Épreuve d'admissibilité, sujet zéro

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Sujet

Problème autour du théorème de Pythagore (13 points)
L'objet de ce problème est la démonstration, par une méthode classique, du théorème de Pythagore, et son utilisation pour calculer des distances dans une situation concrète.
Ce problème comprend deux parties A et B. Ces deux parties sont indépendantes.
Dans tout le problème, on désigne par théorème de Pythagore l'énoncé suivant :
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égale au carré de l'hypoténuse.
Partie A : démonstration par la méthode attribuée à Abraham Garfield (1831-1881)
Dans la figure ci-dessous, les triangles ABC, BDE, BCE sont rectangles respectivement en A, D et B.
On pose : AB = DE = c ; AC = BD =  b ; BC = BE = a.
1. 
Justifier que les points A, B et D sont alignés.
2. 
Justifier que le quadrilatère ADEC est un trapèze.
3. Exprimer de deux manières différentes l'aire du trapèze ADEC en fonction de a, b et c.
4. 
En déduire l'égalité : a2 = b2 + c2.
Partie B : une application du théorème de Pythagore
La courbure terrestre limite la vision lointaine sur Terre.
Plus l'altitude du point d'observation est élevée, plus la distance théorique de vision est grande.
Dans cet exercice, la Terre est assimilée à une sphère de centre A de rayon 6 370 km.
La figure 1 ci-dessous représente une partie d'une vue en coupe de la Terre, qui ne respecte pas les échelles. (C) désigne le cercle de coupe, de centre A et de rayon 6 370 km.
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Figure 1
Figure 1
Le point O représente l'emplacement des yeux d'un observateur. Le point M est le point d'intersection de la demi-droite [AO) et du cercle (C).
On considère que M se situe au niveau de la mer ; la longueur OM représente alors l'altitude à laquelle se trouvent les yeux de cet observateur.
La droite (OV) est tangente en V au cercle (C).
Le point V représente le point limite de vision de l'observateur. La longueur OV est appelée portée visuelle théorique.
1. Les points O, M et V étant définis comme ci-dessus, montrer que la portée visuelle théorique OV, exprimée en km, est donnée par la formule :
OV = \sqrt{\mathrm{OM}^{2}+12740 \times\mathrm{OM}}
où OV et OM sont exprimées en km.
2. 
Calculer la portée visuelle théorique d'un observateur placé au niveau de la mer et dont les yeux sont situés à 1,70 m du sol (on arrondira au dixième de kilomètre près).
3. 
On considère la fonction f :
f : h \rightarrow\sqrt{h^{2}+{12740}h}
On a donc OV = f(OM), où OV et OM sont exprimées en km.
On donne ci-après la représentation graphique de la fonction f.
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Figure 2
Figure 2
En utilisant le graphique de la figure 2, répondre aux questions suivantes :
a) À quelle altitude doit-on se situer pour avoir une portée visuelle théorique de 100 kilomètres ?
b) 
Un observateur situé au dernier étage de la Tour Eiffel dont l'altitude est environ 350 mètres pourrait-il théoriquement voir la mer ?
c) 
L'affirmation suivante est-elle vraie : « si on est deux fois plus haut sur la Terre, alors on a une vision théorique deux fois plus grande » ?
Partie constituée de quatre exercices indépendants (13 points)
Exercice 1
Un stand à la foire du printemps propose un jeu dans lequel il faut d'abord faire tourner une roulette. Ensuite, si la roulette s'arrête sur un nombre pair, le joueur peut tirer une bille dans un sac.
La roulette et le sac sont représentés ci-dessous.
Des prix sont distribués aux joueurs qui tirent une bille noire. Suzy tente sa chance une fois.
Quelle est la probabilité que Suzy gagne un prix ?
Exercice 2
Lors d'un tournoi de bowling, on note les résultats des 15 joueurs.
268
220
167
211
266
152
270
279
192
191
164
229
223
222
246

Le nombre maximal de point réalisable par un joueur est 300.
Quel résultat peut-on supprimer sans modifier la moyenne des résultats ?
Exercice 3
La longueur officielle d'un marathon est 42,195 km.
Lors d'un marathon un coureur utilise sa montre-chronomètre. Après 5 km de course, elle lui indique qu'il court depuis 17 minutes et 30 secondes.
1. Le coureur pense que s'il gardait cette allure tout au long de la course, il mettrait moins de 2 h 30 en tout. A-t-il raison ?
2. En réalité la vitesse moyenne du coureur pendant les vingt premiers kilomètres a été 16 km/ h et cette vitesse a chuté de 10 % pour le restant du parcours.
Quel a été son temps de parcours ? Donner la réponse en heures, minutes, secondes, centièmes de seconde (le cas échéant).
Exercice 4
Le problème suivant a été proposé à des élèves :
Je suis parti à neuf heures moins dix ; je suis arrivé à 10 h 40.
Quelle a été la durée de mon parcours ? Explique comment tu as trouvé.
1. Indiquer le cycle et le niveau de classe auxquels cet énoncé peut être proposé.
2. 
Pour chacune des deux productions d'élèves reproduites ci-dessous, décrire la procédure utilisée et analyser les erreurs commises en formulant des hypothèses sur leurs origines.
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Thomas
Thomas
Zoom
Kevin
Kevin
Analyse d'exercices proposés à des élèves et de productions d'élèves relevant de la proportionnalité (14 points)
Cette partie vise l'analyse mathématique de plusieurs situations mettant en œuvre le concept de proportionnalité.
Pour répondre aux différentes questions, le candidat pourra se référer s'il le souhaite à l'extrait du document d'accompagnement des programmes de collège présenté dans l'annexe 1.
I. Situation A
Le problème ci-dessous a été donné en évaluation à des élèves de cycle 3.
Énoncé A
À chaque saut, une sauterelle avance de 30 cm. Combien de sauts doit-elle faire pour parcourir 15 mètres ?
1. Dans cet énoncé, qu'est-ce qui indique que la situation est une situation de proportionnalité ?
2. 
Le problème a été proposé à 4 élèves, E1, E2, E3 et E4 dont les productions sont données en annexe 2.
Pour chacun des 4 élèves :
a) Expliquer, en argumentant à partir des traces écrites de l'élève, si la procédure qui semble avoir été utilisée témoigne d'une mise en œuvre correcte des propriétés mathématiques de la proportionnalité.
b) Émettre une hypothèse sur la cause des erreurs éventuelles.
3. 
D'un point de vue théorique, cette situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire du nombre de sauts.
a) Expliciter cette fonction.
b) Donner la réponse attendue en utilisant cette fonction.
II. Situation B
Le problème ci-dessous a été donné à des élèves à l'entrée en sixième.
Énoncé B
6 objets identiques coûtent 150 €. Combien coûtent 9 de ces objets ?
1. 
Dans cet énoncé, qu'est-ce qui indique que la situation est une situation de proportionnalité ?
2. 
D'un point de vue mathématique, qu'est-ce qui différencie cet énoncé du précédent ?
3. 
Proposer trois méthodes possibles pour résoudre cet exercice en cycle 3, et pour chacune expliciter les propriétés mathématiques utilisées.
III. Situation C
En classe de CM2, un professeur propose le travail suivant aux élèves :
Énoncé C
Un pavé droit a pour base un carré de côté 2 cm. On fait varier sa hauteur et on s'intéresse à son volume.
1) Complète le tableau de valeurs suivant :
Hauteur du prisme droit
2 cm
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
10 cm
Volume du prisme droit







2) Place sur la feuille les six points correspondant aux six colonnes du tableau. [Le professeur a distribué une feuille de papier quadrillé sur laquelle les deux axes gradués d'un repère orthogonal ont été tracés. Sur l'axe des abscisses il a indiqué : hauteur du pavé droit, et sur celui des ordonnées : volume du pavé droit.]
3) Que constates-tu ? vérifie avec ta règle.
1. Citer une nouvelle caractérisation de la proportionnalité mise en évidence dans cet exercice.
2. 
Dans cet énoncé, c'est la hauteur du pavé droit qui varie. Si le professeur avait choisi de faire varier la longueur du côté du carré de la base, qu'est-ce que cela aurait changé ? Justifier.
IV. Situation D
Dans le document ressource « le nombre au cycle 3 » on trouve, au chapitre proportionnalité, les lignes suivantes :
Le terme de « proportionnalité » apparaît dans les programmes 2008 [BO2008] au cycle 3 […] mais la notion de proportionnalité est présente dans les situations mathématiques depuis la maternelle. En effet, les jeux d'échange sont déjà des problèmes relevant de la proportionnalité.
Exemple : Une bille bleue vaut deux billes rouges. Si je te donne 3 billes bleues, combien me donnes-tu de billes rouges ?
1. En quoi le problème ci-dessus est-il un problème de proportionnalité ?
2. 
Expliciter une procédure de résolution envisageable en grande section de maternelle.
Annexe 1
Extrait du document : Ressource pour les classes de 6e, 5e, 4e, 3e de collège. La proportionnalité au collège – EDUSCOL.
Niveau
Cadres
Types de nombres
Procédures de résolution
Cycle 3
Grandeurs
Naturels
Décimaux simples (rapport scalaire ou coefficient du type 1,5 ou 2,5…)
Raisonnement proportionnel, utilisant :
– propriété additive ;
– propriété d'homogénéité ;
– passage par l'unité ;
– coefficient de proportionnalité « simple ».
Sixième
Grandeurs
Naturels
Décimaux simples
Quotients (plus le nombre π)
Raisonnement proportionnel, utilisant :
– propriété additive ;
– propriété d'homogénéité ;
– passage par l'unité ;
– coefficient de proportionnalité.

Niveau
Cadres
Types de nombres
Procédures de résolution
Cinquième
Grandeurs Numérique
Naturels
Décimaux
Quotients (plus le nombre π)
Formulation et utilisation des propriétés :
– propriété additive ;
– propriété d'homogénéité ;
– passage par l'unité ;
– coefficient de proportionnalité.
Quatrième
Grandeurs Numérique Graphique
Naturels
Décimaux
Quotients (plus le nombre π)
Utilisation des propriétés travaillées en 6e et 5e.
Égalité de quotients et produits en croix
Caractérisation graphique (sans justification).
Troisième
Grandeurs Numériques Graphiques
Naturels
Décimaux
Quotients (plus les nombre π, \sqrt{2} ; \sqrt{3}; …)
Modélisation et traitement à l'aide d'une fonction linéaire.
Les procédures envisagées antérieurement restent disponibles.

Annexe 2
Production de quatre élèves en réponse à l'exercice A.
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Élève E1
Élève E1
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Élève E2
Élève E2
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Élève E3
Élève E3
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Élève E4
Élève E4

Corrigé

Problème autour du théorème de Pythagore (13 points)
Partie A
1. 
Remarque
Il s'agit de montrer que l'angle \widehat{\mathrm{ABD}} est plat.
Les triangles ABC et BDE ont les mêmes dimensions (AC = BD ; AB = DE et BC = BE), ils sont donc isométriques (superposables). On en déduit que leurs angles sont deux à deux égaux ; en particulier, \widehat{\mathrm{EBD}} = \widehat{\mathrm{BCA}}.
On a donc :
\widehat{\mathrm{ABD}} = \widehat{\mathrm{ABC}} + \widehat{\mathrm{CBE}} + \widehat{\mathrm{EBD}} = \widehat{\mathrm{ABC}} + \widehat{\mathrm{CBE}} + \widehat{\mathrm{BCA}}.
Cette dernière somme est la somme des trois angles du triangle ABC ; elle vaut 180°. L'angle \widehat{\mathrm{ABD}} est donc bien plat ; les points A, B et D sont donc alignés (dans cet ordre).
2.  
Remarque
Un trapèze est caractérisé par le fait que c'est un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles.
On sait que (AB) et (AC) sont perpendiculaires et que (BD) et (DE) sont perpendiculaires. Comme les points A, B et D sont alignés, on a (AD) perpendiculaire à (AC) et (AD) perpendiculaire à (DE).
Les droites (AC) et (DE) sont perpendiculaires à une même droite, à savoir (AD), elles sont donc parallèles.
Le quadrilatère ADEC a ses côtés [AC] et [ED] parallèles, c'est donc un trapèze.
3. 1re manière : en utilisant la formule d'aire des trapèzes.
On sait que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule :
A=\frac{(B+b)\times{h}}{2}, B et b étant les longueurs des côtés parallèles et h la distance entre ses deux côtés. Ici, nous obtenons donc :\frac{(\mathrm{AC}+\mathrm{DE})\times\mathrm{AD}}{2} = \frac{(b+c){\prime}(b+c)}{2} = \frac{(b+c)^{2}}{2}
en remarquant que AD = AB + BD car A, B et D sont alignés dans cet ordre d'après la question 1.
2nde manière : par découpage et recollement.
On a : A_{\mathrm{ADEC}}A_{\mathrm{ABC}}A_{\mathrm{BDE}}A_{\mathrm{BCE}}\frac{\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}}{2}\frac{\mathrm{BD}\times\mathrm{DE}}{2} +  \frac{\mathrm{BE}\times\mathrm{BC}}{2}\frac{bc}{2}\frac{bc}{2}\frac{a^{2}}{2} =  \frac{1}{2}\times{(a^{2}+2bc)}.
4.  
Remarque
On écrit que les expressions obtenues aux questions 3 et 2 correspondent à la même aire.
D'après les questions  2 et  3, on a :
\frac{(b+c)^{2}}{2}\frac{1}{2}\times{(a^{2}+2bc)}, d'où (b+c)^{2}a^{2}+2bc. Or (b+c)^{2}b^{2}+2bc+c^{2}. On a donc : b^{2}+2bc+c^{2}a^{2}+2bc, soit :
b2 + c2a2 après retrait de 2bc aux deux membres de l'égalité.
Partie B
1. On sait que la droite (OV) est tangente en V au cercle (C) de centre A ; les droites (OV) et (AV) sont donc perpendiculaires, autrement dit, le triangle OVM est rectangle en V.
D'après le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle, on a : AV2+ OV2 = AO2.
Les points A , M et O étant alignés dans cet ordre, on a : OA = AM + OM = 6 370 + OM.
Par ailleurs, AV = AM = 6 370 (rayon terrestre).
On déduit de l'égalité de Pythagore que : 6 3702 + OV2 = (6 370 + OM)2.
Or, (6 370 + OM)2 = 6 3702 + 2 × 6 370 OM + OM2.
On a donc : 6370^{2}+\mathrm{OV}^{2} = 6370^{2}+2\times{6370}\times{\mathrm{OM}+\mathrm{OM}^{2}}
d'où OV2 = 12 740 × OM + OM2
et finalement \mathrm{OV}=\sqrt{\mathrm{OM}^{2}+12740\times{\mathrm{OM}}}.
2.  
Remarque
La formule établie ci-dessous l'est pour des données de OM et OV en km…
On calcule OV par la formule obtenue en 1. Lorsque OM = 0,0017 km ; il vient
\mathrm{OV}=\sqrt{0,0017^{2}+12740\times{0,0017}}= 4,6 km.
3. 
a) Pour OV = 100 km, on lit : OM = 0,8 km.
b)  
Remarque
Pour OM = 0,35 km, on lit : OV\approx{70} km(1).
La distance de la Tour Eiffel à la mer est bien supérieure à 70 km ; il est impossible de voir la mer depuis le haut de la tour.
c)  
Remarque
On pourrait évoquer le fait que l'expression de OV en fonction de OM n'est pas une fonction linéaire, mais comme il est stipulé qu'il s'agit d'utiliser le graphique pour toute la question 3, cet argument doit être écarté… sauf s'il est mis en relation avec l'allure de la courbe.
Il y a deux façons de répondre à cette affirmation.
la première, pragmatique, consiste à observer le graphique pour deux valeurs de OM double l'une de l'autre, en comparant les valeurs de OV correspondantes : si OM = 0,4 alors OV\approx{70} et si OM = 2 × 0, 4 = 0,8 alors OV = 100, qui n'est pas le double de 70, loin s'en faut. 
La deuxième réponse possible, théorique et générale, consiste à reformuler la proposition faite de la façon suivante : si le fait d'être deux fois plus haut sur terre permettait de voir deux fois plus loin, cela signifierait que la portée visuelle théorique OV est proportionnelle à l'altitude OM. Dans ce cas, la représentation graphique de OV en fonction de OM devrait être une droite passant par l'origine, ce qui n'est pas le cas.
Deuxième partie (13 points)
Exercice 1
Il s'agit d'une expérience à deux épreuves : la première consiste à faire tourner la roue et à relever le numéro, la seconde à tirer une boule et à relever la couleur (noire ou blanche).
Les secteurs angulaires correspondants à chaque numéro de la roue étant de même mesure, les issues de cette épreuve sont équiprobables. De même, le sac étant opaque et les billes indiscernables au toucher, les issues de la seconde épreuve sont aussi équiprobables.
Lorsque les issues d'une épreuve sont équiprobables, la probabilité d'un événement est donnée par la formule : p = (nombre d'issues correspondant à l'événement considéré)/(nombre total d'issues).
Soit E l'événement « la roulette s'arrête sur un nombre pair » et F l'événement « on tire une bille noire ».
On a p(E)=\frac{5}{6} et p(F)=\frac{6}{20}.
La probabilité qu'a Suzy de gagner est donc :
p(E)\times{p(F)}=\frac{5}{6}\times{\frac{6}{20}}=\frac{1}{4}.
Exercice 2
Calculons la moyenne des résultats :
\bar{m}=\frac{268+220+167+211+266+152+270+279+192+191+164+229+223+222+246}{15} = 220.
La moyenne ne sera pas changée si on retire le résultat « 220 ».
Remarque
En effet, si l'on retire le résultat « 220 », le total des points sera de 3 280, qu'il faudra diviser par un effectif de 14 (et non 15 comme précédemment), ce qui fournira à nouveau une moyenne de 220.
Exercice 3
1. Exprimons les durées en minutes :
17 min 30 s = 17,5 min
car 1 min = 60 s
et 2 h 30 min = 150 min
car 1 h = 60 min.
1re procédure : on calcule la distance que parcourrait le coureur à cette vitesse en 2 h 30.
Si le coureur parcourt 5 km en 17,5 min,
alors il parcourt 5\times{\frac{150}{17,5}}\approx{42,857} km en 2 h 30 min, ce qui correspond à une distance supérieure à celle du marathon.
Par conséquent, il mettra moins de 2 h 30 min à parcourir le marathon.
2nde procédure : calculons la durée de la course à la vitesse donnée.
Si le coureur parcourt 5 km en 17,5 min,
alors il met \frac{42,195}{5}\times{17,5} = 147,6825 min à parcourir le marathon.
Or 147,6825 supérieur ou égal 150, donc le coureur a raison.
2. 
Rappelons la formule qui lie la vitesse moyenne v, la distance parcourue d et la durée t du parcours : v=\frac{d}{t} d'où t=\frac{d}{v}.
• Calcul de la durée t_{1} du parcours des 20 premiers km :
t_{1}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4} h = 1 h 15 min.
• Calcul de la durée t_{2} du parcours des km restants :
La distance restant à parcourir est de : 42,195 − 20 = 22,195 km.
La vitesse du parcours est = 16 × 0,9 = 14,4 km/ h
= 14,4 ÷ 60 km/ min = 0,24 km/ min.
On a donc : t_{2}=\frac{22,195}{0,24}=\frac{22195}{240}=(92+\frac{115}{240}) min
= 1 h 32 min
\frac{115}{240} × 60 s = 1 h 32 min 28,75 s.
La durée totale du marathon est donc :
t_{1}+t_{2} = 1 h 15 min + 1 h 32 min 28,75 s
= 2 h 47 min 28,75 s.
Exercice 4
Remarque
Il est recommandé d'organiser la réponse dans un tableau, ce qui contraint à une certaine concision et permet de distinguer les aspects traités (procédure-erreur-hypothèses).
1. Dans la proposition de progression des apprentissages pour le cycle 3 des programmes, on lit, au CM2 : « Calculer une durée à partir de la donnée de l'instant initial et de l'instant final » ; l'exercice proposé relève donc du cycle 3, au CM2.
2. 

Procédure
Erreurs
Hypothèses sur les origines de l'erreur
Thomas
L'élève rédige une phrase de réponse, suivie du calcul en ligne : 10 h 40 − 9 h 50 
= 90 min.
L'énoncé est incorrectement interprété (9 h 50 au lieu de 8 h 50), et le résultat de la soustraction est erroné : 90 min au lieu de 1 h 50 min.
L'élève a effectué le calcul sans tenir compte du système sexagésimal, il effectue l'opération comme s'il s'agissait de 10,40 − 9,50.
L'élève a interprété « neuf heures moins dix » à 9 h 50 en associant « moins dix » à 50 min et reprenant l'information « neuf heures » telle quelle. Étant davantage familiarisé avec les soustractions dans le système décimal, c'est à ce système que l'élève se réfère.


Procédure
Erreurs
Hypothèses sur les origines de l'erreur
Kévin
L'élève pose en colonne l'addition de tous les nombres présents dans l'énoncé et l'effectue. Il trouve 69 et considère que la durée du parcours est 9 h 69.
Cet élève ne se représente pas correctement la situation et ne sait pas mobiliser l'opération nécessaire à la résolution du problème. Par ailleurs, il n'a pas indiqué le signe opératoire pour l'addition posée et ne précise pas que 69 correspond à des minutes dans sa réponse.
Pour cet élève, résoudre un problème semble consister à effectuer un calcul mobilisant tous les nombres présents dans l'énoncé. Par ailleurs, la somme trouvée est associée à 9 h, peut-être parce que cette donnée numérique est la première fournie dans l'énoncé ; l'élève lui confère donc un statut particulier.

Analyse d'exercices proposés à des élèves et de productions d'élèves relevant de la proportionnalité (14 points)
I. Situation A
1. L'expression « à chaque saut » permet de comprendre qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité : puisque chaque saut a la même longueur, la distance parcourue sera proportionnelle au nombre de sauts.
2.  
Remarque
Il est utile ici de se référer à l'annexe 1, qui fournit une liste de procédures visées et donne les « propriétés de la proportionnalité » à évoquer, le cas échéant. À noter que la terminologie utilisée dans les programmes du collège diffère peut être de celle employée en cours de formation et peut surprendre le candidat : « propriété additive » et « propriété d'homogénéité » sont souvent remplacés par « propriété de linéarité additive » et « propriété de linéarité multiplicative ».

Procédure
Erreurs
Hypothèses sur les origines des erreurs
E1
L'élève représente un segment, gradué régulièrement de 0 à 15. Sous ce segment, il dessine les bonds effectués en faisant en sorte que dix bonds correspondent à 3 m. L'élève mobilise la propriété d'homogénéité : 10 bonds permettent de parcourir 10 × 30 cm, soit 3 m.
1. Il y a 11 bonds entre la graduation 0 et la graduation 3.
2. Il y a 51 bonds dessinés, alors que l'élève en mentionne 52.
1. L'élève s'est certainement trompé en coordonnant mal comptage des bonds et tracé.
2. L'élève s'est trompé dans l'énumération des tracés lors du comptage.
E2
L'élève pose le produit de 30 par 50 pour obtenir 1 500. Il interprète le résultat en répondant qu'il faut 50 bonds.
Le calcul, qui constitue une vérification d'un résultat certainement obtenu mentalement, ne permet pas de dire qu'elle a été la procédure utilisée par l'élève pour obtenir le résultat ; il est par conséquent impossible de dire quelles ont été les propriétés mobilisées.
La réponse est correcte.



Procédure
Erreurs
Hypothèses sur les origines des erreurs
E3
L'élève pose trois opérations (addition, soustraction et multiplication) faisant intervenir les deux données numériques de l'énoncé. Il répond en se référant au résultat trouvé de la soustraction.
Aucune des opérations posées ne correspond à la recherche du résultat.
Les résultats de la soustraction et de la multiplication sont erronés.
L'élève répond en indiquant une distance en mètres (et non un nombre de sauts).
Pour cette élève, résoudre un problème est associé à « poser et effectuer des opérations » ; mais il ne sait pas choisir l'opération appropriée.
Sa réponse prouve également que la situation ne fait pas sens pour lui.
E4
L'élève calcule la distance parcourue pour un certain nombre de sauts (3, 10, 20, 30, 40, 50) en s'appuyant sur des multiples de 30 (cm) faciles à calculer. Il convertit ensuite les distances trouvées en mètres. Les calculs sont effectués mentalement.
L'élève utilise implicitement la propriété d'homogénéité.
La réponse donnée est juste, mais l'écriture de la correspondance sauts-distance permettant de répondre est erronée (50 sauts sont associés à 13 mètres).
Par ailleurs, les égalités du type : n sauts = x mètres sont mathématiquement incorrectes. (Elles ne seront pas considérées comme des « erreurs » à l'école élémentaire, mais l'enseignant proposera une reformulation mathématiquement satisfaisante.)
Au vu de la réponse et de la procédure employée, toutes deux justes, on peut raisonnablement penser à une erreur d'écriture (étourderie).

3. 
a) Soit x le nombre de sauts effectués. La distance parcourue correspondante (en m) est donnée par la fonction f telle que f(x) = 0,3 x.
b) Pour trouver la réponse attendue en utilisant cette fonction, il faut trouver l'antécédent de 15, c'est-à-dire résoudre l'équation f(x) = 15, c'est-à-dire 0,3 x = 15, d'où x\frac{15}{0,3} = 50.
II. Situation B
1. La situation peut être considérée comme relevant de la proportionnalité car l'énoncé mentionne que les objets sont « identiques ».
Remarque
On doit toutefois émettre le postulat que des objets identiques ont le même prix… ce qui n'est pas toujours le cas dans la vie quotidienne (effets de remise pour l'achat de plusieurs objets).
2. D'un point de vue mathématique, cet énoncé diffère du précédent principalement par le fait que la valeur unitaire n'est pas fournie.
Remarque
L'énoncé diffère aussi par le contexte et les grandeurs en jeu.
3. 
1re méthode : règle de trois.
Comme 6 objets coûtent 150 €, un objet coûte \frac{150}{6}= 25 €.
Par conséquent, 9 objets coûtent 25 × 9 = 225 €.
2e méthode : utilisation de l'homogénéité.
On calcule le prix de 3 objets, en observant que 3, c'est la moitié de 6, donc 3 objets coûtent moitié moins cher que 6, soit 75 €.
Ensuite, comme 9 = 3 × 3, on en déduit que 9 objets coûtent 3 fois plus cher que 3, c'est-à-dire 3 × 75 = 225 €.
3e méthode : homogénéité, puis propriété additive.
Après avoir calculé comme ci-dessus le prix de 3 objets, on observe que, comme 9 = 6 + 3, 9 objets coûteront le prix de 6 objets plus le prix de 3 objets, soit 150 + 75 = 225 €.
Remarque
Il ne faut surtout pas évoquer ici le produit en croix, qui est une procédure hors programme à l'école élémentaire.
III. Situation C
1. Nouvelle caractérisation de la proportionnalité abordée dans cet exercice : si l'on représente graphiquement une situation de proportionnalité, tous les points ayant pour coordonnées un couple de nombres de la situation sont situés sur une même droite passant par l'origine du repère. Cette droite est la représentation graphique de la fonction f(h) = 4 h, qui donne le volume du pavé en cm3 en fonction de sa hauteur h.
2. Si l'on fait varier la longueur x du côté du carré de base, la hauteur h étant fixée, le volume du pavé est donné par la fonction : f(x) = hx2. Ce n'est plus une fonction linéaire de x ; le volume n'est pas proportionnel au côté x du carré de base ; la représentation graphique sera une parabole, et non une droite passant par l'origine.
Remarque
Ces trois arguments se situent dans des cadres différents ; l'énonciation d'un seul suffit.
IV. Situation D
1. On peut considérer qu'il s'agit d'un problème de proportionnalité car on échange toujours le même nombre de billes rouges contre une bille bleue.
2. Procédures de résolution possibles :
1re méthode : l'élève peut réaliser l'échange effectivement : deux rouges pour une bleue, puis dénombrer (par différentes procédures) le nombre de billes rouges obtenues.
2e méthode : l'élève peut dessiner les billes bleues, et en regard, les billes rouges correspondantes, puis dénombrer les billes rouges dessinées.
3e méthode : l'élève peut compter à voix haute jusqu'à trois (pour les billes bleues) et lever deux doigts à supplémentaires à chaque mot prononcé, puis reconnaître (ou dénombrer) la quantité de doigts levés…
Remarque
Nous avons proposé ici différentes procédures de réalisation des échanges 2 pour 1 sans développer les procédures de dénombrement mises en œuvre, qui seraient également multiples : reconnaissance globale du nombre de doigts levés ou des dessins de billes s'ils sont organisés, comptage, surcomptage à partir d'une sous collection dont on a reconnu le cardinal…
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