Épreuve d'admissibilité, avril 2018, groupement académique 1

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Sujet

Première partie (13 points)
Comment lire les informations inscrites sur un pneumatique ?
La largeur
La largeur est exprimée en millimètres.
La hauteur
Ce nombre ne donne pas directement la mesure de la hauteur : il indique à quel pourcentage de la largeur correspond la hauteur (ici, la hauteur vaut 65 % de la largeur).
Le diamètre
Le diamètre est exprimé en pouces.
Il correspond au diamètre de la jante (le R signifie « Radial »).
L'indice de poids toléré (tableau 1)
L'indice de poids toléré est un code numérique qui correspond à la charge maximale qu'un pneu peut supporter.
L'indice de vitesse (tableau 2)
L'indice de vitesse est un code alphabétique qui correspond à la vitesse maximale à laquelle un pneu peut rouler. V correspond à 240 km/h.

Tableau 1
Indice de poids toléré
Poids en kg
55
218
58
236
59
243
60
250
61
257
62
265
63
272
64
280
65
290
66
300
67
307
68
315
69
325
70
335
71
345
72
355
73
365
74
375
75
387
76
400
77
412
78
425
Tableau 1

Tableau 2
Indice de vitesse
Vitesse en km/h
Q
160
R
170
S
180
T
190
U
200
H
210
V
240
ZR
> 240
W
270
Y
300
Tableau 2

sources :
http://www.fiches-auto.fr/articles-auto/pneu/s-630-indice-de-vitesse.php
http://www.pneus-online.fr/indices-charge-et-vitesse-conseils.html
A. Lecture des informations sur un pneumatique
Pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les informations contenues dans les documents précédents.
1. 
On considère un pneumatique sur lequel est inscrit « 195/65 R15 68V ».
a) Sachant que 1 pouce vaut 2,54 cm, calculer le diamètre de la jante en centimètres.
b) Montrer que la hauteur du pneu est 12,675 cm.
c) Calculer le diamètre total de la roue en centimètres.
2. On considère désormais un pneu radial pouvant supporter une charge maximale de 412 kg et rouler à la vitesse maximale de 270 km/h. Sa largeur est de 20,5 cm, le diamètre de sa jante est de 40,64 cm et son diamètre total est de 63,19 cm.
Indiquer, sous la forme « 195/65 R15 68V », les informations qui seront inscrites sur ce pneu.
B. Distance d'arrêt
La distance d'arrêt dA d'un véhicule correspond à la distance de réaction dR additionnée à la distance de freinage dF.
Si V est la vitesse de la voiture au moment où le conducteur voit l'obstacle (en m/s : mètre par seconde), la distance de freinage (en mètres) se calcule de la manière suivante :
dFV2 × k
où k est une constante qui dépend de l'état de la route (k = 0,14 sur route mouillée, et k = 0,073 sur route sèche).
On admet alors que :
dAV × tR + kV2
tR est le temps de réaction, en secondes.
1. On estime qu'un conducteur vigilant a un temps de réaction de 0,75 seconde.
Calculer la distance d'arrêt pour un véhicule roulant à 90 km/h sur route mouillée.
2. Pour un conducteur vigilant, la distance d'arrêt sur route sèche est-elle proportionnelle à la vitesse ? Expliquer la réponse.
3. Lecture de diagramme
Le diagramme ci-dessous représente la distance d'arrêt sur route sèche d'un véhicule en fonction de sa vitesse.
Zoom
Sources : http://velobuc.free.fr/freinage.html
Par exemple, on peut lire que, pour une vitesse de 180 km/h (ou 50 m/s), un véhicule parcourt 37,5 m pendant le temps de réaction, que le temps nécessaire à son arrêt total sera de 9,08 s, et que sa distance d'arrêt sera alors de 245,5 m.
En utilisant ce diagramme :
a) donner la distance d'arrêt d'un véhicule roulant à 110 km/h ;
b) donner la distance parcourue pendant le temps de freinage d'un véhicule roulant à 80 km/h ;
c) donner le temps que met un véhicule roulant à 130 km/h pour s'arrêter ;
d) donner la vitesse d'un véhicule sachant que la distance de réaction est de 25 m ;
e) dire si un conducteur roulant à 27,8 m/s et apercevant un obstacle à 100 m pourra s'arrêter à temps.
C. Au cinéma
Une voiture est filmée lors d'une prise de vue cinématographique. Elle est équipée de roues à cinq rayons ayant un diamètre total de 54 cm. L'une de ces roues est représentée ci-dessous :
1. Calculer la circonférence de cette roue en cm (arrondie au millimètre).
2. 
La voiture roule à 110 km/h.
a) Calculer le nombre de tours par seconde que fait la roue (au tour près).
b) La caméra utilisée a une vitesse de défilement de 24 images par seconde. Combien de tours aura fait le pneu de la voiture entre deux images ?
3. À quelle vitesse, en km/h, devrait rouler la voiture pour que, en regardant le film, on ait l'impression que ses roues ne tournent pas ?
Deuxième partie (13 points)
Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.
Exercice 1
Zoom
Cette figure n'est pas à l'échelle.
Un éleveur possède un silo à farine formé de deux solides de révolution : un cône et un cylindre, comme représenté sur la figure ci-dessus.
Ces deux solides ont le même axe de révolution.
Les centres D et A des bases sont alignés avec le sommet S du cône.
On donne : AS = 1,60 m ; DA = 2,40 m ; AB = 1,30 m.
On rappelle les formules suivantes :
  • volume du cylindre : Vcylindre = aire de la base × hauteur ;
  • volume du cône : Vcône = \frac{\mathrm{aire\ de\ la\ base} \times \mathrm{hauteur}}{3}.
1. Quel est le volume en m3 du silo à farine ? Arrondir au centième.
2. Le silo est rempli de farine d'orge au \frac{6}{7} de son volume total. Une vache mange en moyenne 3 L de farine par jour. L'éleveur possède 48 vaches. Aura-t-il assez de farine pour nourrir ses 48 vaches durant 90 jours ?
3. Pour réaliser des travaux, deux échelles ont été posées contre le silo. Elles sont représentées sur la figure par les segments [BM] et [CN].
On donne SM = 2,1 m et SN = 3,3 m.
On note H le pied de la hauteur issue de B dans le triangle SBM.
Les points S, H, M et N sont alignés.
Les points C, B et H sont alignés.
Les deux échelles sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
Exercice 2
Dans une loterie, 300 billets sont vendus et il y a 37 billets gagnants. Les autres billets sont des billets perdants.
Parmi les 37 billets gagnants :
  • 2 de ces billets permettent de gagner une télévision ;
  • 5 permettent de gagner un bon de réduction de 100 € ;
  • 10 permettent de gagner un bon de réduction de 50 € ;
  • 20 permettent de gagner un porte-clés.
1. Quelle est la probabilité de gagner une télévision si l'on achète un billet ?
2. Quelle est la probabilité de gagner un bon de réduction (peu importe la somme) si l'on achète un billet ?
3. 
En plus de l'achat des bons de réduction dans plusieurs magasins, l'organisateur de la loterie dépense 500 € pour chaque télévision et 0,50 € pour chaque porte-clés.
a) À quel prix doit-il vendre les billets de loterie pour être sûr que ce jeu ne lui fera pas perdre d'argent ?
b) S'il souhaite vendre chaque billet 2 €, combien doit-il ajouter de billets perdants (en ne modifiant pas le nombre de billets gagnants et les lots correspondants) pour être assuré que ce jeu ne lui fera pas perdre d'argent ?
Exercice 3
Voici une copie d'écran d'un algorithme réalisé à l'aide du logiciel Scratch.
1. Quelles sont les valeurs des variables a, b et n à la fin du premier passage dans la boucle, puis à la fin du deuxième passage ?
2. Que réalise ce programme ?
Exercice 4
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.
1. On considère un cube dont la surface totale extérieure mesure 576 cm2.
Affirmation 1 : Son volume est inférieur à 1 litre.
2. Affirmation 2 : L'inverse de la somme de deux nombres est égal à la somme des inverses de ces deux nombres.
3. Un prix subit une baisse de 30 %, puis le nouveau prix subit une hausse de 50 %.
Affirmation 3 : le prix final est 5 % plus élevé que le prix initial.
4. Soit la figure ci-dessous faite à main levée.
Affirmation 4 : Les points C, D et E sont alignés.
Troisième partie (14 points)
Cette partie est composée de trois situations indépendantes.
Situation 1
Extrait du Programme pour le cycle 2 – Nombres et calculs
Connaissances et compétences associées
Exemples de situations, d'activités et de ressources pour l'élève
Calculer avec des nombres entiers
Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.
Calculer mentalement :
  • sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie ;
  • sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées.
Résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques simples.
Utiliser les propriétés des opérations, y compris celles du type 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2.
Calcul en ligne : calculer en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes.
Exemples de stratégies de calcul en ligne :
  • 5 × 36 = 5 × 2 × 18 = 10 × 18 = 180 ;
  • 5 × 36 = 150 + 30 = 180 ;
  • 5 × 36u = 15d + 30u = 15d + 3d = 180u.
Utiliser des écritures en ligne du type 21 = 4 × 5 + 1 pour trouver le quotient et le reste de la division de 21 par 4 (ou par 5).
Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l'addition, la soustraction, la multiplication.
L'apprentissage des techniques opératoires posées (addition, soustraction, multiplication) se fait en lien avec la numération et les propriétés des opérations.

1. Donner deux raisons pour lesquelles le calcul en ligne est, en termes d'apprentissage, complémentaire au calcul posé.
2. Le calcul suivant est proposé à des élèves de cycle 2 qui pratiquent régulièrement le calcul en ligne : 28 + 17 = ?
Expliciter trois stratégies qu'un élève de cycle 2 pourrait mobiliser pour effectuer ce calcul en ligne.
3. Expliciter trois stratégies de calcul mental ou en ligne qu'un élève de cycle 2 pourrait mobiliser pour effectuer 14 × 5. Pour chacune, indiquer quelles sont les connaissances et les propriétés utilisées.
Situation 2
1. À partir des productions suivantes, expliquer pour chaque élève :
  • la démarche utilisée ;
  • les compétences qui semblent acquises ;
  • les éventuelles erreurs.
Productions d'élèves de CM2
Zoom
Énoncé
Énoncé
Zoom
Nicolas
Nicolas
Zoom
Thomas
Thomas
Zoom
Amina
Amina
2. Que peut proposer l'enseignant pour amener Thomas à rédiger sa réponse sous forme d'écriture à virgule ?
Situation 3
Des élèves d'une classe de cycle 3 doivent calculer 3,12 + 5,7 et expliquer comment ils procèdent. Voici des exemples de productions d'élèves.
Zoom
Benjamin
Benjamin
Zoom
Océane
Océane
Zoom
Isabelle
Isabelle
Zoom
Pierre
Pierre
1. À partir de l'analyse des différentes productions, expliquer quelles sont les différentes démarches proposées.
2. Quelle représentation erronée des nombres décimaux pourrait être à l'origine des erreurs des élèves ?
3. Proposer trois tâches ou activités que pourrait mettre en place l'enseignant pour remédier à ce type d'erreurs.

Corrigé

Remarque
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Lecture des informations sur un pneumatique
1. 
Pneumatique sur lequel est inscrit « 195/65 R15 68V »
a) Diamètre de la jante
Remarque
On se réfère à l'inscription « R15 ».
Le diamètre de la jante est : 15 pouces. Comme 1 pouce vaut 2,54 cm et que : 15 × 2,54 = 38,1, on en déduit que le diamètre de la jante est : 38,1 cm.
b) Hauteur du pneu
Remarque
On se réfère à l'inscription « 195/65 ».
La largeur du pneu est de 195 mm et la hauteur représente 65 % de la largeur.
On a : 195 × \frac{65}{100} = 126,75.
La hauteur du pneu est donc de 126,75 mm, soit : 12,675 cm.
c) Diamètre total de la roue
Le diamètre de la roue correspond à la hauteur de la jante (question 1.a)), plus deux fois la hauteur du pneu (question 1.b)).
On a : 38,1 + 2 × 12,675 = 63,45.
La hauteur du pneu est : 63,45 cm.
2. 
Transcription des informations
Remarque
À partir des informations données, il faut établir : la largeur, le rapport hauteur/largeur, le diamètre de la jante, l'indice de poids toléré et l'indice de vitesse.
• Largeur : la largeur indiquée est 20,5 cm, soit : 205 mm.
• Rapport hauteur/largeur : le diamètre total est 63,19 cm et le diamètre de la jante 40,64 cm.
On a : (63,19 − 40,64) ÷ 2 = 11,275.
La hauteur du pneu est : 11,275 cm.
Et \frac{11,275}{20,5}=0,55=\frac{55}{100}.
Le rapport hauteur/largeur est donc de 55 %.
Remarque
Il ne faut pas omettre ici que le diamètre total correspond au diamètre de la jante plus deux fois la hauteur du pneu (cf. schéma donné dans l'énoncé).
• Diamètre de la jante : 40,64 cm correspondent à 16 pouces car \frac{40,64}{2,54} = 16.
• Indice de poids toléré : dans le Tableau 1, on lit que 412 kg correspondent à un indice de 77.
• Indice de vitesse : dans le Tableau 2, on lit qu'une vitesse de 270 km/h correspond à l'indice W.
L'inscription à porter sur le pneu est donc : 205/55 R16 77W.
B. Distance d'arrêt
1. 
Distance d'arrêt d'un véhicule roulant à 90 km/h sur route mouillée
Remarque
Attention : dans la formule, la vitesse est exprimée en m/s, alors que l'énoncé fournit une vitesse exprimée en km/h.
Convertissons la vitesse en m/s : comme 1 km = 1 000 m et que 1 h = 3 600 s, on a :
90 km/h = \frac{90\,000}{3\,600} m/s = 25 m/s.
Sur route mouillée, k = 0,14 et le temps de réaction donné est 0,75 s. On applique la formule :
dAV × tR + kV2 = 25 × 0,75 + 0,14 × 252 = 106,25.
La distance d'arrêt est : 106,25 m.
2. 
Relation entre distance d'arrêt et vitesse (sur route sèche)
Remarque
La distance d'arrêt n'est pas proportionnelle à la vitesse ni sur route sèche ni sur route mouillée. Cela peut se justifier de plusieurs façons, dont voici des exemples.
1er type d'argument possible
Une situation de proportionnalité se modélise par une fonction linéaire, de la forme : y = ax. Or, ici, la distance d'arrêt n'est pas une fonction linéaire de la vitesse, puisque la formule fait intervenir la vitesse au carré.
La distance d'arrêt n'est donc pas proportionnelle à la vitesse sur route sèche.
2e type d'argument possible
Si la distance d'arrêt était proportionnelle à la vitesse, il faudrait que, pour une vitesse doublée, la distance d'arrêt soit doublée aussi.
Calculons la distance d'arrêt d'un conducteur vigilant sur route sèche pour une vitesse de 25 m/s :
dA = 25 × 0,75 + 0,073 × 252 = 64,375 m.
Puis, calculons la distance d'arrêt pour une vitesse de 50 m/s :
dA' = 50 × 0,75 + 0,073 × 502 = 220 m.
Or 220 \neq 2 × 64,375. Lorsque la vitesse est doublée, la distance d'arrêt ne l'est pas.
La distance d'arrêt n'est donc pas proportionnelle à la vitesse sur route sèche.
3. 
Lecture de diagramme
a) Distance d'arrêt d'un véhicule roulant à 110 km/h : 101 m.
b) Distance parcourue pendant le freinage d'un véhicule roulant à 80 km/h : 57,7 m − 16,7 m = 41 m.
c) Durée nécessaire à l'arrêt d'un véhicule roulant à 130 km/h : 6,76 s.
d) Vitesse d'un véhicule, sachant que la distance de réaction est 25 m : 120 km/h.
e) Distance parcourue pendant le freinage d'un véhicule roulant à 27,8 m/s : 85,4 m ; le véhicule peut donc s'arrêter à temps.
C. Au cinéma
1. 
Circonférence de la roue
Si D est le diamètre d'un cercle, le périmètre de celui-ci est donné par la formule : πD.
On a : 54 × π \approx 169,6.
La circonférence de la roue est donc d'environ 169,6 cm.
2. 
a) Vitesse de rotation de la roue pour une vitesse du véhicule de 110 km/h
Si la voiture roule à 110 km/h, elle parcourt 110 km en 1 heure, c'est-à-dire 110 000 m en 3 600 s.
En 1 seconde, elle parcourt donc : \frac{110\,000}{3\,600} m. Un tour de roue permet au véhicule d'avancer d'une distance correspondant à la circonférence de la roue, soit, d'après la question précédente : 169,6 cm = 1,696 m.
On a donc : \frac{110\,000}{3\,600} ÷ 1,696 \approx 18.
En une seconde, la roue fait environ 18 tours.
b) Nombre de tours de roue entre deux images
La caméra fait défiler 24 images par seconde et, en une seconde, la roue fait 18 tours ; donc, entre deux images, il y a \frac{\mathbf{18}}{\mathbf{24}}=\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}} tour de roue.
3. 
Vitesse de la voiture pour un effet optique d'immobilité des roues
On aura l'impression que les roues de la voiture ne tournent pas si la roue tourne d'un cinquième de tour – ou d'un nombre entier de fois un cinquième de tour – entre deux images, car la roue comporte cinq rayons.
Supposons que la roue tourne d'un cinquième de tour entre deux images.
En une seconde, 24 images défilent, ce qui correspond donc à \frac{24}{5} tours de roue.
Or, en un tour complet de roue, la voiture avance d'environ 1,696 m (cf. question C.1.).
En \frac{24}{5} tours, elle avance donc de (1,696 m × 24) ÷ 5 = 8,1408 m.
Si la voiture parcourt 8,1408 m en une seconde, elle parcourt 8,1408 m × 3 600 \approx 29 307 m \approx 29 km en une heure.
Pour que la roue tourne d'un cinquième de tour entre deux images, il faut que la voiture roule à 29 km/h.
L'effet optique d'immobilité des roues sera obtenu pour toutes les vitesses de déplacement du véhicule qui sont des multiples de 29 km/h (et dans la limite du possible technologique et des limitations de vitesse).
Deuxième partie
Exercice 1
1. Volume du silo à farine
Le silo à farine est composé d'un cylindre et d'un cône. On a donc :
Vsilo = Vcône + Vcylindre = \frac{\pi\times \mathrm{AB}^{2}\times \mathrm{AS}}{3} + π × AB2 × AD.
Or AB = 1,3 m, AS = 1,6 m et AD = 2,4 m.
On a donc : Vsilo\frac{\pi\times 1,3^{2}\times 1,6}{3} + π × 1,32 × 2,4 \approx 15,57 m3.
Le silo peut contenir 15,57 m3 de farine.
2. Farine nécessaire à l'alimentation de 48 vaches pendant 90 jours
Si le silo est rempli aux \frac{6}{7} de son volume total, c'est qu'il contient environ 15,57 × 6 ÷ 7 m3 de farine, soit 13,346 m3. Or 1 m3 = 1 000 L ; le fermier dispose donc de 13 346 L de farine.
Pour nourrir 48 vaches pendant 90 jours, sachant qu'une vache mange 3 L de farine par jour, il faut 12 960 L de farine (car 48 × 90 × 3 = 12 960).
On observe que : 12 960 < 13 346.
Le fermier a donc assez de farine pour nourrir ses bêtes.
3. Parallélisme des deux échelles
La situation est modélisée par deux droites (BC) et (MN) sécantes en H.
Le quadrilatère SABH a trois angles droits, c'est un rectangle. Donc AB = SH = 1,3 m.
Les points S, H, M et S, H, N sont alignés dans cet ordre, donc :
HM = SM − SH = 2,1 − 1,3 = 0,8 m et HN = SN − SH = 3,3 − 1,3 = 2 m.
Par conséquent :
\frac{\mathrm{HM}}{\mathrm{HN}}=\frac{0,8}{2} = 0,4
et \frac{\mathrm{HB}}{\mathrm{HC}}=\frac{\mathrm{SA}}{\mathrm{SA}+\mathrm{AD}}=\frac{1,6}{1,6+2,4}=\frac{1,6}{4} = 0,4.
On a donc : \frac{\mathrm{HM}}{\mathrm{HN}}=\frac{\mathrm{HB}}{\mathrm{HC}}.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les échelles sont donc parallèles.
Exercice 2
Le tirage est supposé équiprobable (bien que cela ne soit pas dit).
1. Probabilité de gagner une télévision
Il y a deux billets permettant de gagner une télévision sur les 300 billets vendus.
La probabilité de gagner une télévision est de \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{300}}, soit \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{150}}, soit environ 0,67 %.
2. Probabilité de gagner un bon de réduction
Il y a 15 billets permettant de gagner un bon de réduction sur les 300 billets vendus.
La probabilité de gagner un bon de réduction est de \frac{\mathbf{15}}{\mathbf{300}}, soit \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{20}}, soit 5 %.
3. 
Calculons la dépense totale de l'organisateur :
2 × 500 + 5 × 100 + 10 × 50 + 20 × 0,5 = 2 010.
L'organisateur dépense 2 010 €.
a) Prix de vente minimum pour ne pas perdre d'argent
Pour ne pas perdre d'argent, l'organisateur doit gagner au moins 2 010 € en vendant ses 300 billets.
On a : 2 010 ÷ 300 = 6,7.
Pour ne pas perdre d'argent, il faut que l'organisateur vende les billets au moins 6,70 €.
b) Nombre de billets perdants à ajouter si le prix de vente est 2 euros
La vente des billets devant rapporter au moins 2 010 €, si les billets sont vendus 2 €, il faut en vendre au moins 1 005 (car 1 005 = 2 010 ÷ 2).
Le nombre total de billets gagnants n'a pas changé ; pour passer de 300 à 1 005 billets vendus, il faut donc ajouter 1 005 − 300 = 705 billets perdants.
Si le prix de vente est 2 €, il faut ajouter 705 billets perdants.
Exercice 3
1. Valeurs de a, b et n après passages dans la boucle
Après un passage dans la boucle, a vaut 5, b vaut 5 et n vaut 1.
À la fin du deuxième passage, a vaut 5, b vaut 25 et n vaut 2.
2. Que réalise le programme ?
Ce programme calcule les dix puissances successives de 5, de 51 à 510.
Exercice 4
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. L'aire de la surface totale extérieure mesure 576 cm2, or cette surface est constituée de 6 carrés isométriques (superposables) ; chaque carré a donc une aire de 576 cm2 ÷ 6 = 96 cm2.
Les côtés de ces carrés, qui correspondent aux arêtes du cube, ont donc une longueur de \sqrt{96} cm.
Un cube de volume 1 L a des arêtes de longueur mesurant 10 cm. Or \sqrt{96} < 10 ; le cube considéré a donc un volume inférieur à 1 L.
Conclusion : l'affirmation est vraie.
2. Voici un contre-exemple.
Choisissons deux nombres, par exemple 2 et 3.
L'inverse de la somme de 2 et de 3 est : \frac{1}{2+3}=\frac{1}{5}.
La somme des inverses de 2 et de 3 est : \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\neq\frac{1}{5}.
Conclusion : l'affirmation est fausse.
3. Un prix subissant une baisse de 30 % est multiplié par 1 − 0,30 = 0,70.
S'il subit ensuite une hausse de 50 %, le résultat est multiplié par 1 + 0,50 = 1,50.
Le prix initial est donc multiplié par 0,7 × 1,5 = 1,05 = 1 + 0,05, ce qui correspond bien à une augmentation de 5 %.
Conclusion : l'affirmation est vraie.
4. Les points C, D et E sont alignés dans cet ordre si et seulement si l'angle \widehat{\mathrm{CDE}} est plat.
Le triangle ACD est rectangle et isocèle en C, donc \widehat{\mathrm{CDA}} = 45°.
Le triangle ABD est isocèle en B ; donc les deux angles à la base [AD] sont de même mesure, d'où : \widehat{\mathrm{ADB}} = 50°.
Le triangle BED est rectangle en E ; les deux angles aigus sont donc complémentaires ; d'où : \widehat{\mathrm{BDE}} = 90° − 25° = 65°.
On en déduit : \widehat{\mathrm{CDE}}=\widehat{\mathrm{CDA}}+\widehat{\mathrm{ADB}}+\widehat{\mathrm{BDE}} = 45° + 50° + 65° = 160°.
L'angle \widehat{\mathrm{CDE}} n'est donc pas plat, et les points C, D et E ne sont donc pas alignés.
Conclusion : l'affirmation est fausse.
Troisième partie
Situation 1
1. Complémentarité du calcul en ligne et du calcul posé
Si le calcul posé permet toujours d'effectuer les calculs, le calcul en ligne est très souvent plus rapide.
En termes d'apprentissages, le calcul en ligne est complémentaire du calcul posé pour plusieurs raisons :
  • il demande à mobiliser les propriétés opératoires qui sont également à l'œuvre dans le calcul posé et en permet donc une première, puis une régulière fréquentation ;
  • il permet de renforcer la compréhension de l'écriture décimale des nombres (unités de numération et lien entre ces dernières) ;
  • il permet de manipuler les propriétés des opérations (distributivité, commutativité, etc.) utilisées dans les algorithmes de calcul posé.
Par ailleurs, il permet aussi d'entretenir et d'étendre la mémorisation des faits numériques, utiles dans le calcul posé.
Remarque
On peut également observer que, si le calcul posé garantit l'obtention du résultat, ce qui peut être perçu comme rassurant par les élèves, le calcul en ligne développe chez ces derniers l'adaptabilité et l'autonomie.
2. Stratégies possibles en cycle 2 pour effectuer le calcul en ligne 28 + 17
• 28 + 17 = (28 + 2) + (17 − 2) = 30 + 15 = 45
L'élève cherche mentalement le complément à la dizaine de 28 ; il ajoute ce complément au premier terme et le retranche au second.
• 28 + 17 = 28 + 20 − 3 = 48 − 3 = 45
L'élève décompose soustractivement le second terme en privilégiant la dizaine supérieure ; il opère ensuite successivement une addition, puis une soustraction.
• 28 + 17 = 20 + 8 + 10 + 7 = (20 + 10) + (8 + 7) = 30 + 15 = 45
L'élève décompose chaque terme selon les unités de numération, qu'il additionne séparément avant d'additionner les deux résultats intermédiaires obtenus.
Remarque
Il y a bien sûr d'autres possibilités.
3. Stratégies possibles en cycle 2 pour effectuer mentalement ou en ligne le calcul 14 × 5, et connaissances et propriétés utilisées
• 14 × 5 = (7 × 2) × 5 = 7 × (2 × 5) = 7 × 10 = 70
Connaissances mobilisées :
  • doubles et moitiés (14 est le double de 7) ;
  • produits par 10.
Propriété : associativité de la multiplication.
• 14 × 5 = 14 × (10 ÷ 2) = (14 × 10) ÷ 2 = 140 ÷ 2 = 14d ÷ 2 = 7d = 70
Connaissances mobilisées :
  • doubles et moitiés (5 est la moitié de 10 et 7 est la moitié de 14) ;
  • produits par 10 ;
  • décomposition selon des unités de numération.
Propriété : associativité de la multiplication.
• 14 × 5 = (10 + 4) × 5 = (10 × 5) + (4 × 5) = 50 + 20 = 70
Connaissances mobilisées :
  • table de 5 ;
  • décomposition selon les unités de numération.
Propriété : distributivité de la multiplication sur l'addition.
Situation 2
1. Analyse de production d'élèves (démarche, compétences acquises, erreurs)
Remarque
Pour ce type de question, il est recommandé de présenter la réponse à l'aide d'un tableau. La réponse gagne en lisibilité et la candidate ou le candidat s'assure qu'elle/il a bien abordé tous les aspects de la question…

Description de la démarche
Compétences acquises
Éventuelles erreurs
Nicolas
  • Additionne d'abord les parties entières des différentes mesures, puis les parties fractionnaires (ce résultat est donné sous forme fractionnaire).
  • Écrit les deux sommes en ligne et les effectue mentalement.
  • Ajoute ensuite mentalement les unités et les dixièmes, en passant de l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale.
  • A compris le concept de périmètre et sait quelle opération réaliser pour le calculer.
  • A compris le principe d'addition de fractions décimales de même dénominateur.
  • Sait que 10 dixièmes correspondent à une unité (noté par le passage de 16 à 17).
  • Se trompe dans le calcul mental de la somme de nombres entiers : il obtient 16 unités au lieu de 15 unités, puis 11 dixièmes au lieu de 12 dixièmes.
  • Erreur d'écriture lors du passage de l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale : le dixième restant après échange de 10 dixièmes contre une unité est écrit au rang des centièmes.
Thomas
  • Comme Nicolas, effectue mentalement deux calculs en ligne séparés pour les unités et pour les dixièmes.
  • Donne sa réponse sous forme mixte, en agrégeant écriture décimale et écriture fractionnaire.
  • A compris le concept de périmètre et sait quelle opération réaliser pour le calculer.
  • A compris le principe d'addition de fractions décimales de même dénominateur.
  • Sait additionner mentalement plusieurs entiers inférieurs à 10.
Sa réponse est juste, mais formulée de façon non canonique.
Amina
  • Effectue également les calculs séparément et en ligne des unités et des dixièmes, avec à chaque fois une étape intermédiaire. Elle optimise son calcul des unités en choisissant d'abord de calculer 6 et 4.
  • Additionne ensuite mentalement les 15 unités aux 12 dixièmes trouvés.
  • Donne le résultat tout d'abord sous forme mixte, puis décimale.
  • A compris le concept de périmètre et sait quelle opération réaliser pour le calculer.
  • A compris le principe d'addition de fractions décimales de même dénominateur.
  • Sait additionner mentalement plusieurs entiers inférieurs à 10.
  • Sait que 10 dixièmes correspondent à une unité.
  • Sait passer de l'écriture fractionnaire à l'écriture décimale.
  • Pas d'erreur de calcul.
  • L'écriture des calculs en ligne est certes mathématiquement fausse, mais correspond à la transcription de la chronologie des calculs effectués. Ces écritures sont tolérées au cycle 3 (cf. document d'accompagnement des programmes).
Remarque : Les enseignants font toutefois en sorte que ces écritures évoluent vers des écritures mathématiquement justes.

2. Comment amener Thomas à rédiger sa réponse sous forme d'écriture décimale
• Une première façon de l'amener à rédiger sa réponse sous forme décimale est peut-être de le lui demander explicitement !
L'énoncé donnant les mesures sous forme mixte, la réponse de Thomas traduit peut-être un effet de contrat.
• Dans un deuxième temps, si Thomas a des difficultés à effectuer la transcription, l'enseignant peut retravailler avec lui le sens de l'écriture décimale, en insistant sur les relations entre unités de numération. Pour ce faire, il peut s'appuyer sur du matériel de numération ou une représentation à l'aide de la droite graduée.
Situation 3
1. Démarches proposées
Benjamin additionne mentalement séparément la partie entière et la partie décimale, en traitant les deux parties comme des entiers, puis il agrège ses deux résultats (et trouve un résultat erroné).
Océane pose le calcul, en alignant à droite les parties entières d'un côté, et les parties décimales de l'autre ; elle trouve le même résultat que Benjamin.
Isabelle transforme chacune des deux écritures décimales en fraction décimale ; elle convertit la deuxième en centièmes pour que les deux fractions aient le même dénominateur ; elle additionne ensuite les numérateurs en posant l'addition, puis répond sous la forme d'une fraction décimale. Enfin, elle transcrit sa réponse sous forme décimale pour compléter l'égalité écrite en début de production.
Pierre décompose chacun des deux nombres en la somme d'un entier et d'une fraction décimale inférieure à 1. Il additionne en ligne les fractions décimales entre elles, en effectuant de tête la conversion entre les dixièmes et les centièmes, puis il additionne en ligne les unités entre elles. Il ajoute ensuite la partie entière et la fraction décimale, et écrit le résultat sous forme décimale.
2. Représentations erronées des élèves concernant les décimaux
Benjamin et Océane considèrent sans doute l'écriture décimale d'un nombre décimal comme « deux nombres entiers séparés par une virgule ».
3. Trois tâches ou activités pouvant être proposées par l'enseignant pour remédier aux erreurs de représentation
L'enseignant peut proposer plusieurs activités de remédiation :
  • activité de conversion entre les écritures décimales et les écritures fractionnaires, pour travailler le sens de chacune de ces deux écritures ;
  • activité de représentation des unités, des dixièmes et des centièmes, avec du matériel de numération, des dessins (rectangles) ou la droite graduée ;
  • activité de conversion entre unités de numération, avec ou sans représentation ou matériel.
Par ailleurs, une oralisation appropriée de la part de l'enseignant et un entraînement des élèves à oraliser correctement les décimaux (« 5 unités et 7 dixièmes » pour 5,7, par exemple) permettront de conscientiser et d'expliciter la valeur des chiffres dans l'écriture décimale.
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