournit « 1 » ;
  • le produit 4 × 2 = 8, qui fournit « 0 » ;
  • le produit 3 × 4 = 12, qui fournit « 12 ».
D'où : 1 + 1 + 0 + 12 = 14, qui fournit le nombre de centaines du résultat.
4. 
Calcul du produit 642 × 475 « Per Gelosia »
On dispose le calcul comme décrit dans le sujet :
(+1) (+1) (+1)
On lit alors : 642 × 475 = 304 950.
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