Épreuve d'admissibilité, avril 2016, groupement académique 3

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Sujet

Première partie (13 points)
On donne trois points A, B, C tels que AB = 8 cm, AC = 6 cm ; les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
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(Le dessin n'est pas à l'échelle.)
On place :
  • un point D appartenant au segment [AB] distinct de A et de B ;
  • le point E, intersection du segment [BC] et de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par D ;
  • le point F, intersection du segment [AC] et de la perpendiculaire à la droite (AC) passant par E.
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Figure 1
Figure 1
Le but du problème est de déterminer la position du point D pour laquelle la distance DF est minimale.
A. Questions préliminaires
Les deux résultats démontrés dans cette partie pourront être utilisés dans les parties suivantes.
1. Démontrer que BC = 10 cm.
2. Déterminer une mesure en degrés de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} (on donnera le résultat arrondi à l'unité).
3. Démontrer que AE = DF.
B. Étude analytique du problème
1. 
Cas particulier : on suppose que AD = 3 cm.
a) Calculer BD, puis en déduire DE.
b) Montrer que DF = \sqrt{23,0625}.
2. 
Cas général
Dans cette partie, on pose AD = x.
a) Quelles valeurs x peut-il prendre ?
b) Démontrer que DE = 6 − 0,75x.
c) En déduire que DF2 = 1,5625x2 − 9x + 36.
d) Vérifier que l'on peut ainsi retrouver le résultat de la question 1.b).
3. 
Recherche de la valeur de x pour laquelle DF est minimale
On admet qu'il existe une position du point D telle que DF est minimale, et donc une valeur de x pour laquelle DF2 est minimal.
Afin de déterminer la position du point D recherchée, on utilise un tableur.
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Tableau 1
Tableau 1
a) Une fois la colonne A et la cellule B1 remplies, indiquer quelle est, parmi les propositions suivantes, la formule rentrée en cellule B2 et ayant permis par recopie le remplissage de la colonne B :
  • Proposition 1 : =1,5625*02-9*0+36
  • Proposition 2 : =1,5625*A2^2-9*A2+36
  • Proposition 3 : =1,5625*x^2-9*x+36
  • Proposition 4 : =1,5625*A1^2-9*A1+36
b) Expliquer pourquoi l'utilisateur, après avoir observé les valeurs apparaissant dans la colonne B du tableau 1, a choisi de poursuivre la recherche avec les valeurs données dans la colonne D du tableau 2 ci-après.
c) L'utilisateur affine encore les calculs, en remplissant les colonnes G et H du tableau. En déduire un encadrement d'amplitude 0,02 de la valeur de x pour laquelle DF2 est minimal.
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Tableau 2
Tableau 2
C. Résolution du problème par une méthode géométrique
1. Construire une droite Δ et un point O n'appartenant pas à Δ. Placer le point H, intersection entre la droite Δ et la perpendiculaire à Δ passant par O, puis placer sur la droite Δ un point M distinct de H.
Expliquer alors pourquoi OH < OM.
2. 
a) Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et AC = 6 cm.
Utiliser la question précédente pour construire le point E sur [BC] de telle sorte que la distance AE est minimale.
Placer les points D et F de façon à retrouver la configuration de la figure 1, puis tracer le segment [DF].
b) En exprimant l'aire du triangle ABC de deux façons différentes, déterminer la longueur AE et en déduire la longueur DF.
c) Calculer la distance AD et conclure par rapport au problème de départ.
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est constituée de trois exercices indépendants.
Exercice 1
(D'après Dimathème 2de, édition 2000, Didier.)
On admet que la vitesse de la lumière dans le vide est égale à 3 × 108 m/s (mètres par seconde).
1. Une unité astronomique (1 ua) est égale à la distance moyenne Terre-Soleil ; elle vaut 150 millions de kilomètres.
Calculer le temps, exprimé en minutes et secondes, nécessaire à un signal lumineux émis par le Soleil pour parvenir à la Terre, en supposant qu'il parcourt 1 ua dans le vide.
2. Une année-lumière (1 al) est la distance parcourue dans le vide par la lumière en une année julienne (c'est-à-dire 365,25 jours).
Calculer une valeur approchée, en kilomètres, d'une année-lumière.
3. 
Dans le système solaire, la planète la plus éloignée du Soleil est Neptune, et sa distance moyenne par rapport au Soleil est de 4,5 milliards de kilomètres.
a) Exprimer cette distance en ua.
b) Si on réalisait une maquette du système solaire dans laquelle Neptune est placée à 1 m du Soleil, à quelle distance du Soleil faudrait-il placer la Terre ? On donnera le résultat arrondi au millimètre.
Exercice 2
Dans cet exercice, quatre affirmations sont proposées.
Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse incorrecte n'enlève pas de point.
1. Une bouteille d'eau pleine a une masse de 1 215 g.
À moitié vide, elle a une masse de 840 g.
Affirmation 1 : Cette bouteille vide pèse alors 465 g.
2. Dans une classe de 25 élèves, exactement 10 élèves sont partis en vacances à la montagne l'hiver, exactement 8 élèves sont partis en vacances à la montagne l'été et exactement 5 élèves sont partis en vacances à la montagne l'hiver et l'été.
Affirmation 2 : 12 élèves de cette classe ne sont pas partis en vacances à la montagne (ni l'hiver, ni l'été).
3. Affirmation 3 : La droite ci-dessous, dans un repère orthogonal, représente la fonction affine f définie par f(x) = − 3x + 1.
4. Affirmation 4 : Le PGCD de 2 016 et de 6 102 est 2.
Exercice 3
Un enseignant demande à ses élèves d'une classe de troisième d'appliquer le programme de calcul suivant :
  • choisir un nombre a quelconque ;
  • le multiplier par 4 ;
  • ajouter 7 à ce produit ;
  • mettre le tout au carré ;
  • écrire le résultat.
1. 
a) Vérifier que le nombre obtenu sera 225 si le nombre de départ est 2.
b) Déterminer le nombre obtenu, si le nombre de départ est \frac{1}{2}.
2. Montrer que, pour un nombre de départ a, le nombre obtenu est 16a2 + 56a + 49.
3. 
a) Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à 0.
b) Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à 49.
c) Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à − 1.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est composée de deux situations indépendantes.
Situation 1
Un maître a distribué à ses élèves de CM1 des gabarits de lettres et leur a demandé de trouver la longueur de leur contour. Un groupe de trois élèves est chargé de travailler sur le gabarit de la lettre C.
1. Donner quatre compétences nécessaires pour déterminer la longueur du contour.
2. Donner deux difficultés que les élèves pourraient rencontrer pour cette tâche.
3. 
Voici les productions de trois élèves (Corantin, César et Clarisse) :
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Corantin
Corantin
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César
César
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Clarisse
Clarisse
a) Pour chacun de ces travaux, analyser la trace écrite (procédures suivies, compétences mises en œuvre, erreurs éventuelles).
b) Proposer une remédiation que le professeur pourrait mettre en place pour César et Corantin.
Situation 2
Voici l'énoncé d'un problème qui a été proposé dans le cadre du rallye mathématique CM2-6e de l'IREM Paris-Nord.
1. Citer trois compétences dans le domaine « Grandeurs et mesures » qui permettent de construire les figures demandées.
2. L'enseignant a choisi d'utiliser du papier à quadrillage carré. Citer une difficulté qu'apporterait l'utilisation de papier pointé (à réseau carré).
3. 
Voici la production de trois élèves : Axel, Jean et Timeo.
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Axel
Axel
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Jean
Jean
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Timeo
Timeo
a) Production d'Axel :
Pour quelle raison le professeur a-t-il demandé à Axel de trouver une autre figure, après les trois premières dessinées ?
Proposer une explication possible au fait qu'Axel n'a pas terminé le quatrième tracé.
b) Production de Jean :
Analyser les réponses de Jean, en lien avec les objectifs de l'exercice.
c) Production de Timeo :
Analyser les réponses de Timeo, en lien avec les objectifs de l'exercice.
d) Proposer une aide possible que le maître pourrait apporter à Jean et à Timeo.

Corrigé

Remarque
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Questions préliminaires
1. Démontrons que BC = 10 cm.
Le triangle ABC est rectangle en A car les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. D'après le théorème de Pythagore, on a donc : AB2 + AC2 = BC2 d'où : BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100.
On en déduit que BC = 10 cm.
2. Mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}
Toujours dans le triangle ABC, rectangle en A, on a : tan \widehat{\mathrm{ABC}} = \frac{c\hat{o}t\acute{e}\,oppos\acute{e}\,\grave{a}\,\widehat{\mathrm{ABC}}}{c\hat{o}t\acute{e}\,adjacent\,\grave{a}\,\widehat{\mathrm{ABC}}}\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\frac{6}{8} = 0,75.
On en déduit que : \widehat{\mathrm{ABC}} = tan−1(0,75) \approx 37°.
L'arrondi à l'unité de la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} est 37°.
3. Montrons que AE = DF.
On sait que :
  • (ED) est perpendiculaire à (AB), et donc à (AD) car D est sur (AB) ;
  • (EF) est perpendiculaire à (AC) et donc à (AF) car F est sur (AC) ;
  • (AC) est perpendiculaire à (AB).
On en déduit que le quadrilatère ADEF a trois angles droits ; c'est donc un rectangle.
Or, les diagonales d'un rectangle sont toujours de même longueur. On en déduit que : AE = DF.
Remarque
Le schéma fourni par le sujet aide à élaborer le raisonnement. N'hésitez pas à représenter la situation par un dessin, codé et annoté, si le sujet ne le propose pas. Vous pouvez faire figurer ce dessin sur la copie.
B. Étude analytique du problème
1. 
Cas particulier : AD = 3 cm
a) Calcul de BD, puis de DE
Comme D est sur le segment [AB], on a : AD + DB = AB, d'où : BD = 8 − 3 = 5.
Remarque
On reconnaît une « configuration de Thalès » ; connaissant les longueurs BD, BA et AC, on peut en déduire la longueur DE. Rédaction :
Les droites (AC) et (DE) étant toutes deux perpendiculaires à la droite (AB), elles sont parallèles entre elles.
Par ailleurs, les droites (AD) et (CE) sont sécantes en B.
D'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}.
D'où : DE = AC × \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}} = 6 × \frac{5}{8}\frac{15}{4} = 3,75 cm.
Conclusion : DE = 3,75.
b) Calcul de DF
Comme ADEF est un rectangle, ses côtés opposés sont égaux, donc : EF = AD = 3 cm.
Par ailleurs, l'angle en E étant droit, le triangle FED est rectangle en E.
D'après le théorème de Pythagore, on a : EF2 + ED2 = FD2, d'où : DF2 = 32 + 3,752 = 9 + 14,0625 = 23,0625.
Par conséquent : DF = \mathbf{\sqrt{23,0625}}.
2. 
Cas général : AD = x
a) Valeurs prises par x
Comme x désigne la longueur AD et que D appartient au segment [AB], x est compris entre 0 et 8 cm.
b) Expression de DE
On procède comme à la question B.1.a) :
Comme D est sur le segment [AB], on a : AD + DB = AB, d'où : BD = 8 − x.
Les droites (AC) et (DE) étant toutes deux perpendiculaires à la droite (AB), elles sont parallèles entre elles.
Par ailleurs, les droites (AD) et (CE) sont sécantes en B.
D'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}}.
D'où : DE = AC × \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BA}} = 6 × \frac{8-x}{8}\frac{48-6x}{8} = 6 − 0,75x.
Conclusion : DE = 6 − 0,75x.
c) Expression de DF2
On procède comme à la question B.1.b) :
Comme ADEF est un rectangle, ses côtés opposés sont égaux, donc : EF = AD = x.
Par ailleurs, l'angle en E étant droit, le triangle FED est rectangle en E.
D'après le théorème de Pythagore, on a : EF2 + ED2 = FD2, d'où DF2 = x2 + (6 − 0,75x)2.
Soit : DF2 = x2 + 36 − 9x + 0,5625x21,5625x2 − 9x + 36.
d) Lien avec la question B.1.b)
On remplace x par 3 dans l'expression obtenue ci-dessus : DF2 = 1,5625x2 − 9x + 36.
On obtient :
DF2 = 1,5625 × 9 − 9 × 9 + 36 = 14,0625 − 27 + 36 = 23,0625.
On retrouve ainsi le résultat de la question B.1.b).
3. 
Recherche de la valeur de x pour laquelle DF est minimale
a) Formule entrée en B2
C'est la formule de la proposition 2 qui convient : =1,5625*A2^2-9*A2+36.
Remarque
Par recopiage vers le bas, le numéro de ligne de la référence « A2 » sera incrémenté d'un à chaque changement de ligne. Ainsi, la formule correspondant à la cellule B3 sera : 1,5625*A3^2-9*A3+36 et ainsi de suite.
b) Motivation à utiliser la colonne D du tableau
L'observation de la colonne B du tableau donne à penser que la valeur de x correspondant au minimum de la distance DF se situe entre 2,5 et 3,5. En effet, on observe des valeurs de DF2 décroissantes lorsque x varie de 0 à 3, puis croissantes lorsque x varie de 3 à 8. On en déduit que le minimum est atteint, soit pour x compris entre 2,5 et 3 ; soit pour x compris entre 3 et 3,5 ; d'où la motivation à aller « regarder ce qui se passe » pour les valeurs de x comprises entre 2,5 et 3,5.
c) Encadrement de x, pour DF2 minimal, d'amplitude 0,02
Au vu des colonnes G et H du tableau, il semble que le minimum de DF est atteint pour x compris entre 2,87 et 2,89, ce qui constitue bien un encadrement de x d'amplitude 0,02.
C. Résolution géométrique du problème
1. 
Construction et justification de l'inégalité OH < OM
Le point H étant le pied de la perpendiculaire à (Δ) passant par O et M étant un point de (Δ) distinct de H, le triangle OHM est donc rectangle en H.
Le théorème de Pythagore permet de dire que OM > OH car : OM2 = OH2 + HM2.
2. 
a) Construction de la configuration solution du problème
D'après la question précédente, le point E sur [BC] qui réalise la distance AE minimale est le pied de la perpendiculaire à (BC) passant par A.
Zoom
La figure n'est pas aux dimensions demandées, mais est à l'échelle.
Remarque
Sachant que FD = AE, la distance FD est donc également minimale.
b) Calcul de DF
On calcule l'aire du triangle ABC en utilisant la formule : \mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\frac{base\,\times \,hauteur}{2} et en considérant successivement AB et BC comme bases. Les hauteurs correspondantes sont alors respectivement AC et AE.
On obtient : \mathcal{A}_{\mathrm{ABC}}=\frac{\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}}{2}=\frac{\mathrm{BC} \times \mathrm{AE}}{2}, d'où : AB × AC = BC × AE.
Donc : 8 × 6 = 10 × AE. Finalement : AE = 4,8 cm.
Comme DF = AE, on en déduit que : DF = 4,8 cm.
c) Calcul de AD et conclusion
Les triangles ADE et AEB sont rectangles et ont un angle commun : \widehat{\mathrm{EAD}} (= \widehat{\mathrm{EAB}}).
Dans le triangle EAD, on a : \cos \widehat{\mathrm{EAD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AD}}{4,8}.
Dans le triangle EAB, on a : \cos \widehat{\mathrm{EAB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AB}}=\frac{4,8}{8}.
On a donc : \frac{\mathrm{AD}}{4,8}=\frac{4,8}{8}, d'où : AD = \frac{4,8^{2}}{8} = 2,88.
Pour que la distance DF soit minimale, il faut donc que D soit situé à 2,88 cm de A sur le segment [AB].
Deuxième partie
Exercice 1
1. Durée du temps de parcours d'un signal lumineux entre le Soleil et la Terre
La vitesse moyenne de la lumière est donnée par la formule :
v (en m/s) = \frac{distance\,parcourue\,\mathrm{(en\,m)}}{temps\,de\,parcours\,\mathrm{(en\,s)}} = 3 × 108.
On en déduit que la durée de parcours, en secondes, est égale à : \frac{distance\,parcourue\,\mathrm{(en\,m)}}{3\times10^{8}}.
Or, la lumière doit parcourir une distance de 150 millions de kilomètres, soit :
15 × 107 km = 15 × 1010 m.
La durée de parcours vaut donc : \frac{15\times10^{10}}{3\times10^{8}} = 500 s.
Comme 500 = 60 × 8 + 20, on en déduit que la durée du parcours de la lumière entre le Soleil et la Terre est de 8 min 20 s.
Remarque
On peut aussi, après avoir observé que 150 millions de kilomètres correspondent à 15 × 1010 m et que 15 × 1010 = 5 × 102 × 3 × 108, dire que si la lumière parcourt 3 × 108 m en une seconde, alors elle met 500 s à parcourir 15 × 1010 m.
2. Expression d'une année-lumière en km
En une seconde, la lumière parcourt 3 × 108 m, soit 3 × 105 km. En une année julienne, elle parcourt donc :
3 × 105 × 365,25 × 24 × 60 × 60 = 946 728 × 107 km.
Une valeur approchée, en km, d'une année-lumière est donc 9,5 × 1012 km.
Remarque
Le degré de précision de la valeur approchée n'est pas spécifié ; toute réponse cohérente avec la valeur exacte doit donc être acceptée. L'intérêt d'une approximation est d'obtenir une réponse plus simple numériquement, avec un degré d'approximation « raisonnable », ce qui est le cas ici, l'écart valeur exacte/valeur approchée représentant moins de 3 % de la valeur exacte.
3. 
a) Distance Neptune-Soleil en ua
On sait que 1 ua correspond à 15 × 107 km.
La distance Neptune-Soleil est de 4,5 milliards de km, soit : 4,5 × 109 km.
Cela correspond à : \frac{4,5\times10^{9}}{15\times10^{7}} = 30 ua.
La distance Neptune-Soleil vaut 30 ua.
b) Calcul de la distance Terre-Soleil sur la maquette
Comme la distance Terre-Soleil vaut 1 ua, la réponse à la question précédente permet de dire que Neptune est 30 fois plus éloignée du Soleil que la Terre.
Si la distance de Neptune au Soleil est représentée par 1 m sur la maquette, la distance Terre-Soleil doit donc être représentée par \frac{1}{30} m, soit \frac{1000}{30} mm \approx 33 mm.
La distance Terre-Soleil doit être représentée par environ 33 mm.
Exercice 2
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. La masse de la moitié de l'eau est : 1 215 g − 840 g = 375 g. Si on vide la bouteille, la masse va encore être diminuée de 375 g. La bouteille vide aura donc une masse de : 840 g − 375 g = 465 g.
Conclusion : l'affirmation 1 est vraie.
2. Parmi les élèves qui sont partis en vacances l'hiver, 5 sont aussi partis l'été. Le total des élèves partis en vacances à la montagne est donc : 10 + 8 − 5 = 13.
Remarque
Cela correspond au calcul : nombre d'élèves partis en hiver, plus nombre d'élèves partis en été, moins nombre d'élèves pris en compte deux fois (car ceux partis l'hiver et l'été sont comptabilisés à la fois parmi ceux qui sont partis l'hiver ET parmi ceux qui sont partis l'été).
On a : 25 − 13 = 12. Il y a donc 12 élèves qui ne sont pas partis en vacances à la montagne.
Conclusion : l'affirmation 2 est vraie.
3. Nous partons de l'hypothèse que x est représenté en abscisse et f(x) en ordonnée. Ce qui est l'usage, mais n'est pas précisé ici.
La droite représentée ci-dessous a pour ordonnée à l'origine 1 et pour coefficient directeur 3 (deux points de la droite dont les abscisses ont un écart de 1 ont des ordonnées dont l'écart vaut 3, si on les prend dans le même ordre). Par conséquent, cette droite représente la fonction affine : f(x) = 3x + 1.
Conclusion : l'affirmation 3 est fausse.
4. 
Remarque
Une possibilité de réponse consiste à calculer, par la méthode de son choix (décomposition en produit de nombres premiers, algorithme d'Euclide ou soustractions successives), le PGCD de 2 016 et 6 102. Il y a plus rapide… en observant que 3 est diviseur des deux nombres.
Les deux nombres sont constitués des mêmes chiffres et comme 2 + 0 + 1 + 6 = 9, on en déduit que 2 016, ainsi que 6 102, sont divisibles par 9.
Donc 2 ne peut être leur PGCD, puisque 9 est un diviseur commun et que 9 > 2.
Conclusion : l'affirmation 4 est fausse.
Exercice 3
1. 
a) Nombre obtenu si le nombre de départ est 2
En partant de 2, on obtient successivement : 2 × 4 = 8, puis : 8 + 7 = 15 et enfin : 152 = 225.
b) Nombre obtenu en partant de \mathbf{\frac{1}{2}}
En partant de \frac{1}{2}, on obtient successivement : \frac{1}{2} × 4 = 2, puis : 2 + 7 = 9 et enfin : 92 = 81.
2. Nombre obtenu en partant de a
En partant de a, on obtient successivement : a × 4 = 4a, puis : 4a + 7 et enfin : (4a + 7)2.
Or, (4a + 7)216a2 + 56a + 49.
3. 
a) Nombre(s) à choisir pour obtenir 0
Pour que le nombre obtenu soit égal à 0, il faut et il suffit que (4a + 7)2 soit égal à 0, c'est-à-dire que : 4a + 7 = 0, d'où : a = − \frac{7}{4} = − 1, 75.
Pour obtenir 0, il faut (et il suffit de) choisir − 1,75.
b) Nombre(s) à choisir pour obtenir 49
1re méthode
Pour que le nombre soit égal à 49, il faut et il suffit que 16a2 + 56a + 49 = 49, c'est-à-dire que : 16a2 + 56a = 0 soit : a(16a + 56) = 0. Or un produit est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul, d'où : a = 0 ou 16a + 56 = 0, soit : a = − 3,5.
2e méthode
Pour que le nombre soit égal à 49, il faut et il suffit que (4a + 7)2 = 49, d'où : 4a + 7 = 7 ou 4a + 7 = − 7. On obtient alors : a = 0 ou a = − \frac{14}{4} = − 3,5.
Pour obtenir 49, il faut (et il suffit de) choisir 0 ou − 3,5.
c) Nombre(s) à choisir pour obtenir − 1
Pour obtenir − 1, il faudrait avoir : (4a + 7)2 = − 1, ce qui est impossible (dans l'ensemble des réels, Ensemble R) car un carré est toujours positif (dans Ensemble R).
On ne peut donc pas choisir de nombre de façon à obtenir − 1.
Troisième partie
Situation 1
1. 
Compétences nécessaires pour déterminer la longueur du contour
On peut citer :
  • savoir mesurer la longueur d'un segment ;
  • savoir énumérer les côtés de la figure (c'est-à-dire passer en revue les côtés sans en oublier ni en compter deux fois) ;
  • savoir additionner des nombres entiers (ou des nombres décimaux) ;
Remarque
Ces trois compétences semblent suffisantes. Devant la demande explicite de fournir quatre compétences et au vu des productions des élèves, on peut ajouter :
  • savoir convertir en mm des longueurs exprimées en cm, ou le contraire (mais cela n'est pas nécessaire à la réussite de l'exercice !).
2. 
Difficultés pouvant être rencontrées par les élèves
Remarque
Il suffit de se baser sur les compétences listées ci-dessus, en relevant les difficultés correspondantes.
Les élèves peuvent avoir du mal à mesurer les longueurs des segments, en particulier à « caler » le zéro de la graduation, puis à lire la mesure de la longueur, les gabarits étant petits et mobiles.
Ils peuvent aussi avoir du mal à énumérer les côtés, en particulier à repérer par quel côté l'énumération a commencé.
Remarque
On peut aussi évoquer la difficulté à organiser et effectuer l'addition, les mesures de longueurs étant exprimées, soit en cm et mm, soit sous forme décimale en cm uniquement. Le jour du concours, ne donnez pas plus de réponses qu'attendu, toute réponse erronée étant pénalisante.
3. 
a) 
Analyse de la trace écrite
Production de Corantin
Procédure suivie
Compétences mises en œuvre
Erreurs éventuelles
Il semble avoir tracé la lettre en se servant du gabarit, puis effectué les mesures sur son tracé.
Le dessin est annoté par les mesures des côtés, exprimées en cm et mm, puis la somme des mesures est posée et effectuée, toujours en faisant cohabiter cm et mm, sans conversion (alors que cela aurait été possible en fin de calcul).
– Effectuer, avec précision et soin, un tracé à l'aide d'un gabarit.
– Mesurer des longueurs de segments en utilisant des unités appropriées.
– Poser et effectuer une addition de nombres entiers.
– Erreur de transcription : « 2 cm 5 mm » est repris sous la forme « 5 cm 2 mm » dans l'addition posée.
– Erreur de calcul dans l'addition posée, au niveau des cm : 31 au lieu de 29.
– Deuxième résultat, sans lien avec les mesurages et les calculs effectués, sous le premier.

Production de César
Procédure suivie
Compétences mises en œuvre
Erreurs éventuelles
Il fait un dessin à main levée sur lequel il reporte les mesures relevées sur le gabarit. Il utilise uniquement l'unité « cm » et obtient donc des résultats décimaux. Il pose ensuite et effectue la somme des mesures relevées.
– Représenter une figure à l'aide d'un schéma à main levée.
– Mesurer des longueurs de segments.
– Additionner des nombres décimaux.
– Erreur dans l'addition, au niveau des dixièmes (7 au lieu de 5), puis des unités (23, au lieu de 26).
– Transcription du résultat erronée : 237 cm au lieu de 23,7 cm.

Production de Clarisse
Procédure suivie
Compétences mises en œuvre
Erreurs éventuelles
Elle utilise le gabarit pour reproduire la figure et effectuer les mesures, en mm, sur son dessin. Elle effectue ensuite la somme des mesures obtenues, en ajoutant successivement une mesure après l'autre (sommes partielles) et trouve un résultat en mm, qu'elle convertit en cm.
– Reproduire une figure à l'aide d'un gabarit.
– Effectuer la somme de nombres entiers.
– Convertir en mm des mesures exprimées en cm.
Pas d'erreur.

b) Remédiation pouvant être mise en place pour César et Corantin
Corantin et César n'ont pas opéré sur le même type de nombres : entiers pour le premier, décimaux pour le second. Ils ont toutefois en commun d'avoir commis des erreurs de calcul laissant à penser qu'ils ont du mal à effectuer la somme de plusieurs (8, ici) nombres entiers inférieurs à 10. Un travail spécifique de rappel du répertoire additif et d'entraînement à effectuer, en ligne, une addition comportant 5 ou 6 termes (ou plus) semblerait indiqué.
Situation 2
1. Trois compétences dans le domaine « Grandeurs et mesures » permettant de construire les figures demandées
On peut citer :
  • savoir construire une figure de périmètre donné ;
  • savoir construire une figure d'aire donnée ;
  • savoir utiliser la conservation de l'aire par découpage et recollement.
Remarque
Il serait ici plus simple de donner des connaissances, plutôt que des compétences : connaître le concept d'aire, de périmètre, savoir que l'aire est conservée par découpage et recollement, etc.
La question portant sur des « compétences », il est important de répondre en ce sens.
2. Difficulté liée à l'usage du papier pointé
L'utilisation du papier pointé rendrait la tâche des élèves plus difficile, en particulier pour ce qui est de la perception de l'aire : les carreaux permettant de mesurer l'aire ne seraient pas visibles et devraient, soit être tracés à partir du réseau de points, soit être conçus de façon abstraite.
Autre possibilité : les tracés une fois effectués, les points du papier ne sont plus visibles, ce qui rend la vérification difficile.
3. 
a) Production d'Axel
Axel ayant réalisé deux figures superposables, l'enseignant lui demande de trouver une autre figure.
Le tracé incomplet d'Axel comporte déjà quatre côtés de carreaux et deux diagonales. Peut-être a-t-il remarqué qu'il ne lui restait plus que deux côtés de carreaux à utiliser et qu'il était donc impossible de fermer la figure, ce qui l'aurait conduit à renoncer.
b) Production de Jean – analyse en lien avec les objectifs de l'exercice
Jean produit deux familles de figures : celles, notées A, qui ont même périmètre que la figure A donnée par l'énoncé, et celles, notées B, qui ont même aire que la figure B donnée par l'énoncé. Il n'a pas compris qu'une même figure devait, à la fois, avoir même périmètre que A et même aire que B.
Par ailleurs, une de ses propositions est en fait la juxtaposition de deux figures planes ayant un sommet commun.
À noter que l'une des solutions notées A est solution du problème ; mais, au vu des autres réponses, on peut supposer que cela est le fruit du hasard.
c) Production de Timeo – analyse en lien avec les objectifs de l'exercice
Timeo produit des figures qui ont bien l'aire attendue, mais deux d'entre elles n'ont pas le bon périmètre. Il semble donc qu'il n'est pas (ou uniquement partiellement) tenu compte de la contrainte sur le périmètre.
d) Aide possible pour Jean et Timeo
L'enseignant peut rappeler, en l'explicitant davantage, la double contrainte. Il peut également demander de mesurer les périmètres et aires : des deux modèles et des figures proposées par les deux élèves, en les commentant.
À noter : les aires seront mesurées en carreaux et les périmètres en longueur de côté et de diagonale de carré.
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