Épreuve d'admissibilité, avril 2017, groupement académique 2

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Sujet

Première partie (13 points)
Les figures données ne sont pas à l'échelle.
La figure ci-dessous modélise un jardin dont l'aménagement doit être repensé.
Le trapèze ABCD est tel que :
  • les droites (AB) et (DC) sont parallèles ;
  • les droites (AD) et (DC) sont perpendiculaires ;
  • AB = 50 m, AD = 30 m et DC = 70 m.
E est le point du segment [DC] tel que ABED est un rectangle.
A. Premier projet d'aménagement
1. Dans un premier temps, le propriétaire désire clôturer le jardin.
Calculer la longueur de clôture nécessaire sachant qu'il prévoit l'installation d'un portail de 3,10 m de large. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au mètre.
2. Dans un deuxième temps, il partage son jardin en trois parties :
  • un espace réservé au potager représenté par le triangle rectangle BCE ;
  • un espace de plantations florales représenté par le demi-disque hachuré de diamètre [AB] ;
  • un espace engazonné sur le reste du jardin.
Calculer l'aire arrondie au mètre carré de chacune des trois parties du jardin.
B. Plantations
1. Pour cette question, on considérera que l'aire de la partie engazonnée est de 520 m2.
Le propriétaire contacte un paysagiste qui propose, pour l'ensemencement du gazon, un tarif de 5 euros le m2. Il offre une remise sur le prix total et ne facture que 1 950 euros.
Quel est le pourcentage de la remise accordée ?
2. Pour débuter son potager, le propriétaire a acheté 75 plants de salade et 50 pieds de tomates. Il se souvient que le prix d'un plant de salade était de 22 centimes et qu'il a payé, en tout, entre 50 et 55 euros.
En déduire un encadrement, le plus précis possible, du prix d'un pied de tomates.
C. Étude d'un agrandissement du potager
Après réflexion, le propriétaire décide d'agrandir son potager. Sur le plan de son jardin, il place un point M sur le côté [AB] et trace la droite parallèle à (AD) passant par M. Elle coupe le segment [DC] en un point G. Le potager est maintenant représenté par le trapèze MBCG et l'espace de plantations florales par le demi-disque de diamètre [AM].
On pose AM = x, où x est exprimé en mètres.
1. 
a) Donner un encadrement des valeurs de x possibles.
b) Démontrer que l'aire du trapèze MBCG est égale à 1 800 − 30x.
2. 
Le propriétaire utilise un tableur pour effectuer des calculs d'aires des différentes parties du jardin en fonction de la distance AM.
a) Une formule a été saisie dans la cellule B2 de la feuille de calcul et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules entre C2 et G2. Quelle peut être cette formule ?
b) Parmi les quatre propositions suivantes, quelle est la formule qui a pu être saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules entre C3 et G3 ?
  • =PI()*B1*B1
  • =PI()*B1*B1/8
  • =PI()*B1*B1/2
  • =PI()*B1*B1/4
Remarque : PI() désigne le nombre π.
3. 
Le propriétaire utilise un logiciel pour construire les représentations graphiques des trois fonctions donnant l'aire de chacune des parties du jardin en fonction de la distance AM. Il obtient le graphique donné ci-dessous.
a) Indiquer, sans justifier, à quelle partie du jardin correspond chacune des courbes C1, C2 et C3.
b) Les courbes C2 et C3 se coupent en un point dont l'abscisse est environ 38. À quoi cela correspond-il pour le jardin ?
c) Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée des aires respectives de l'espace de plantations florales et de la partie engazonnée lorsque l'aire du potager vaut 400 m2.
4. 
Par le calcul, déterminer les aires respectives de l'espace de plantations florales et de la partie engazonnée lorsque l'aire du potager vaut 750 m2. Arrondir ces aires au mètre carré.
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
Une réponse exacte non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse fausse n'enlève aucun point.
1. Dans un club sportif, les trois quarts des adhérents sont mineurs (ils ont moins de 18 ans) et le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans.
Affirmation : un adhérent sur six a donc entre 18 ans et 25 ans.
2. Affirmation : durant les soldes, si on baisse le prix d'un article de 30 % puis de 20 %, alors le prix de l'article a baissé de 50 %.
3. On considère une série statistique de moyenne égale à 5. On complète la série en ajoutant 5 comme valeur supplémentaire.
Affirmation : la moyenne de la série ne change pas.
4. Affirmation : pour obtenir le carré d'un nombre entier, il suffit de multiplier le nombre entier qui le précède par le nombre entier qui le suit et d'ajouter 1.
Exercice 2
Ce tableau présente la hauteur, en millimètres, des précipitations journalières au cours du mois d'avril 2016, sur l'aéroport Roland-Garros de l'île de La Réunion.
Hauteur des précipitations (en millimètres)
0
0,3
1,3
1,7
2,5
7
13
21
28
42
Nombre de jours
4
6
4
4
3
3
2
1
2
1

1. Calculer la valeur moyenne des précipitations journalières au cours du mois d'avril 2016, arrondie au dixième de millimètre.
2. Déterminer la valeur médiane de ces précipitations journalières. Interpréter ce résultat par une phrase.
3. Quelle est l'étendue de cette série ?
4. Déterminer le nombre de jours où la hauteur des précipitations est supérieure ou égale à 13 mm, puis exprimer ce nombre en pourcentage par rapport au nombre de jours dans le mois.
5. Sachant qu'une des pistes de décollage de l'aéroport Roland-Garros est rectangulaire et mesure 3 200 m de long et 50 m de large, calculer, en mètres cubes, puis en litres, le volume de pluie tombé sur cette piste au cours du mois d'avril 2016.
Exercice 3
Déterminer, sans justifier, quelle figure géométrique est tracée lorsque l'on exécute chacun des programmes suivants.
Zoom
Programme A
Programme A
Zoom
Programme B
Programme B
Exercice 4
Un batelier descend une rivière de 120 km en un certain nombre de jours n, puis il la remonte. La distance parcourue quotidiennement lors de la remontée est inférieure de 6 km à celle parcourue quotidiennement lors de la descente. Le batelier met au total un jour de plus pour remonter que pour descendre. On considère qu'il descend à vitesse constante et qu'il remonte à vitesse constante.
1. Exprimer en fonction de n, la distance, en kilomètres, parcourue quotidiennement pendant la descente et la distance, en kilomètres, parcourue quotidiennement pendant la remontée.
2. Montrer que \frac{120}{(n+1)}=\frac{120}{n}-6.
3. Déduire de la question précédente que n(n + 1) = 20.
4. En déduire la valeur de n et interpréter ce résultat.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est composée de trois situations indépendantes.
Situation 1
Exercice extrait des évaluations nationales à l'entrée au CE2.
Un fermier range 6 œufs dans chaque boîte.
Quand il a fini, il compte ses boîtes et en trouve 13. Combien a-t-il rangé d'œufs ?
Écris tes calculs dans le premier cadre et ta réponse dans le deuxième cadre.
Calculs/Recherches



Réponse




Voici les productions de six élèves :
1. 
Pour chacun des élèves 1, 2 et 3 :
a) Expliciter les procédures utilisées.
b) Donner deux compétences qui semblent acquises pour chacun des élèves.
2. 
Pour chacun des élèves 4, 5 et 6 :
a) Citer une compétence qui semble acquise.
b) Identifier et analyser les erreurs.
3. 
Pour l'élève 5, proposer une aide que pourrait envisager l'enseignant pour l'amener à corriger son erreur.
4. 
Pour les élèves 1 et 6, comment l'enseignant pourrait-il modifier l'énoncé pour les amener à utiliser une multiplication ?
Zoom
Élève 1
Élève 1
Zoom
Élève 2
Élève 2
Zoom
Élève 3
Élève 3
Zoom
Élève 4
Élève 4
Zoom
Élève 5
Élève 5
Zoom
Élève 6
Élève 6
Situation 2
Les problèmes suivants, issus du manuel EuroMaths CM2 (Hatier, 2009), ont été donnés en fin d'année à des élèves d'une classe de CM2. La calculatrice n'était pas autorisée.
1. Un croissant coûte 1,25 €. Quel est le prix de 10 croissants ?
2. Pour 10 baguettes, Pierre paie 8,50 €. Quel est le prix d'une baguette ?
3. Un paquet de 100 enveloppes illustrées coûte 13 €. Quel est le prix d'une enveloppe ?
4. Éric fait la collection de fourmis en plastique. Il en a plus de 100. Chacune de ses fourmis mesure 0,7 cm. Quelle est la mesure de la ligne formée par 100 fourmis à la queue leu leu ?

1. 
Citer deux compétences travaillées dans ces exercices.
2. 
Voici les productions de deux élèves en réponse au problème 4.
Zoom
Théo
Théo
Zoom
Eugénie
Eugénie
a) Analyser l'erreur de Théo en émettant une hypothèse sur son origine.
b) Formuler précisément la procédure utilisée par Eugénie et en donner une justification mathématique.
Situation 3
Technique opératoire de la multiplication
Voici 4 opérations posées.
Zoom
Calcul 1
Calcul 1
Zoom
Calcul 2
Calcul 2
Zoom
Calcul 3
Calcul 3
Zoom
Calcul 4
Calcul 4
1. Dans chacun des cas, décrire les erreurs éventuelles.
2. Que pourrait proposer le professeur aux élèves ayant produit les calculs 1 et 3 pour leur permettre de contrôler leur résultat ?

Corrigé

Remarque
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Premier projet d'aménagement
1. Longueur de clôture nécessaire
Dans ce qui suit, toutes les mesures de longueurs sont exprimées en mètres.
Calculons le périmètre du trapèze ABCD :
PABCD = AB + BC + CD + DA.
Or : E \in [DC], donc CD = CE + ED et ABED est un rectangle, donc AB = ED et BE = AD.
Reste à calculer BC.
Dans le triangle BEC, rectangle en E, on a, d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = BE2 + EC2 ; or, BE = AD = 30 et EC = DC − DE = 70 − 50 = 20 ;
d'où : BC2 = 900 + 400 = 1 300 et donc BC = 10\sqrt{13}.
On en déduit : PABCD = 50 + 10\sqrt{13} + 70 + 30, soit : PABCD = 150 + 10\sqrt{13}, ce à quoi il faut retirer la largeur du portail, soit 3,1, pour obtenir la longueur de clôture.
La longueur de clôture nécessaire est donc : 146,9 + \mathbf{10}\sqrt{\mathbf{13}}\approx 183, soit environ 183 mètres.
2. Aire de chacune des parties du jardin
L'aire du potager correspond à l'aire du triangle rectangle BEC.
ABEC\frac{\mathrm{BE}\times \mathrm{EC}}{2}\frac{30\times 20}{2} m2300 m2.
L'aire de l'espace de plantations florales correspond à l'aire du demi-disque de diamètre [AB], soit :
\frac{1}{2} × π × 252 m2 = 312,5π m2 \approx 982 m2.
L'aire de l'espace engazonné correspond à l'aire du rectangle ABED, à laquelle on a retranché l'aire du demi-disque de diamètre [AB], soit :
(50 × 30 − 312,5π) m2 \approx 518 m2.
B. Plantations
1. Pourcentage de remise accordée
Calculons le prix de l'ensemencement du gazon avant remise : 5 × 520 = 2 600.
Le prix normal est donc de 2 600 €. Le prix facturé étant 1 950 €, la remise s'élève à :
2 600 € − 1 950 € = 650 €.
On a : \frac{650}{2\,600} = 0,25.
La remise accordée correspond donc à 25 % du plein tarif.
2. Encadrement du prix d'un pied de tomates
Calculons le prix des 75 plants de salade : 75 × 0,22 = 16,5. Les salades ont donc coûté 16,50 €. Le propriétaire ayant dépensé en tout entre 50 et 55 €, les pieds de tomates ont coûté entre 33,50 € et 38,50 € car : 50 − 16,5 = 33,5 et 55 − 16,5 = 38,5.
Or 50 pieds de tomates ont été achetés.
D'où : \frac{33,5}{50} = 0,67 et \frac{38,5}{50} = 0,77.
Le prix d'un pied de tomates est donc compris entre 67 et 77 centimes.
Remarque
Il était aussi possible ici – mais pas nécessaire – de passer par une mise en inéquation. En voici la rédaction :
Soit x le prix d'un pied de tomates, en euros. Le propriétaire ayant acheté 50 pieds de tomates à x euros et 75 plants de salade à 0,22 €, il a dépensé :
(50x + 0,22 × 75) € = (50x + 16,5) €.
Or, sa dépense est comprise entre 50 et 55 €.
On a donc : 50 inférieur ou égal 50x + 16,5 inférieur ou égal 55 ; d'où 33,5 inférieur ou égal 50x inférieur ou égal 38,5 et donc : 0,67 inférieur ou égal x inférieur ou égal 0,77.
C. Étude d'un agrandissement du potager
1. 
a) Encadrement des valeurs de x possibles
Comme M \in [AB], on a : inférieur ou égal x inférieur ou égal 50.
b) Formule de l'aire du trapèze MBCG
1re méthode
On utilise la formule d'aire d'un trapèze : \frac{(B+b)\times h}{2} ; ici : B = GC, b = MB et h = MG.
Or : AMGD est un quadrilatère ayant trois angles droits au vu du codage des figures fournies aux parties A et C, donc il s'agit d'un rectangle. On a donc MG = AD et AM = DG.
Par ailleurs, G \in [DC] et M \in [AB], donc :
GC = DC − DG = DC − AM = 70 − x et MB = AB − AM = 50 − x.
On a finalement : AMBCG\frac{(70-x+50-x)\times 30}{2} = (120 − 2x) × 15 = 1 800 − 30x.
2e méthode
On observe que l'aire du trapèze MBCG est égale à l'aire du trapèze ABCD moins l'aire du rectangle AMGD.
AABCDAABEDABCE = 1 500 + 300 = 1 800 (d'après la question A.2.).
AAMGD = AM × AD = 30x.
D'où : AMBCG = 1 800 − 30x.
Conclusion : l'aire du trapèze MBCG mesure 1 800 − 30x (m2).
2. 
a) Formule saisie dans la cellule B2
D'après ce qui précède, une formule pouvant être saisie en cellule B2, puis recopiée vers la droite est : « =1800-B1*30 » [ou encore : « =1800-B$1*30 »].
b) Formule saisie dans la cellule B3
Parmi les propositions données, la seule valide est : =PI()*B1*B1/8.
Remarque
En effet, B1 fournit la première valeur de AM, qui correspond au diamètre du demi-disque représentant la partie engazonnée ; l'aire d'un disque étant πR2, où R est le rayon, on en déduit la réponse.
3. 
a) Courbes représentant les aires des différentes parties du jardin
La courbe C1 correspond à l'aire du potager, la courbe C2 à l'aire de la partie consacrée aux plantations florales et la courbe C3 à l'aire de la partie engazonnée.
b) Interprétation de l'abscisse du point d'intersection des courbes C2 et C3
L'abscisse du point d'intersection des courbes C2 et C3 fournit la distance du point M au point A telle que les aires des parties engazonnées et dédiées aux plantations florales soient égales.
c) Lecture graphique des aires de l'espace de plantations florales et de la partie engazonnée lorsque l'aire du potager vaut 400 m2
On cherche le point d'ordonnée 400 sur la courbe C1, puis les ordonnées des points sur C2 (resp. C3) ayant la même abscisse que ce dernier. On lit : 850 (resp. 550) ; on en déduit que, lorsque l'aire du potager vaut 400 m2, celle de la partie fleurie vaut environ 850 m2 et celle de la partie engazonnée environ 550 m2.
4. Calcul des aires de l'espace de plantations florales et de la partie engazonnée lorsque l'aire du potager vaut 750 m2
Lorsque l'aire du potager vaut 750 m2, on a : 1 800 − 30x = 750, d'où 30x = 1 050 et donc x = 35.
L'aire de la partie fleurie vaut alors : π × 352 × 0,125 m2 = 153,125 π m2 \approx 481 m2.
L'aire de la partie engazonnée vaut : (35 × 30 − 153,125 π) m2 = (1 050 − 153,125 π) m2 \approx 569 m2.
Deuxième partie
Exercice 1
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. Si trois quarts des adhérents sont mineurs, cela signifie qu'un quart des adhérents sont majeurs. Si le tiers des adhérents majeurs a plus de 25 ans, cela signifie que deux tiers des adhérents majeurs ont entre 18 et 25 ans. Cela représente \frac{1}{6} du total des adhérents car :
\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}.
Un adhérent sur six a donc bien entre 18 et 25 ans.
Conclusion : l'affirmation est vraie.
2. Baisser le prix de 30 % (resp. 20 %) correspond à multiplier ce prix par 0,7 (resp. 0,8). Si on baisse successivement le prix de 30 % et de 20 %, on le multiplie par 0,7 × 0,8, soit 0,56, ce qui correspond à une baisse de 44 % du prix initial.
Conclusion : l'affirmation est fausse.
Remarque
On utilise ici le résultat suivant : « augmenter (resp. diminuer) de x % revient à multiplier par 1+\frac{x}{100} (resp. 1-\frac{x}{100}) ».
3. Soit M la moyenne de la série, n son effectif et S la somme des valeurs. On a alors : M=\frac{S}{n}.
La situation initiale correspond à : M = 5, d'où : S = 5n (1).
Soient M', n' et S' les valeurs après modification. On a : n' = n + 1 et S' = S + 5 = 5n + 5 d'après (1).
On en déduit : M'\frac{S'}{n'}= \frac{5n+5}{n+1}= \frac{5(n+1)}{n+1} = 5.
Conclusion : l'affirmation est vraie.
4. Soit n un nombre entier quelconque. Le nombre entier qui le précède est alors : n − 1 et celui qui le suit : n + 1.
Le produit de ces deux nombres est : (n − 1)(n + 1) = n2 − 1. Si l'on ajoute 1, on obtient bien le carré du nombre de départ.
Conclusion : l'affirmation est vraie.
Exercice 2
1. Valeur moyenne des précipitations journalières au cours du mois d'avril 2016
M\frac{0 \times 4+6 \times 0,3+4 \times 1,3+4 \times 1,7+3 \times 2,5+3 \times 7+2 \times 13+1 \times 21+2 \times 28+1 \times 42}{30}\frac{187,3}{30}\approx 6,24.
La valeur moyenne des précipitations journalières en avril 2016 est d'environ 6,2 mm.
2. Valeur médiane de ces précipitations et interprétation
Le nombre total de relevés étant de 30, la valeur médiane est la moyenne de la 15e et de la 16e valeur (par convention), les valeurs étant rangées par ordre croissant. D'après le tableau, les 15e et 16e valeurs sont toutes deux égales à 1,7 mm.
La valeur médiane des précipitations journalières est de 1,7 mm, ce qui signifie que pendant au moins la moitié du mois il a plu au moins 1,7 mm d'eau (et que pendant au moins la moitié du mois, il a plu au plus 1,7 mm d'eau).
3. Étendue de la série
L'étendue de la série est 42 mm, car la valeur maximale est 42 et la valeur minimale 0.
4. Nombre de jours où la hauteur des précipitations est supérieure ou égale à 13 mm ; pourcentage du nombre total de jours correspondant
Le nombre de jours où la hauteur des précipitations est supérieure ou égale à 13 mm est :
2 + 1 + 2 + 1 soit : 6, ce qui correspond à un pourcentage de : \frac{6}{30} × 100 = 20.
La hauteur des précipitations est supérieure ou égale à 13 mm 20 % des jours du mois.
5. Volume de pluie tombée sur la piste en avril
L'aire de la piste est de 160 000 m2 car : 3 200 × 50 = 160 000.
D'après la question 1., la hauteur totale des précipitations est de 187,3 mm, soit 187,3 × 10−3 m.
On a : 160 000 × 187,3 × 10−3 = 29 968.
Il a plu 29 968 m3 d'eau sur la piste en avril, soit environ 30 millions de litres (exactement 29 968 000).
Exercice 3
Figure géométrique tracée lorsqu'on exécute chacun des programmes
Programme A : un rectangle de longueur 300 et de largeur 70.
Programme B : un losange de côté 100.
Exercice 4
1. Expression, en fonction de n, de la distance parcourue quotidiennement en montée et en descente
La vitesse étant supposée constante à l'aller comme au retour, la distance parcourue à l'aller (resp. au retour) est proportionnelle au nombre de jours de trajet. (On ne peut pas résoudre le problème si l'on ne fait pas cette hypothèse.)
Lors de la descente, le batelier parcourt 120 km en n jours, la distance parcourue quotidiennement est donc : \frac{\mathbf{120}}{\mathbf{n}}.
Lors de la remontée, le batelier parcourt 120 km en n + 1 jours, la distance parcourue quotidiennement est donc : \frac{\mathbf{120}}{\mathbf{n+1}}.
2. Mise en équation
Comme le batelier parcourt chaque jour 6 km de moins lorsqu'il remonte la rivière que lorsqu'il la descend, on a :
\frac{\mathbf{120}}{\mathbf{n+1}}=\frac{\mathbf{120}}{\mathbf{n}}\mathbf{-6}.
3. Transformation de l'équation
On multiplie les deux membres de l'équation précédente par n(n + 1), il vient :
\frac{120n(n+1)}{n+1}=\frac{120n(n+1)}{n}-6n(n+1) ; d'où : 120n = 120(n + 1) − 6n(n + 1) et donc :
0 = 120 − 6n(n + 1) soit : n(n + 1) = 20.
4. Résolution et interprétation
Les décompositions multiplicatives de 20 sont (à l'ordre près) : 1 × 20, 2 × 10 et 4 × 5. La seule comportant deux entiers consécutifs est : 4 × 5, ce qui correspond, dans l'équation n(n + 1) = 20, à n = 4.
Le batelier a mis 4 jours à descendre la rivière (et 5 à la remonter).
Troisième partie
Situation 1
Remarque
Le problème posé aux élèves entre dans la catégorie des problèmes de proportionnalité simple, de type « problème de multiplication », au vu de la typologie de Vergnaud.
1. 
a) Procédures utilisées par chacun des trois élèves 1, 2 et 3
L'élève 1 pose l'addition itérée 13 fois du nombre 6 et l'effectue. Il semble compter de 6 en 6 mentalement, mais se trompe. Il fait une phrase de réponse conformément au résultat obtenu.
L'élève 2 dessine treize rangées de six œufs en notant le chiffre « 6 » à côté de chaque rangée. Il a, soit dénombré les œufs dessinés, soit compté de 6 en 6, sans se tromper. Sa phrase de réponse correspond au résultat trouvé (et attendu).
L'élève 3 pose la multiplication de 13 par 6 et l'effectue sans se tromper. Sa phrase de réponse correspond au résultat trouvé (et attendu).
b) Deux compétences acquises pour chacun des élèves 1 à 3
Les trois élèves ont en commun de savoir se représenter le problème et de savoir mobiliser une procédure de résolution adaptée.
Par ailleurs, l'élève 1 sait modéliser le problème par une addition itérée et poser une addition.
L'élève 2, quant à lui, sait dénombrer une grande quantité d'objets ou compter de 6 en 6.
L'élève 3 sait poser et effectuer une multiplication de deux entiers.
2. 
a) Compétence semblant acquise pour chacun des élèves 4, 5 et 6
L'élève 4 sait reconnaître un problème de type multiplicatif et poser la multiplication correspondante.
L'élève 5 sait poser et effectuer une addition de deux entiers.
L'élève 6 sait représenter de façon figurative la situation et la modéliser par une addition itérée. Il sait utiliser l'associativité de l'addition et effectuer mentalement l'addition itérée de 4 fois 6.
Remarque
Une seule compétence parmi celles mentionnées était demandée.
b) Erreurs commises
L'élève 4 multiplie correctement 3 unités par 6 et retient 1 dizaine, mais perd de vue l'opération en jeu lors de l'étape suivante et ajoute la retenue à la dizaine du nombre « 13 », sans avoir au préalable multiplié cette dizaine par 6.
L'élève 5 se trompe d'opération et n'a donc pas reconnu la nature du problème, qu'il considère comme additif ; il pose donc l'addition de 13 et de 6.
L'élève 6 se trompe en effectuant l'addition 24 + 24 + 24 + 6. Il additionne 6 (unités) avec les dizaines et ce, suite à une mauvaise disposition du calcul.
3. Aide pouvant être apportée à l'élève 5
L'enseignant peut aider l'élève à reconnaître le type de problème :
  • en explicitant les données : « il y a six œufs dans la première boîte, six œufs dans la deuxième, etc. » ;
  • en l'incitant à représenter la situation, ou en la représentant pour lui ;
  • en matérialisant l'énoncé par l'apport de boîtes à œufs.
4. Modification de l'énoncé amenant les élèves 1 et 6 à utiliser une multiplication
Il s'agit de dissuader ces élèves de recourir à l'addition itérée et/ou à la représentation figurative. Pour cela, l'enseignant peut modifier le nombre de boîtes évoquées dans l'énoncé : 31 au lieu de 13 ne constituera pas de difficulté supplémentaire au niveau du calcul de la multiplication, mais rendra le dessin et l'addition itérée trop chronophages et moins fiables (risque d'erreur lors d'un calcul mental trop long).
Situation 2
1. Compétences travaillées dans ces exercices
Deux compétences travaillées sont :
  • savoir reconnaître un problème de proportionnalité simple (multiplication pour les problèmes 1 et 4 et division-partition pour les problèmes 2 et 3) et mobiliser l'opération correspondante ;
  • savoir multiplier ou diviser un nombre décimal par 10 ou 100.
2. 
a) Analyse de l'erreur de Théo et hypothèse sur son origine
Théo semble prolonger la règle qu'il a mémorisée pour le produit d'un nombre entier par 100, à savoir que l'on ajoute deux zéros à la droite de l'écriture du nombre. Ainsi, il écrit deux zéros à la droite de l'écriture 0,7 et obtient 0,700. La verbalisation usuelle, à savoir : « zéro virgule sept » pour le nombre de départ et « zéro virgule sept cents » pour le nombre obtenu ne permet pas à Théo de remettre en cause sa procédure.
Remarque
Cette verbalisation ne doit bien sûr pas être enseignée.
b) Procédure utilisée par Eugénie et justification mathématique
Eugénie considère que, pour obtenir le produit d'un nombre décimal par 100, il suffit de déplacer tous les chiffres de deux rangs vers la gauche dans l'écriture du nombre, c'est-à-dire que le chiffre des centièmes devient celui des unités, le chiffre des dixièmes devient celui des dizaines, le chiffre des unités devient celui des centaines (et comme c'est zéro, ici, on ne l'écrit plus).
Justification mathématique
L'écriture canonique \overline{a,bc} correspond à la décomposition : a × 100b × 10−1c × 10−2.
Lorsque l'on multiplie par 100, soit 102, on obtient : a × 100+2b × 10−1+2c × 10−2+2.
Soit : a × 102b × 101c × 100, ce qui s'écrit : \overline{abc}.
Remarque
Cette justification peut se généraliser à des nombres décimaux comportant plus de chiffres et à des produits par 10n : on décale alors les chiffres de n rangs vers la gauche.
Situation 3
1. Description des erreurs
Calcul 1 : l'élève ne tient pas compte du 0 au rang des dixièmes dans le facteur 3,08 ; il traduit le passage du rang des centièmes (chiffre 8) à celui des unités (chiffre 3) par un décalage d'un rang vers la gauche (au lieu de deux) dans le calcul des produits intermédiaires.
Calcul 2 : l'élève ne traduit pas le changement d'unité de numération par un décalage d'un rang vers la gauche lors du calcul des produits intermédiaires ; ces derniers sont donc disposés les uns en dessous des autres. Ainsi, 2 531 × 146 est traité comme : 2 531 × 6 + 2 531 × 4 + 2 531 × 1.
Calcul 3 : l'élève ne tient pas compte de la virgule présente dans l'un des facteurs lors du traitement du résultat. Ainsi, il effectue 625 × 48 au lieu de 62,5 × 48.
Calcul 4 : l'élève oublie la retenue générée lors du calcul de la somme « 4 + 6 » au rang des dizaines lors du calcul de la somme « 2 + 3 » au rang des centaines. Il obtient donc 75,08 au lieu de 76,08 lors du calcul « 3,17 × 24 ».
Remarque
Toutes les composantes des calculs non évoquées sont justes.
2. Moyens de contrôle du résultat pour les calculs 1 et 3
Hormis l'usage d'une calculatrice, on peut proposer aux élèves ayant effectué les calculs 1 et 3 d'établir un ordre de grandeur du résultat. En effet, ces deux élèves n'ont pas commis d'erreur de multiplication ou d'addition sur les entiers, mais ont mal tenu compte des unités de numération pour l'un des deux facteurs, ce qui leur fait produire un résultat très éloigné de celui attendu. Ainsi, pour le calcul 1, l'élève pourra observer que le résultat doit être proche de 37 × 3, soit 111, alors qu'il a obtenu un résultat proche de 14. De même, pour le calcul 3, l'élève estimant le résultat à 60 × 50, soit 3 000, réaliserait que 30 000 n'est pas une réponse plausible.
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